第9章 复数（章节易错题型分析）-2021-2022学年高一数学下册期中期末考试高分直通车（沪教版2020必修第二册）学案

第9章 复数章节易错题型分析

易错点1．对复数的相关概念混淆不清

例1 以下有四个命题：（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）若，则；（3）若且，则;（4），则．其中正确的有     个．

【错解】4个

【错因】（1）当得到时就认为是纯虚数，忽略了b可以为0的条件．（2）认为任何一个实数的平方大于等于0可以推广到复数中．（3）认为两个实数之差大于0等价于前一个实数大于后一个实数可推广到复数中．（4）把实数等式性质错误的推广到复数中．

【正解】（1）错，设互为共轭复数的两个复数分别为及（），

则或，当时，是纯虚数，当时，；

（2）错，反例设则；（3）错，反例设满足但不能比较大小；（4）错，设，，，则，但它们并不相等．故答案是0个．

【跟踪训练1】（2021·宝山区·上海交大附中高二期末）设复数(其中，为虚数单位)，则“”是“为纯虚数”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【分析】本题首先可根据复数为纯虚数得出以及，然后根据充分条件以及必要条件的判定即可得出结果.

【详解】若复数是纯虚数，则，，

则不能证得为纯虚数，为纯虚数可以证得，

故“”是“为纯虚数”的必要非充分条件，

故选：B.

【跟踪训练2】（2020·徐汇区·上海中学高二期末）给出下列四个命题：①若复数，满足，则；②若复数，满足，则；③若复数满足，则是纯虚数；④若复数满足，则是实数，其中真命题的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】设出复数的代数形式进行验证，或者利用反例进行排除可得.

【详解】对于①：设，均为实数，由可得，所以，即，故①正确；

对于②：当，时，满足，但是，故②不正确；

对于③：当时，满足，但是不是纯虚数，故③不正确；

对于④：设，由可得，所以，故④正确.

故选：B.

【点睛】本题主要考查复数的性质及运算，待定系数法是解决复数问题的有效方法，侧重考查数学运算的核心素养.

【跟踪训练3】（2020·上海市进才中学高二月考）在复数范围内（为虚数单位），下列命题正确是（    ）

A． B．若，则；

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】由复数的定义和复数运算可得结果.

【详解】纯虚数不能比较大小，所以A不正确；

，当时成立，所以B不正确；

，当时成立，所以C不正确；

 ，,所以D正确

故选：D

【跟踪训练4】（2018·上海市宝山中学高二期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ）

A．若，且，那么一定是纯虚数

B．若且，则

C．若，则

D．若，则方程只有一个根

【答案】A

【分析】根据为实数且可知为纯虚数，正确；两个复数差为实数，可能只是虚部相等，错误；由反例可说明错误；方程在复数集中的根与方程次数一致，错误.

【详解】中，若为复数，能与比较大小，则为实数

又    为纯虚数，正确；

中，两个复数相减为实数，但两个复数未必是实数，可能是虚部相等，此时无法比较大小，错误；

中，若，，满足，错误；

中，在复数集中解一元三次方程，此方程有三个根，错误.

故选

【点睛】本题考查与复数的定义、复数的类型和复数运算有关的命题的辨析，属于基础题.

【跟踪训练5】（2020·上海市嘉定区封浜高级中学高二期末）下列命题中,正确的命题是（     ）

A．若，则

B．若，则不成立

C．，则或

D．，则且

【答案】C

【分析】A．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；

B．根据实数的共轭复数还是其本身判断是否成立；

C．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；

D．考虑特殊情况：，由此判断是否正确.

【详解】A．当时，，此时无法比较大小，故错误；

B．当时，，所以，所以此时成立，故错误；

C．根据复数乘法的运算法则可知：或，故正确；

D．当时，，此时且，故错误.

故选：C.

【点睛】本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若，则有.

【跟踪训练6】（2019·上海徐汇区·高三期末）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．

【答案】2

分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.

详解：因为，则，则的实部为.

点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭复数为.

易错点2．对复数的几何意义理解不够

例2已知在复平面内对应的点在

第四象限，则实数的取值范围是（    ）

（A）        （B）        （C）      （D）

【错解】要使复数对应的点在第四象限应满足：，无解.

【错因】没有理解复数的几何意义，不知道如何将复数与复平面内的点对应.

【正解】要使复数对应的点在第四象限应满足：，解得，故选A

【跟踪训练1】（2018·上海市宝山中学高二月考）若复数，当实数为何值时

（1）是实数；

（2）是纯虚数；

（3）对应的点在第二象限.

【答案】(1)m=2或m=-1  (2)m=-3  (3)m范围

【分析】（1）根据复数的分类条件可求出的值;

（2）根据纯虚数的条件可得出结果;

（3）利用复数的几何意义,转化为的不等式,即可求的取值范围.

【详解】（1）当是实数时,,解得或,

所求的值为或;

（2）当是纯虚数时,,解得,

所求的值为;

（3）当对应的点在第二象限时,

,解得,

实数的取值范围是.

【点睛】本题考查复数的分类,以及复数的几何意义,考查等价转化,数形结合思想,属于基本题.

易错点3．对复数的模理解不透

例3设其中,实数,则(    )

（A）1     （B）      （C）       （D）2

【错解】因为所以，，故选D.

【答案】不理解复数的模的公式

【正解】因为所以故选B.

【跟踪训练1】（2018·上海市七宝中学高三期末）已知复数（是虚数单位）是虚数，且，则实数的值是______

【答案】

【分析】计算复数，根据，结合模长公式即可解出实数的值．

【详解】由题：复数，是虚数，则，

，

即，解得或（舍）

所以．

故答案为：

【点睛】此题考查复数的运算和模长的计算并求参数取值，注意概念辨析，一个复数是虚数，则虚部不为零，此题的易错点在于漏掉考虑为虚数的限制条件．

易错点4．复数相等的条件应用出错

例4已知是实数，是纯虚数，且满足，求与的值．

【错解】根据复数相等的充要条件，可得，解得．

【错因】误把等式两边看成复数标准的代数形式加以求解。

【正解】依题意设，带入关系式，整理得：

，根据根据复数相等的充要条件，可得，

解得，则有．

【跟踪训练1】（2020·上海高二课时练习）关于的方程有纯虚数根，则为（    ）．

A．0 B．1 C．2 D．0或2

【答案】C

【分析】设出方程的纯虚根并代入方程，根据复数相等的条件即可解得结果.

【详解】设关于的方程的纯虚数根为，且，

则，即，

根据复数相等的条件得，

因为，所以，解得或（舍去）

故选：C.

【点睛】本题考查了纯虚根的概念和复数相等的条件，属于基础题.

【跟踪训练2】（2020·上海高二课时练习）已知为复数，满足，求的值．

【答案】

【分析】根据题意分析可得为纯虚数，且虚部小于0，设，代入方程可得，解得即可得到答案.

【详解】由已知得，∵，∴为纯虚数，且虚部小于0，

设，则，所以，

所以．解方程得（正根舍去）．

∴，∴.

故答案为：.

【点睛】本题考查了复数方程，考查了复数相等的条件，属于基础题.

易错点5．复数的“模”与“绝对值”混淆出错

例5在复数范围内解不等式．

【错解】原不等式，，．

即有．

【错因】把实数中绝对值的性质“”生搬硬套到复数模中来．

【正解】原不等式，，，且．

其解为以点（3，0）为圆心，1为半径的圆内部，且去除点（1，0）．

易错点6．方程有解的条件判断出错

例6已知关于x的方程有实数根，求实数k应满足的条件．

【错解】由于方程有实数根，得，解得或

【错因】误运用系数为实数情况下方程有根的充要条件，方程有实数根时，可把实数根代入方程整理成复数的标准形式，再根据复数相等的充要条件解出和的值即可．

【正解】设是方程的实数根，代入方程并整理得，

由复数相等的充要条件，得，解得或．

【跟踪训练1】（2021·宝山区·上海交大附中高二期末）若方程有实数根，则实数k的取值是____________．

【答案】

【分析】将方程整理为：，根据方程有实根，先判断出实根，然后即可求解出的值.

【详解】因为有实数根，所以有实根，

所以，所以，所以，

故答案为：.

易错点7．对复数的运算不熟悉致错

例7若，则（     ）

(A)1             (B)  -1           (C)              (D)

【错解】，选D．

【错因】计算出现错误，将带入了计算．

【正解】，故选C．

【跟踪训练1】已知是纯虚数，并使得，求

【答案】-2i

【分析】设，代入进行化简，根据为实数，列方程，解方程求得的值，也即求得.

【详解】设，代入得，所以，解得.所以.

【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数是纯虚数、实数的概念和运算，属于基础题.

【跟踪训练2】（2019·上海普陀区·曹杨二中高二期末）（1）已知，求复数；

（2）已知复数满足为纯虚数，且，求复数．

【答案】（1）；（2）或或.

【分析】（1）设复数，根据复数的运算法则和复数相等得出关于、的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数；

（2）设复数，根据为纯虚数和列出关于、的方程组，解出这两个未知数，可得出复数.

【详解】（1）设复数，由，得，

根据复数相等得，解得，因此，；

（2）设复数，

则，

由题意可得，.

，得，

所以有，解得或.

因此，或或.

【点睛】本题考查复数的求解，常将复数设为一般形式，根据复数的相关运算列举出方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.