期末测试一（A卷基础卷）- 2021-2022学年高一数学必修第二册同步单元AB卷（新教材苏教版）

期末测试一（A卷基础卷）

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1、（2021·山东高一师大附中期末）（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】.

故选：A．

2、（2020·海南省海南中学高一期末）在8件同类产品中，有6件是正品，2件次品，从这8件产品中任意抽取2件产品，则下列说法正确的是

A．事件“至少有一件是正品”是必然事件

B．事件“都是次品”是不可能事件

C．事件“都是正品”和“至少一个正品”是互斥事件

D．事件“至少一个次品”和“都是正品”是对立事件

【答案】D

【解析】因为抽取的两件产品有可能都是次品，所以A、B错；

因为事件“至少一个正品”包含事件“都是正品”，所以C错；

因为事件“至少一个次品”和事件“都是正品”包含了所有可能的事件，故互为对立事件，所以D正确，综上所述，故选D

3、（2021·全国高一课时练习）已知中，，,，角B等于（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【解析】

由正弦定理得，即，得，

,即,且，∴或，均满足题意.

故选：C.

4、（2020·洛阳市第一高级中学高一月考）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在的同学有人，则的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由频率分布直方图可知，支出在的同学的频率为：

，本题正确选项：

5、（2021·淮北市树人高级中学高二期末（文））设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，则；③若，，则．其中正确命题的序号是（    ）

A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③

【答案】A

【解析】

对于①，因为，所以经过作平面，使，可得，

又因为，，所以，结合得．由此可得①是真命题；

对于②，因为且，所以，结合，可得，故②是真命题；

对于③，设直线、是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，

而平面是正方体下底面所在的平面，

则有且成立，但不能推出，故③不正确；

故选：A

6、（2021·陕西西安市·西安中学高三月考（文））如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝（    ）

A．150m B．180m C．120m D．160m

【答案】A

【解析】

由题意∠CAB＝45°，BC＝100 m，，三角形ABC为直角三角形，可得，在中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，则∠AMC＝45°

由正弦定理有：

即

故

在直角三角形中，

可得

故选：

7、（山东省淄博市高青县第一中学高一下学期期末）设是平面内一定点，为平面内一动点，若

，则为的（    ）

A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心

【答案】B

【解析】

若

可得，

即为

即有，

则，

故O为的外心.

故选：B.

8、（2021·全国高三专题练习）将边长为的正方形沿对角线折起，使为正三角形，则三棱锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

取的中点，连接，，

由题意，，

因为为正三角形，

∴ ，，

．

故选：D．

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、（2021·湖南长沙市·长沙一中高一月考）下列命题中正确的是（    ）

A．若，，，则

B．若复数，满足，则

C．若复数为纯虚数，则

D．若复数满足，则的最大值为

【答案】AD

【解析】

A：由复数相等知：，有，正确；

B：若，有，错误；

C：若时，，错误；

D：令，则为圆O：，而表示圆O上的点到的最大距离，所以，正确.

故选：AD.

10、（2020·海南省海南中学高一期末）下列化简正确的是(    )

A． B．

C． D．

【答案】CD

【解析】

中，，则错误；

中，，则错误；

中，，则正确；

中，，则正确.故选：

11、（2020·江苏省海安高级中学高一月考）下列说法中正确的有（    ）

A．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为

B．用斜二测法作△ABC的直观图得到边长为a的正三角形，则△ABC面积为

C．三个平面可以将空间分成4，6，7或者8个部分

D．已知四点不共面，则其中任意三点不共线．

【答案】ACD

【解析】对于A,正六棱锥的底面边长为1,则S底面积＝6•1×1×sin60°；

又侧棱长为,则棱锥的高h2,

所以该棱锥的体积为VS底面积h2,A正确；

对于B,水平放置直观图是边长为a的正三角形,直观图的面积为S′a2×sin60°,则原△ABC的面积为S＝2S′＝2a2a2,所以B错误；

对于C,若三个平面互相平行,则可将空间分为4部分；

若三个平面有两个平行,第三个平面与其它两个平面相交,则可将空间分为6部分；

若三个平面交于一线,则可将空间分为6部分；

若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系）,则可将空间分为7部分；

若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系）,则可将空间分为8部分；

所以三个平面可以将空间分成4,6,7或8部分,C正确；

对于D,四点不共面,则其中任意三点不共线,否则是四点共面,所以D正确；

综上知,正确的命题序号是ACD.故选：ACD.

12、（2020·全国高一课时练习）在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（    ）

A．成绩在的考生人数最多 B．不及格的考生人数为1000

C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D．考生竞赛成绩的中位数为75分

【答案】ABC

【解析】由频率分布直方图可得，成绩在的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；成绩在的频率为，因此，不及格的人数为，故B正确；考生竞赛成绩的平均分约为，故C正确；

因为成绩在的频率为0.45，在的频率为0.3，

所以中位数为，故D错误.故选：ABC.

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

13、（2020·山东省滕州市第一中学新校高一月考）若复数满足：，则______.

【答案】

【解析】因为，故，故，填.

14、（南京市鼓楼区年高一上学期期末）】__________．

【答案】-1

【解析】

15、（2020·广东省深圳中学高一期末）某校为了解高一学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），已知成绩在[90,100]的学生人数为8，则=__________；估计该校高一学生此项体育测试平均成绩为__________．

【答案】50    76.4   

【解析】

因为从体育测试成绩中随机抽取个学生的成绩，

且成绩在的学生人数为8，

根据直方图的性质得，，则，

由，得，

估计该校高一学生此项体育测试平均成绩为

，故答案为.

16、（2020·山东省滕州市第一中学新校高一月考）如图，是棱长为1正方体的棱上的一点，且平面，则线段的长度为___________．

【答案】

【解析】

连接，交与，连接，则为的中点，

因为平面，平面，平面平面，

所以，故为的中点，所以，

在中，.故答案为：.

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17、（2020·上海中学高一期末）已知复数（其中是虚数单位，）.

（1）若复数是纯虚数，求的值；

（2）求的取值范围.

【解析】（1）

，

若复数是纯虚数，则，所以.

（2）由（1）得，，

，

因为是开口向上的抛物线，有最小值；所以.

18、（2020届江苏省启东市高三下学期期初考）如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD//平面BCC1B1，AD⊥DB.求证：

（1）BC//平面ADD1A1；

（2）平面BCC1B1⊥平面BDD1B1.

【解析】（1）因为AD//平面BCC1B1，AD平面ABCD，平面BCC1B1∩平面ABCD=BC，

所以AD//BC.

又因为BC平面ADD1A1，AD平面ADD1A1，

所以BC//平面ADD1A1.

（2）由（1）知AD//BC，因为AD⊥DB，所以BC⊥DB，

在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中DD1⊥平面ABCD，BC底面ABCD，

所以DD1⊥BC，

又因为DD1平面BDD1B1，DB平面BDD1B1，DD1∩DB=D，

所以BC⊥平面BDD1B1，

因为BC平面BCC1B1，

所以平面BCC1B1⊥平面BDD1B1

19、（2021·江苏南通市·启东中学高一月考）如图，在菱形ABCD中，，．

（1）若，求的值；

（2）若，，求．

（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围．

【解析】：（1）因为，，

所以，所以，，

故．

（2）∵，∴

∵ABCD为菱形∴

∴，即．

（3）因为，

所以

∴的取值范围：．

20、（2021·全国高三其他模拟（文））已知在六面体中，平面，平面，且，底面为菱形，且.

（1）求证：平面平面；

（2）若，，且为的中点，求三棱锥的体积.

【解析】：（1）证明：连接交于，

∵ 底面为菱形，∴，为中点，

∵ 平面，平面，

∴ ，

∵ ，

∴ 平面，

∵ 平面，

∴ 平面平面.

（2）∵ 平面，平面，

∴，

∵ 平面，平面，

∴平面，

∵ 底面为菱形，∴

∵平面，平面

∴平面，

∵ 为的中点，

∴ 三棱锥的体积，

由（1）知得平面，，，，，

∴ ，，

所以，

所以

21、（2020·山西省长治市第二中学校高一期末）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

（1）求分数内的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的中位数；

（3）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.

【解析】（1）设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，

则有，可得，

所以频率分布直方图为：

（2）以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分布直方图分成面积相等的两个部分，由频率分布直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，

所以中位数是，所以估计本次考试成绩的中位数为

（3）设所抽取2人成绩之差的绝对值大于10为事件，

第1组学生数：人（设为1，2，3，4，5，6）

第6组学生数：人（设为）

所有基本事件有：12，13，14，15，16，，23，24，25，26，，，，34，35，36，，，，45，46，，,，56，，，，，，，，，共有35种，

事件包括的基本事件有：，，，，，，，，,，，，，，，共有18种

所以.   

22、（江苏省徐州市2021届高三第一学期期中考试）在①ccosB＋bcosC＝2，②bcos(﹣C)＝ccosB，③sinB＋cosB＝这三个条件中任选一个， 补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求△ABC的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝，       ，b＝4？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【解析】选择①：

由余弦定理可知，，……4分

由正弦定理得，，又，所以，…………………6分

所以是直角三角形，则，所以的面积.…10分

选择②：

由正弦定理得，，即，

又，所以，所以，即，

又，所以．……………………………………………………………4分

由正弦定理得，，…………………………………………………6分

所以的面积.…10分

选择③：

因为，所以，

又，所以，所以，即．…………………4分

由正弦定理得，，…………………………………………………6分

所以的面积.…10分