高中数学一题一·课多解变式课例

高中数学“一题一课、多解变式”课例探究
怎样使 “三教”引领高中数学“一题一课、多解变式”教学落实到课堂上并取得丰硕成果，各位老师及考生应根据近几年的全国卷试题重视数学本质，突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用，突出对关键能力的考查。复习既要善于研究更要重视总结，对每一个题、每一套题，在高考复习、冲刺阶段如何贯彻“三教”引领高中数学“一题一课、多解变式”教学，使学生深思长什么知识、怎样让学生长知识、悟什么道理、如何让学生悟道理。
引例：函数的最大值为

解：解法一：和差角公式、特殊角的值、辅助角公式及计算，
，，选。
解法二：将化成一个余弦函数，

，。
解法三：由观察法知当时，正余弦都取最大值，则
，。
变式：中，，，，则
解：该题二次使用余弦定理即得。
，
，由三角形求角法得
，选。

1、的内角所对边分别为，若，，的面积能确定吗？为什么？求的面积最大值。
解：面积及余弦定理：
，由基本不等式
，。
一般由的面积公式、余弦定理及基本不等式：
，
代。
解法二：等式成立的充分必要条件是，为一个等腰三角形，由
，
解方程,得及
。（13年试题）
或。
解法三：由正弦定理，，则，，由勾股定理，弦高为，故等腰三角形的高为，。

附：求三角形的边和的取值范围问题，
由，及
，，
有，
得，
代2014年省适应性试题，当时，
解得，则。

变式一：19年的文、理科18题。
的内角所对边分别为，已知
(1)求，
(2)若为锐角三角形，且，求面积取值范围。（杨孝斌、杨武宗）
该题第一问是常规解法，第二问有些新颖但较难，解题思路是用面积公式、两次使用正弦定理及极限思想求参数的取值范围从而得面积的取值范围。全省文、理科平均分分别为2.3分、4.55分，说明考生知识的迁移能力太差，分数应有更大的提升空间。
解：（1）由题设及正弦定理得：
，因，
所以：，
由，可得：
，
故，
又， 得， 因此；
（2）解法一：的面积为
，面积化为边长取值
又由正弦定理及差角公式得：
，
由于为锐角三角形，故，，又，所以，得：
，，
因此面积的取值范围是：。

解法二：数形结合的极限图解法

由（1），为锐角三角形，
故，，又，
所以，
令，得一直角边分别为，的直角三角形，其面积为，令，得一直角边分别的直角三角形，其面积为，
因此面积的取值范围是：。
解法三：用余弦定理
因为,，

将及分别代入
,及，
得出，取交集解得，
故的取值范围是。
解法四：正、余弦定理综合
得出因为，
所以，由，
解得或。
当时三角形为钝角三角形，舍去，
所以，故的取值范围是。
解法五：数学建模
如右图，因为，，以，
则直线所在的直线方程为
设点，
则
因为为锐角三角形，
由图可知从移动的过程中，
故的取值范围是。
解法六：
如右图：因为，，以，
则直线所在的直线方程为

设点，则，
因为为锐角三角形，

解得
故的取值范围是。

在三角形中，三个内角的对边分别为，已知，，，
(1)求，(2)设为边上一点，且,求的面积。（2017年三卷，杨孝斌）
解：解题思路是用面积公式、正弦定理、和角公式、特殊角的值、余弦定理、勾股定理以及等等；
第（1）问求边长：
法1：（用余弦定理）
因为已知，且有关于的关系式，由余弦定理知，欲求只需求角 .由已知可得：，
（或由辅助角公式、逆用两角和的正弦公式得，或者逆用两角差的余弦公式得），
所以或，.
由余弦定理，将，，代入可得：，
整理得：，
解之得。
法2：（用正弦定理）
由正弦定理，且已知，又有关于的关系式，欲求则只需求的值.
由法1知，，所以，，由
，可得，于是有. 由

则有： 或
。
*法3：（用）

由上述可知：，，代入有：
。
第（2）问之问题分析：
盯住目标：求什么？——求的面积.
有哪些方法可用？——三个三角形之间的面积关系以及各种三角形面积公式.
构图如：
法1：（利用三个三角形之间的面积关系）
由（1）知，，
于是有.
由知，或，
由三角形面积公式有：

于是有.
法2：（求）
由法1知：，欲求.
在直角三角形中，.
由第（1）问法2可知知，有，
于是有，
即.
法3：（求或）
由第（1）问法2可知知，则.
于是有，于是有.
法4：（利用方程思想联合求、或）
设则，于是：
在中由勾股定理可得：……①
在中由余弦定理可得：……②
联立①②，解得：.
接下来，利用，有
.
或：利用知为的中点，
于是有.

法5：（求在边上的高）
设在边上的高为，于是有：
，于是有.
由法4知，于是.

*法6：（过点作边上的高）

延长，过点作边上的高，垂足设为.
由（1）知，，于是有，，
得，
于是为的中点，又，
于是有为的中位线，
即为的中点，于是有.

法7：（过点作的平行线，并延长与之交于点，连结）

由（1）知，，则，
又，于是，故，
于是为平行四边形.
所以为的中点，于是有.

变式二：20年二卷的17题，
在中，，
(1)求，
(2)若，求周长的最大值。
解：（1）由正弦定理可得，
故，由，故，
（2）由余弦定理得
，即：
，因，
当且仅当时取等号
解得，得。

变式三：设是同一个半径为4的球
的球面上四点，为等边三角形且其面积
为，则三棱锥体积的最大值为

解：该题考查三角形面积公式、三角形外
接圆半径，勾股弦定理，三棱锥体积最大
值的直观的核心素养。
设等边三角形的边长为，

故，等边三角形外接圆半径

作图得，
三棱锥的高为，
三棱锥体积最大值为
，选。

变式四：在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，
，则的最大值是：

解：本题的关健是利用底面三角形内切圆的半径与直三棱柱高的一半比较大小得到球的半径。由已知直三棱柱的底面为一个直角三角形，斜边，设直角三角形的内切圆半径为，则由直角三角形的面积，
设球的半径为，则，
故，选。

变式五：已知正三棱柱（底面是正三角形，侧棱与底面垂直）的体积为，所有顶点都在球的球面上，则球的表面积的最小值为。
解：作一球草图及内接正三棱柱,用求导方法得最小值
设底面边长为，正三棱柱高为，
，，
，
求导并令导函数为零有
，则。
或用重要不等式得：


变式六：直线分别与轴，轴交
于，两点，点在圆上，则
面积的取值范围是：（19年文理科）

解：该题考查直线与轴，轴的交点坐
标，圆心坐标、点到直线的距离及三角形
面积，数形结合作图等的核心素养。
，，，圆的圆心为，到直线的距离为，为等腰直角三角形，圆的半径为，作直角三角形草图，
故，
，选。

变式七：19年三卷理科10题
双曲线：的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，，则的面积为

解：该题考查双曲线的基本性质、渐近线及斜率、面积公式、数学运算，是高频考试题型。
由，则一条渐近线为，故斜率，，，
为等腰三角形，其高为，，选。
从该题的出题、评卷中可思考及联想出
双曲线的性质、渐近线及三角形的面积、数学运算的核心素养。

19年三卷文科10题
已知是双曲线：的一个焦点，点在上，为坐标原点，，则的面积为

解：该题考查双曲线的基本性质、面积公式、数学运算，是高频考试题型。
由， ，，设则，，解得边上的高为，，选。

变式八：设抛物线的焦点为，直线过且斜角为与交于两点，是坐标原点，则的面积为

解：由，
，则由，
，答案：选。
或设交点，
则，
得，，
则由，
，答案：选。

变式九：设双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，是上的一点，且，若的面积为4，则

解：该题用双曲线的性质、离心率、三角形面积公式联立求解解出。
解法一：设，，，
由，，，得，选。

解法二：由双曲线的焦点三角形面积公式有，得，故，
，则，选。
变式十：已知椭圆：的离
心率为，，分别为的左、右顶点。
（1）求的方程，
（2）若点在上，点在直线上，且，，求的面积。
解：该题考查椭圆的基本性质、面积公式、数学运算，是高频考试题型。
（1）由题得，解得，所以的方程为；
（2）设，，由对称性可设，由题意知，又由已知可得，直线的斜率为，因，所以，
直线的方程为，
，
所以，，
因为，所以，
代入的方程，解得或，
由直线的方程得或，
故点，的坐标分别为，，
及，，
，直线的方程为，
点到直线的距离为，
故，
，直线的方程为，点到直线的距离为，
故，
综上：。
设函数有二个零点，则的取值范围是：

解：当时，，
与有二个零点矛盾，
当时，，得，，是极小值点，
由，，，，
故当，即或时
有二个零点，所以选。

2、设数列满足，，
（1）计算，，猜想的通项公式并加以证明，
（2）求数列的前项和。
(全省平均分为6.205分、满分仅240多人)
解：（1），，猜想，
下面用数学归纳法当时，成立，
设时，，当时，
，
所以对，有。
或由已知可得



由，左、右累加得，
所以对，有。

（2）法一：(错位相加法)，由（1）得
，故
，
，作差得
，故
。

法二：（裂项相消法）记，
观察数列的特征，可以设
，令

对比得，解得，
所以存在，
满足，于是

法三：（函数导数法）
由，
令，两边对求导，得
，所以：

法四：（构造法）由，
得，令，则，
设，
得，对比，得，解得，
所以，因此数列是以为首项，
为公比的等比数列，从而，
所以，
故。

变式一：设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项，
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和。
解：（1）设的公比为，由题设得，即，所以，解得（舍去），，故的公比为。
（2）设为的前项和，
由（1）及题设可得，，所以：
，
.，
可得

所以。

变式二、设等比数列满足，，（1）求的通项公式，
（2）记为数列的前项和，
若，求。
(全省平均分为5.267分)
解：（1）设的公比为，则，
由已知得：，，
解得，，
所以的通项公式为，
（2）由（1）得，故，
由已知，
得，
即，
解得（舍去），。

变式三：数列满足，，若，则。

解：在等式中，令，可得
，所以，故是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，故有：
得，，选。

变式三：北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三段，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）的块数为

解：设每层第环的扇面形石板的块数为，第一层共有环，则是以为首项，以为公差的等差数列，故：
，设为的前项的和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为、、，因为下层比中层多块，所以：
，即：
，
得，故，
，选。

3、19年三卷文、理科15题
设、为椭圆：的两个焦点，
是上的一点且在第一象限，若为等
腰三角形，则的坐标为。
解：本题解法涉及到椭圆的定义，椭圆的方程，椭圆的性质，椭圆的第二定义，椭圆的参数方程，等腰三角形的性质，勾股定理，余弦定理，三角形相似等与解析几何相关的知识点.

解法一：椭圆的定义、性质及距离公式
由已知，，
设，则由已知得，
，解得，，，则的坐标为。

解法二：（用余弦定理）
如图，过点作轴于点.
因为的三边已知，由余弦定理.
在中，，即，，，所以。
教学研讨：
（1）已知三角形的三条边想到余弦定理是相当自然的.但要顺势引导学生思考对不同的角用余弦定理会不会存在差异.事实上，本解法中用过程是一样的.但如果使用，就会发现后续大相径庭.需要用到余弦转正弦再结合等面积法才能得到的长度.
（2）进一步带领学生总结在解斜三角形时，还有哪种情况适用于使用余弦定理？分别需要注意些什么？（已知两边及一个角；需要注意已知角是两边的夹角还是其中一边所对的角，以及得到的关于第三边的一元二次方程的两个解（通常为两个）的合理性）
（3）本解法中求解用的是勾股定理，也可以用.当然，本质是一样的.甚至可以由代回椭圆得，不过没有必要.
学习后记：
长见识：①已知三角形三边，自然想到余弦定理；②对不同的角使用余弦定理效果可能大不一样；③余弦定理适用的情况.
悟道理：平时解决问题时，就要考虑全面，做好预设.即是“凡事预则立，不预则废”.
解法三：（用勾股定理）
过点作轴与点.
设，则，在与中，
即，解得.
所以，.
所以。
教学研讨：
（1）还可以设，列出的方程即为.
（2）这个方法是初中时求解三角形的高的常用解法，主要是要用好既是的高又是与的公共边.
学习后记：
长见识：公共边是平面解析几何里非常重要的切入点，是构造等式的关键方法.
悟道理：方程思想是极为重要的一种数学思想方法.常常能带来意想不到的效果.
解法四：（等面积法）
如图2，取的中点，连接，则，且
所以
.
将代入椭圆方程得.
（或在用勾股定理亦可得）
得：。
教学研讨：因为涉及到三角形的高，学生是能够根据已有经验联想到三角形的面积的，进而到等面积法.但对于等面积法，学生更多地是在直角三角形中使用，因为面积更容易表示.于是此题中会有学生想到用正弦定理来表示三角形的面积（同解法1的教学研讨第一点），虽略显繁杂，但却值得鼓励.因为对于更加一般的三角形，这是具有推广意义的.回到本题，虽是斜三角形，却是特殊的等腰三角形.等腰三角形求面积时运用“三线合一”性质作底边上高（中线）是其常规解法.
学习后记：
长见识：求解三角形面积已经有和这两个公式了，要根据条件选取合适的公式
悟道理：等面积法在解三角形的题目中可以帮助我们快速列出方程，进而运用方程思想.
解法五（相似三角形）：
取的中点，连接.
，故∽
所以，即，所以.
故，，
所以。
教学研讨：
（1）本解法可以优化为：因为，即.但当学生提出运用相似时，应该坚决鼓励与赞扬！然后再引导学生对解法进行优化.
（2）这种解法充分运用了平面几何中相似三角形的知识点，这是初中数学重点考察的内容之一，即使是一般学生也掌握得很充分.但在这道题目中，也许是图形中三角形摆放的样子不够清晰，致使部分同学不能在短时间内联想到相似或者是角的等量关系.事实上，在圆锥曲线的小题中，运用相似三角形建立方程是极有优势的一种常规解法，关键是在于学生能否根据图形与经验获得一些当下的“灵光一闪”.于是就要求老师在讲授时多引导学生总结，如“等腰三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半”.不是要求学生作为结论记住，而是让学生能够在脑海中有这个印象，以便于在今后遇到类似等腰三角形时有方向可循.
学习后记：
长见识：等腰三角形分别作底边与腰上的高，可以形成两个相似三角形.
悟道理：不要被三角形摆放的形态迷惑，要透过现象看本质.
解法六：（椭圆的第二定义）
由椭圆的第二定义：椭圆上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比为离心率.
即是得出.
代入椭圆方程即得，所以。
教学研讨：
（1）直接使用焦半径公式亦可.
（2）虽然现行教材中对椭圆的第二定义没有过多要求，但我们不得不承认在既有点的坐标又有点到焦点的距离的相关问题中，第二定义及其推导出的焦半径公式具有很强的现实意义.事实上，人教版选修2-1的教材中，47页的例6即是椭圆的第二定义.教师在讲解这个例题时就可以根据学情适当提出椭圆的第二定义，并且由于这是圆锥曲线的统一定义，所以这对之后双曲线与抛物线的学习都是相当有益的.而对于焦半径公式，笔者认为可以点到即止，以防在学习中过多的二级结论给学生带来记错结论乱用结论等负面影响.
学习后记：
长见识：圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数.注意在椭圆与双曲线中，定点与定直线是相应的！
悟道理：回归教材，领悟教材，挖掘教材，定能受益匪浅.
解法七：（椭圆的参数方程）
由可得其参数方程为
（为参数），设，
则，
又由，解得，
或（舍去）.
所以，（因为点在第一象限，所以）
所以。
教学研讨：
（1）此解法中用是同理.
（2）可提出问题：设可以吗？即引导学生理解这不一定必须按照严格的具有几何意义的椭圆的参数方程来做.可以理解为：①椭圆的参数方程有无数个②直接理解为三角换元
（3）坐标系与参数方程在高考中通常是在解答题的选修部分呈现，这就导致在其余题目中学生较难联想到可以利用参数方程来解决曲线上的点的问题.所谓解析几何，就是用代数的方法解决几何问题，这门学科在17世纪笛卡尔发明坐标系后得到了广泛推广与发展.通过坐标系，把点与坐标，曲线与方程联系起来，实现了数和形的统一.然而对于这里的方程，我们如果仅仅理解为直角坐标方程， 那就太狭隘了.教学时在和学生一起使用参数方程的同时，教师也应注意渗透参数方程的本质意义——参数方程能够明确地揭示质点的运动规律，是描述“运动”“变化”的有效工具.
学习后记：
长见识：三角换元（参数方程）虽不比直角坐标方程普遍，但它在圆锥曲线中的应用是广泛的.
悟道理：曲线和三角本为一体.
解法八（圆与椭圆联立）：
因为，所以点在以为圆心，为半径的圆上，且点在椭圆上
所以，解得或（舍），所以。
解法研讨：
在圆锥曲线中，由于运算量的关系，我们不提倡使用联立椭圆与圆的方程来解决问题.而是尽量寻求其他更加简便的方法.但并不能抹杀联立方程求交点这种方法的意义，因为在一定程度上，它算是求解曲线交点的通解通法.对于这道题目，我们应该引导学生体悟“如果点只满足，点的轨迹是圆”这种看似化简为繁的思维方法.
学习后记：
长见识：确定某个点的坐标可以转化为确定这个点是如何产生的.
悟道理：纯代数方法虽运算量较大，但具有不可比拟的直接性.
一题多变
变式一（2016全国卷Ⅲ-理11）：
已知为坐标原点，是椭圆：，的左焦点，、分别为的左，右顶点，为上一点，且轴。过点的直线与线段交于点，与轴交于点。若直线经过的中点，则的离心率为：


解法一：本题的关健是作图后利用两组相似三角形得出椭圆的长半轴与焦距间的关系，
由得，又由得，，故，选。
分析：这个题相较原题与变式1来说，难度更大.体现在线多，点多，关系多.学生较难一针见血找到切入点，于是需要带领和引导学生去尝试，层层剖析.引导过程主要是通过问题让学生寻找题设条件与原题相似的地方，即是其中点、点，以及的中点，都是两条直线相交产生的，教学研讨：原题的几何解法与代数解法勉强可以算是旗鼓相当，这个变式2的代数解法就完全不能望到几何解法的项背了.当然，代数解法依然延续了一贯的直接性，按部就班地相交，联立求解即可.但运算过程实在是让人尤其是学生望而生畏.而几何解法就非常美妙，运用平行线带来的三角形相似，轻松列出与的关系.
学习后记：
长知识：解析几何也是几何，几何做法的优势太大了！利用平行线得三角形相似，而且是两组相似，非常具有代表性.
悟道理：平面几何学得好，解析几何没烦恼！
解法二（直线的方程）：
由题，，设，
所以直线，又因为经过的中点即，故，解得，即

变式二（2018全国卷Ⅲ-理11）：
设、为双曲线：的
左、右焦点，是坐标原点，过作的一
条渐近线的垂线，垂足为，
若，则的离心率为

解：该题考查双曲线的离心率、渐近线及点到直线的
距离、余弦定理、数学建模的核心素养。
（1）的渐近线为，斜率为；
（2）是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，得一直角三角形，
则，，；
（3）作直角三角形及另一三角形草图，在内，令，则由余弦定理：（建立数学模型）
，由，
（4）解得，离心率，选。
*注（法二）：若将延长至，使，四边形的对角线互相平分是一平行四边形，，由，及得，故。


从该题的出题、评卷中可教学生去思考及联想出求椭圆、双曲线的离心率是高频考点，关健是利用已知条件给出的关系，本题在数形结合两个三角形内讨论，一个是直角三角形，利用了正切函数和余弦函数，另一个三角形利用了余弦定理并建立数学模型，是一个好题！要教会学生去体验和表达完整的解题过程。
教学研讨：
（1）解法中均涉及到了“双曲线的焦点到渐近线的距离为”（也就是双曲线中的特征三角形），需要教师提前为学生打基础.
（2）即使看起来此道变式与原题目八竿子打不着，但给出的二种解法均与原题目异曲同工，不得不说真是妙哉！通过这个变式，学生不仅可以强化各种解法中涉及到的知识点，还能再一次地体悟到解析几何解题方法中的“万变不离其宗”，甚至还可以强烈地感受到数学之美，数学之妙！

变式三、已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点，过点作斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若，则

解：解法一，由已知得，，
设的直线方程为，代入抛物线
，得，有
,，设，，
则，，
，，
，，
，，
代入得，故，选。

解法二：设，，，


所以，
由题意可知60°，
所以= ，
由对称性可知k也可以取
综上所述.








，又，
故，且为锐角得，
，
再由对称性，（先几何后代数好！）

解法三：作关于轴的对称点，
由法二共线，
，联立，，
解得，，
再由对称性，选。
注：若，则得
若，则得。

变式四、已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点，若，则。





解：解题的思路是先用点差法，给出直线斜率与两点纵坐标之和的关系，再利用抛物线的性质及平面几何的知识得到梯形的中位线即得直线的斜率。
(1)设，，代入抛物线，
(2)作差，及两点间的斜率公式得，
(3)设为的中点，又设点、分别是点、在抛物线准线上的垂足，因，
，
(4)为梯形的中位线，又，得，故 。
从该题的出题、评卷中可教学生去思考及联想出抛物线的若干性质（定义、准线、焦点、过焦点和抛物线相交两点的弦长公式等等），点差法推导出的抛物线的中点弦公式，数形结合平面几何梯形中位线的性质等，该题也是一个好题！同时要教会学生去体验和表达完整的解题过程。

变式五、已知直线：与圆交于、两点，过、分别作的垂线与轴交于、两点，若，则。

解：作草图,由，则为等边三角形，其高，即为原点到直线的距离，，解得






，且，直线与轴正方向的夹角为，则。

4、直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为：
；
解：作直三棱柱图找两条异面直线所成的角，取的中点为，连，因，则为与所成角，设，则，
，
（注为等腰三角形，底边一半为），选。 解法二：向量解法,
取，，
则：，
，选。
变式：2020年三卷文、理科试题如图，在长方体中，点、分别在棱，上，且，，
证明：（1）当时，，（文科）
（2）点在平面内，（文、理科））
（3）若，，，求二面角
的正弦值。（理科）

解：（1）如图，连结，，因为，所以四边形为正方形，故，又因平面，于是，所以平面，由于平面，所以；

（2）法一：如图，在棱上取点，使
，连结，，，
因为，，，，则，，于是得为平行四边形，故，
因为，，，，则，，，，于是得为平行四边形，故，于是，，四点共面，即点在平面内，

法二：设，，，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立坐标系，连结，则，
，，，
，，
，，四点共面，
即点在平面内，
（3）由已知得，，，，，，，，，
设为平面的法向量，，
取，
设为平面的法向量，，
取，
因，
所以二面角的正弦值为。

结合多年评卷分析给老师几点建议如何提高考生解题的能力：
1、“三教”引领 “一题多解变式”坚持立德树人、坚持问题导向、坚持科学有效、坚持统筹兼顾、坚持中国特色，发展素质教育，要激发学生学习数学的热情、提高学生学习数学的兴趣！教会学生思考解题的思路、体验解题的过程、准确的表达题目的要求，并注意其时效性。

2、“三教”引领 “一题多解变式” 要求老师对学生交心、诚心、真心、热心和爱心，使学生安心、放心、舒心、暖心和顺心，具有信心、决心、恒心、耐心、上进心，即提高考生解题的综合能力，真正做到教、学融合！

3、“三教”引领 “一题多解变式”加强基础知识的教学、强化基本能力（特别是数学核心素养的数学运算及数学直观想象能力）的训练，尤其加强读懂题目、对题目已知条件的理解、破题能力、解题的关健思路训练，在吕传汉教授推广获全国教学成果一等奖“三教”引领“情境-问题”教学促进学生“长见识、悟道理”实践探索中深刻体会“一题一课、多解变式”对高考的帮助。

4、“三教”引领 “一题多解变式”要根据本校、本班学生的实际情况，认真选题，（建议选中等难度题）开拓学生的思维视野，一定要善于总结成功的经验、失败的教训、从失败中取胜和注重应变能力、关键能力的培养。

5、学校要加强纪侓性和对学生的人性化管理。老师要着重培养学生认真仔细审题，要教会学生分析思考解题的思路，会用知识点解题，教会学生亲身体验解题的全过程以加强学生的运算化简能力、总结经验教训及教会学生准确的表达以提高其情商和创新能力。
注意评卷的给分点，文科考生可参考理科数学的简单题，理科考生可参考文科数学的难题，解答后要善于分析总结并作好笔记，哪些知识应该补充完善，哪些是自己的盲点，学习固然要努力，但更要善于学习。

解答证明题注意事项
1、我们制定评分细则的原则是：按知识点和解题的能力及解题的思路来确定给分点。即根据该考题的解答过程所涉及到的主要知识点和运算、化简的能力来确定给分点。解答证明题6个，建议同学们先攻第17、18、19、22或23题及20、21题的第一问，选择性的按自己的能力争取得高分。
2、同学们越是感觉简单的地方越要叙述清楚，得分所涉及到的知识点、必要的公式及解答的过程一定不能少，切记要避免会而不全、无意识的丢分。
3、解答证明题前面过程中的表达式、计算的数字、应用的公式、定理，尤其是影响后面结果的，特别要注意其准确性，否则丢分较多。
4、对于难度较大的解析几何及导数应用的第二问，尽量展现你的知识点、公式、定理，争取得该题的部份分。近几年的解析几何题及函数题，难度可能有所降低，仔细分析，认真解答，有可能得较高的分数。
5、对于计算题，主要是考查其结果，有些过程及详细的证明不作苛刻的要求，只要有正确的数字即可。如16年文科第19立体几何题的第二问求四面体的体积时，直接判断四面体的高为即可得3分，直接判断底面三角形的高为即可得1分，写出面积及体积公式也可得1分；证明不等式时用数形结合的方法也可得高分，如16年文科第21题的第二、三问不等式证明当时，；
及，证明当时，。
用数形结合的方法基本上没有扣分。
6、高考题中常出现求最值问题，一般可归类以下几种方法：
（1）若遇三角函数及参数方程和极坐标方程求最值问题，可用辅助角公式，化成一个三角函数就可求出；
（2）灵活应用均值不等式，形式虽多样化，但认真总结，仍能掌握；
（3）最值问题一定在特殊情况下，特殊图形中取得，如果应用得当，可使求解简单化；
（4）用求导数方法解决最值问题。

7、高考是对考生综合能力的测试，是考聪明人的，我称之为智慧高考。每一个考生对自己要有一个准确的定位，每年的高考题（就算是2019年网上疯传的特难的全国各类考题，仔细研究难度也不是太大，但较新颖）都有110分到120分可归类于基本简单和中等难度的考题，经过我们对数学成绩的统计分析，我省有90%左右高考文科学生、85%左右的理科学生的数学成绩在100分以下，故我省90%的高中学生主要精力应放在基础数学，重点复习基本简单和中等难度的考题，经过老师的培养、学生的努力是可以争取及格的。考生做选择题及填空题时要充分发挥自己的智商，特值法、图解法、分析计算法、排除法、猜题法等各种方法都可以尝试。做解答及证明题时要充分发挥自己的情商和胆商，把自己懂得的知识表述清楚，尤其是可能的得分点与评卷老师沟通，抓住30%的基本简单题和50%的中等难度题分，20%的难度大的题尽力得部份分，即在考试中沉着冷静，每分必争，尽量争取数学成绩得高分。由于新课标高考数学试卷已实施了六年，新课标高考数学的基本知识点仍可参考2013-2019年二、三卷的考点，要多积累掌握的知识点，如点到平面的距离公式其中是平面外的一点、是平面内的一点、是平面的法向量、换底面换高求立体的体积、解析几何中的点差法、通径点、对抛物线，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，代入抛物线得：，
有，则 ：
，
其中是直线与轴交角，
，，
，
及 ，考生可求出直线与椭圆，与圆，与双曲线联立求解的一元二次方程，及利用参数方程的几何意义求距离等，椭圆的中点弦公式为，其中，，中点为，为直线的斜率，双曲线的中点弦公式为，抛物线的中点弦公式为，
由椭圆第二定义的焦半径公式
对，，
导数应用题要本着先几何后代数即数形结合的方法来解题，第一问只要掌握基本知识，是可以得分的，第二问从来没有简单过，但也要尽其所能得部份分。
考生应加强求导公式和求导法则的记忆，求导后函数符号判定、单调区间判定、极（最）大、小值判定、函数零点及导函数零点的判定、导数应用的训练，常用的不等式(有些可直接应用)，
当时，，或 ，
，
及变形，
当时，有，
当时，，或，
文科函数题难度有所降低，考生把握题型，如一元三次多项式的增减单调区间的判定、求极大小值、乘积函数、分式函数的求导、判定函数零点个数及所在区间、结合函数的几何图形讨论参数范围，
数学程度较好的同学可补充二阶导数、求极限，罗必达法则等大学选修课程，查缺补漏，要会总结成功的经验和失败的教训，做题一定要有所收获。注意以后考题会增加中外数学文化的内容。

建议与希望
（1）调整好心理状态，释放自己，以良好心态、快乐心态，只要努力就行，放下包袱轻松面对高考。希望同学们以极大的兴趣、勤奋、坚持，一切皆有可能，机会是要靠创造和争取的。
（2）提高基础知识点掌握的能力，综合分析的能力，破解题目的能力，运算化简的能力，灵活应变的能力，预测结果的能力，合理安排时间的能力，调整心态的能力，学会思考、会体验、会表达，综合应用，查缺补漏，注意近几年考题新增减的内容,多深思题目给你带来的启迪，总结经验，举一反三。
（3）解题时间巧安排：选择题、填空题控制在(45)60分钟以内，解答证明题每题(12)10分钟，把握时间。
（4）以高考题引路，领悟复习重点，应首选近五年的课标高考试题，以考题为基本作研究和推广，这是课本及任何资料中的题目不能替代的，寻找得分增长点，规范答案，给同学们一个平台，希望创造奇迹。