人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念第1课时学案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念第1课时学案设计，共7页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
【自主学习】
1．元素与集合的概念
(1)元素：一般地，我们把研究 统称为元素．
(2)集合：把一些元素组成的 叫做集合(简称集)．
2．集合中元素的特性
集合中元素具有三个特性： 、 、 ．
注意：集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是数、点，也可以是一些人或一些物．
3．集合的相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是 ．
4．元素与集合的表示
(1)元素的表示：通常用小写拉丁字母 表示集合中的元素．
(2)集合的表示：通常用大写拉丁字母 表示集合．
5．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说 ，记作 .
(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说 ，记作 .
6．常用数集及符号表示
【小试牛刀】
1、判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合．( )
(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．( )
(3)由－1,1,1组成的集合中有3个元素．( )
2、用“∈”或“∉”填空：
eq \f(1,2)____N；－3____Z；eq \r(2)____Q；0____N*；eq \r(5)____R.
【经典例题】
题型一 集合的概念
例1 下列所给的对象能构成集合的是________．
①所有的正三角形；
②比较接近1的数的全体；
③某校高一年级所有16岁以下的学生；
④平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合；
⑤所有参加2018年俄罗斯世界杯的年轻足球运动员；
⑥eq \r(2)的近似值的全体．
[跟踪训练]
1. 判断下列每组对象的全体能否构成一个集合？
(1)接近于2019的数；
(2)大于2019的数；
(3)育才中学高一(1)班视力较好的同学；
(4)方程x2－2＝0在实数范围内的解；
(5)函数y＝x2图象上的点．
题型二 元素与集合的关系
例2 给出下列6个关系：①eq \f(\r(2),2)∈R，②eq \r(3)∈Q，③0∉N，④eq \r(4)∈N，⑤π∈Q，⑥|－2|∉Z.
其中正确命题的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
例3集合A中的元素x满足eq \f(6,3－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
[跟踪训练]
2．用符号“∈”或“∉”填空．
若A表示第一、三象限的角平分线上的点的集合，则点(0,0)________A，(1,1)______A，
(－1,1)______A.
题型三 集合中元素的特性
已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
[变式] (1)本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a的值．
（2）本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？
例5 已知集合A含有两个元素1和a2，若a∈A，求实数a的值．
[跟踪训练]
3．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为( )
A．2 B．3
C．0或3 D．0,2,3均可
【当堂达标】
1．下列说法正确的是( )
A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合
B．由1,2,3和eq \r(9)，1，eq \r(4)组成的集合不相等
C．不超过20的非负数组成一个集合
D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素
2．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )
A．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合
C．P是由元素1，eq \r(3)，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－eq \r(3)|构成的集合
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
3．已知集合A由x<1的数构成，则有( )
A．3∈AB．1∈A
C．0∈AD．－1∉A
4．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为( )
A．2B．2或4
C．4D．0
5．由实数－a，a，|a|，eq \r(a2)所组成的集合最多含有的元素个数是( )
A．1B．2
C．3D．4
6．给出下列关系：①eq \f(1,3)∈Z；②eq \r(5)∈R；③|－5|∉N＋； ④|－eq \f(\r(3),2)|∈Q；⑤π∈R.
其中，正确的个数为________．
7．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a满足的条件是________．
8．若集合A中含有三个元素a－3,2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．
9．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．
10．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求实数x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x.
【参考答案】
【自主学习】
1．(1)对象 (2)总体
2．确定性、互异性、无序性
3．相等的
4．(1) a，b，c，… (2) A，B，C，…
4．(1) a属于集合A a∈A (2) a不属于集合A a∉A
5．N N*或N＋ Z Q R
【小试牛刀】
(1)× (2)√ (3)×
【解析】(1)因为“优秀”没有明确的标准，其不满足集合中元素的确定性．
(2)根据集合相等的定义知，两个集合相等．
(3)因为集合中的元素要满足互异性，所以由－1,1,1组成的集合有2个元素－1,1.
2. ∉ ∈ ∉ ∉ ∈
【解析】因为eq \f(1,2)不是自然数，所以eq \f(1,2)∉N；－3是整数，所以－3∈Z；因为eq \r(2)不是有理数，所以eq \r(2)∉Q；0不是非零自然数，所以0∉N*；因为eq \r(5)是实数，所以eq \r(5)∈R.
【经典例题】
例1 ①③④
【解析】①能构成集合，其中的元素满足三条边相等；
②不能构成集合，因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；
③能构成集合，其中的元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；
④能构成集合，其中的元素是“平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点”；
⑤不能构成集合，因为“年轻”的标准是模糊的、不确定的，故不能构成集合；
⑥不能构成集合，因为“eq \r(2)的近似值”未明确精确到什么程度，因此不能断定一个数是不是它的近似值，所以不能构成集合．
[跟踪训练]
1. (1)(3)由于标准不明确，故不能构成集合；(2)(4)(5)能构成集合．
例2 C
【解析】R，Q，N，Z分别表示实数集、有理数集、自然数集、整数集，所以①④正确，因为0是自然数，eq \r(3)，π都是无理数，所以②③⑤⑥不正确．
例3 0,1,2
【解析】当x＝0时，eq \f(6,3－0)＝2；
当x＝1时，eq \f(6,3－1)＝3；
当x＝2时，eq \f(6,3－2)＝6；
当x≥3时不符合题意，故集合A中元素有0,1,2.
[跟踪训练]
2. ∈ ∈ ∉
【解析】第一、三象限的角平分线上的点的集合可以用直线y＝x表示，显然(0,0)，(1,1)都在直线y＝x上，(－1,1)不在直线上．∴(0,0)∈A，(1,1)∈A，(－1,1) ∉A.
例4 －1
【解析】 若a＝1，则a2＝1，此时集合A中两元素相同，与互异性矛盾，故a≠1；
若a2＝1，则a＝－1或a＝1(舍去)，此时集合A中两元素为－1,1，故a＝－1.
综上所述a＝－1.
[变式] (1)若a＝2，则a2＝4，符合元素的互异性；
若a2＝2，则a＝eq \r(2)或a＝－eq \r(2)，符合元素的互异性．
所以a的取值为2，eq \r(2)，－eq \r(2).
(2)根据集合中元素的互异性可知，a≠a2，所以a≠0且a≠1.
例5 解：由题意可知，a＝1或a2＝a，
(1)若a＝1，则a2＝1，这与a2＝1相矛盾，故a≠1.
(2)若a2＝a，则a＝0或a＝1(舍去)，又当a＝0时，A中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．
综上可知，实数a的值为0.
[跟踪训练]
3.B
【解析】由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A的元素为0,3,2，符合题意．
【当堂达标】
C
【解析】 A项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．
2.C
【解析】由于C中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而A、B、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选C．
3.C
【解析】很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．
4.B
【解析】若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A．故选B．
5.B
【解析】当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，eq \r(a2)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a>0，,－a，a<0，))所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中有两个元素．故选B．
2
【解析】由Z，R，Q，N＋的含义，可知②⑤正确，①③④不正确．故正确的个数为2.
a≠±2且a≠1
【解析】由元素的互异性，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2≠4，,2－a≠4，,a2≠2－a，))即a≠±2，且a≠1.
0或1
【解析】①若a－3＝－3，则a＝0，此时A中元素为－3，－1，－4，满足题意．
②若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A中元素为－4，－3，－3，不满足元素的互异性．
③若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A中元素为－2,1,－3，满足题意；当a＝－1时，由②知不合题意．
综上可知：a＝0或a＝1.
9.因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.
①当x＝0时，x2＝0，B中元素为0,0，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由①知x＝0应舍去．
综上知：x＝1，y＝0.
(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3. 且x≠x2－2x，x2－2x≠3.
解之得x≠－1，且x≠0，x≠3.
(2)由－2∈A，知x＝－2或x2－2x＝－2，
当x＝－2时，x2－2x＝(－2)2－2×(－2)＝8.
此时A中含有三个元素3，－2,8满足条件．
当x2－2x＝－2，
即x2－2x＋2＝0时，Δ＝(－2)2－4×1×2＝4－8<0，
故方程无解，显然x2－2x≠－2.
综上，x＝－2.课程标准
学科素养
1、通过实例了解集合的含义．(难点)
2、掌握集合中元素的三个特性．(重点)
3、掌握元素与集合的关系，并能用符号表示.
4、记住常用数集及其记法．(重点、易混点)
1、数学抽象
2、逻辑推理
3、直观想象
数集
非负整数集(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号