人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数第1课时导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数第1课时导学案，共8页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
【自主学习】
对数函数的概念
一般地，把函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 .
对数函数的图象与性质
对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
【小试牛刀】
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝2＋lg3x
B．y＝lga(2a)(a＞0，且a≠1)
C．y＝lgax2(a＞0，且a≠1)
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对数函数的定义域为R.( )
(2)y＝lg2x2与lgx3都不是对数函数．( )
(3)对数函数的图象一定在y轴的右侧．( )
(4)对数函数y＝lgax(a>0且a≠1)，在定义域上是增函数．( )
【经典例题】
题型一 对数函数的概念
注意：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝lgax(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
例1 指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y＝3lg2x；(2)y＝lg6x；
(3)y＝lgx3；(4)y＝lg2x＋1.
[跟踪训练]1（1）对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为 。
（2）若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为( )
A．y＝lg2xB．y＝2lg4x
C．y＝lg2x或y＝2lg4xD．不确定
题型二 对数型函数的定义域
注意：求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.
例2 求下列函数的定义域.
(1)y＝lga(3－x)＋lga(3＋x)；
(2)y＝lg2(16－4x).
[跟踪训练]2 求下列函数的定义域．
(1)y＝eq \r(3,lg2x)；(2)y＝eq \r(lg0.54x－3)；
(3)y＝eq \r(lg0.54x－3－1)；(4)y＝lg(x＋1)(2－x)．
题型三 对数函数的图象
注意：(1)明确图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．
(2)建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a>1，还是0(3)牢记特殊点．对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象经过点：(1,0)，(a,1)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1)).
例3 画出函数y＝lg|x－1|的图象.
例4 （1）函数y＝x＋a与y＝lgax的图象只可能是下图中的( )
(2)函数y＝lga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
[跟踪训练] 3 （1） 已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝lga(－x)的图象只能是( )
(2)y＝lgaeq \f(2x＋1,x－1)＋2图象恒过定点坐标是________．
【当堂达标】
1.下列函数为对数函数的是( )
A.y＝lgax＋1(a＞0且a≠1)
B.y＝lga(2x)(a＞0且a≠1)
C.y＝lg(a－1)x(a＞1且a≠2)
D.y＝2lgax(a＞0且a≠1)
2.函数y＝lg(3x－2)的定义域是( )
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[eq \f(2,3)，＋∞)D．(eq \f(2,3)，＋∞)
3.函数f(x)＝eq \r(3－x)＋lg(x＋1)的定义域为( )
A.[－1,3) B.(－1,3) C.(－1,3] D.[－1,3]
4.已知函数f(x)＝lg3(x＋1)，若f(a)＝1，则a等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.函数y＝lg(x＋1)的图象大致是( )
6．已知函数y＝lga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．
7. 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≤0，,lg3x，x>0，))
(1)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,27)))))的值；
(2)若f(a)＝eq \f(1,2)，求a的值.
8．已知f(x)＝lga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．
【参考答案】
【自主学习】
＋∞) (0，＋∞) (1,0) (－∞，0) [0，＋∞) (0，＋∞) (－∞，0] x轴
【小试牛刀】
1. D [解析] 判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝lgax”的形式，A，B，C全错，D正确．
2.(1)× (2)√ (3)√ (4)×
【经典例题】
例1 (1)lg2x的系数是3，不是1，不是对数函数．
(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．
(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．
(4)对数式lg2x后又加1，不是对数函数．
[跟踪训练]1 （1） y＝lg2x [解析] 设对数函数为y＝lgax，则4＝lga16，∴a4＝16，
∴a＝2，∴y＝lg2x.
（2）A [解析] 设对数函数的解析式为y＝lgax(a>0，且a≠1)，由题意可知lga4＝2，
∴a2＝4，∴a＝2.
∴该对数函数的解析式为y＝lg2x.
例2 解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x>0，,3＋x>0，))得－3∴函数的定义域是(－3,3).
(2)由16－4x>0，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝lg2(16－4x)的定义域为(－∞，2).
[跟踪训练]2 [解] (1)定义域为(0，＋∞)．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3>0，,4x－3≤1，))解得eq \f(3,4)(3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－3>0，,4x－3≤\f(1,2)，))解得eq \f(3,4)(4)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,x＋1≠1，,2－x>0，))解得－1例3 解 (1)先画出函数y＝lg x的图象(如图).
(2)再画出函数y＝lg|x|的图象(如图).
(3)最后画出函数y＝lg|x－1|的图象(如图).
例4 （1） C
(2)(0，－2) 因为函数y＝lgax (a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝lga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝lga(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．
[跟踪训练] 3 (1) B 若01，则函数y＝ax的图象上升且过点(0,1)，而函数y＝lga(－x)的图象下降且过点(－1,0)，只有B中图象符合．
(2)(－2,2) [解析] 令eq \f(2x＋1,x－1)＝1，得x＝－2，此时y＝2，∴函数y＝lgaeq \f(2x＋1,x－1)＋2过定点(－2,2)．
【当堂达标】
1.C
2. D [解析] 要使函数y＝lg(3x－2)有意义，应满足3x－2>0，∴x>eq \f(2,3)，故选D．
3. C
4. C 解析 ∵f(a)＝lg3(a＋1)＝1，∴a＋1＝3，∴a＝2.
5.C [解析] 由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lgx的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)
6.(4，－1) [解析] y＝lgax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.
7.解 (1)∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,27)))＝lg3eq \f(1,27)＝－3，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,27)))))＝f(－3)＝2－3＝eq \f(1,8).
(2)当a>0时，由f(a)＝eq \f(1,2)，得lg3a＝eq \f(1,2).∴a＝＝eq \r(3).
当a≤0时，由f(a)＝eq \f(1,2)，得2a＝eq \f(1,2)，∴a＝－1，
综上所述a的值为－1或eq \r(3).
8.[解] 因为f(－5)＝1，所以lga5＝1，即a＝5，故f(x)＝lg5|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg5x，x>0，,lg5－x，x<0.))
所以函数y＝lg5|x|的图象如下图所示．
课程标准
学科素养
1.理解对数函数的概念.
2.掌握掌握对数函数的图象和简单性质．
3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
1、直观想象
2、数学运算
3、数形结合
定义
y＝lgax (a>0，且a≠1)
底数
a>1
0图象
定义域

值域
R
单调性
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
共点性
图象过定点 ，即x＝1时，y＝0
函数值特点
x∈(0,1)时，
y∈ ；
x∈[1，＋∞)时，
y∈
x∈(0,1)时，
y∈ ；
x∈[1，＋∞)时，
y∈
对称性
函数y＝lgax与y＝ 的图象关于 对称