数学必修 第一册3.3 幂函数精练

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3.3 幂函数 1. 幂函数的概念；2. 幂函数的图象；3. 幂函数的简单性质；4. 幂函数图象和性质的应用 一、单选题1．（2020·全国高一课时练习）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】因为，所以是幂函数；由于出现系数2，因此不是幂函数；是两项和的形式，不是幂函数；（），可以看出，常数函数的图象比幂函数的图象多了一个点，所以常数函数不是幂函数.故选：B.2．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C.在区间上单调递增函数，故选A．3．（2020·湖北高一期末）有四个幂函数：①；②；③；④.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：（1）偶函数；（2）值域是，且；（3）在上是增函数.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【解析】①只满足值域是，且；③只满足在上是增函数；④只满足在上是增函数；②是偶函数，在上是增函数，但其值域是.故选：B.4．（2020·浙江高一课时练习）若，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，联立得，因为，所以，由它们的图象可知的取值范围是.故选：C.5．（2020·全国高一课时练习）设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（    ）A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3【答案】A【解析】当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立；当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立；当或时，满足函数y＝xα的定义域为R，故选：A.6．（2020·全国高一课时练习）以下结论正确的是（    ）A．当时，函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过、两点C．若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内随的增大而增大D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限【答案】D【解析】对于A选项，当时，函数的定义域为，所以，函数的图象是两条射线，A选项错误；对于B选项，幂函数不经过原点，B选项错误；对于C选项，幂函数的图象关于原点对称，但函数在定义域内不单调，C选项错误；对于D选项，由于幂函数在第一象限必有图象，若幂函数在第四象限有图象，与函数的定义矛盾，所以，幂函数的图象不可能在第四象限，若幂函数为偶函数，则幂函数在第二象限有图象，D选项正确.故选：D.7．（2020·浙江高一课时练习）已知点在幂函数的图象上，则是(   )A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数【答案】A【解析】由题意，设幂函数的解析式为，又由点在幂函数的图象上，所以，解得，即，又由函数的定义域为关于原点对称，又由，所以函数为奇函数，故选A．8．（2020·浙江高一课时练习）已知幂函数（且互质）的图象如图所示，则（    ）A．，均为奇数，且 B．为偶数，为奇数，且C．为奇数，为偶数，且 D．为奇数，为偶数，且【答案】D【解析】由幂函数的图象关于轴对称，可知该函数为偶函数，所以为偶数，则为奇数，因为图象在第一象限内向上凸起，且在单调递增，所以.故选：D.9．（2020·浙江高一课时练习）如图，函数、、的图象和直线将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数的图象经过的部分是④⑧，则可能是（ ）A．y＝x2 B． C． D．y=x-2【答案】B【解析】由图象知，幂函数的性质为：（1）函数的定义域为；（2）当时，，且；当时，，且；所以可能是.故选B.10．（2020·浙江高二期末）已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ）A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断【答案】B【解析】由题可知：函数是幂函数则或又对任意的且，满足所以函数为的增函数，故所以，又，所以为单调递增的奇函数由，则，所以则故选：B点睛：函数单调递增的几种表示，比如.二、多选题11．（2020·琼山 海南中学高三月考）若幂函数的图象经过点，则幂函数是（    ）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数【答案】AC【解析】设幂函数为：，因为其图象经过点，所以，解得，所以幂函数.因为定义域为R，且，所以是奇函数，又因为，所以在R上是增函数.故选：AC12．（2020·江苏启东 高一期末）已知幂函数的图象过点（2，8），下列说法正确的是（    ）A．函数的图象过原点B．函数是偶函数C．函数是单调减函数D．函数的值域为R【答案】AD【解析】由于幂函数过点，所以，解得，所以.，满足，A选项正确.是奇函数，所以B选项错误.在上递增，所以C选项错误.值域为，所以D选项正确.故选：AD13．（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（    ）A．函数为增函数 B．函数为偶函数C．若，则 D．若，则.【答案】ACD【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.所以，显然在定义域上为增函数，所以A正确.的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确.当时，，即，所以C正确.当若时，=.=.==.即成立，所以D正确.故选：ACD.14．（2020·全国高一课时练习）已知实数a，b满足等式，则下列五个关系式中可能成立的是（    ）A． B．C． D．E.【答案】ACE【解析】画出与的图象（如图），设，作直线.从图象知，若或1，则；若，则；若；则.故其中可能成立的是ACE.故选：ACE三、填空题15．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））已知幂函数的图象过点，则______．【答案】4【解析】由题意令，由于图象过点，得，故答案为：4．16．（2020·浙江高一课时练习）若成立，则的取值范围是___________．【答案】【解析】如图所示，分别画出函数与的图象，由于两函数的图象都过点（1，1），由图象可知不等式的解集为.17．（2020·上海高一课时练习）已知幂函数的图像满足，当时，在直线的上方；当时，在直线的下方，则实数的取值范围是_______________.【答案】【解析】当时，幂函数和直线第一象限的图像如下由图可知，不满足题意当时，幂函数和直线重合，不满足题意当时，幂函数和直线第一象限的图像如下由图可知，满足题意当时，幂函数和直线第一象限的图像如下由图可知，满足题意当时，幂函数和直线第一象限的图像如下
 由图可知，满足题意综上，故答案为四、双空题18．（2019·全国高一课时练习）直接比较下列组中两个值的大小：（1）______；    （2）______.【答案】        【解析】（1），，，幂函数在上为增函数，所以，，因此，；（2）幂函数在上为增函数，.指数幂的大小比较，常用的有如下几种方法：（1）底数不同，指数相同，可以利用同指数的幂函数的单调性来比较大小；（2）底数不同，指数也不同，可以利用中间值法来比较大小.19．（2020·江苏无锡 高一期末）已知幂函数的图像过点，则_______，由此，请比较下列两个数的大小：_______.【答案】        【解析】 (1)因为幂函数的图像过点,故.(2)因为,故.即.故答案为：(1).     (2). 20．（2018·浙江省东阳中学高一期中）幂函数的图象过点，则______，的定义域为______．【答案】2        【解析】设幂函数，其图象过点，；解得，，故，由，解得：，故函数的定义域为：.故答案为2，21．（2019·浙江高一期中）已知幂函数的图象经过点，则函数____，若，则实数的取值范围是____．【答案】        【解析】设幂函数，由，得到，于是；若，则，所以，解得．故答案为；五、解答题22．（2020·全国高一课时练习）先分析函数的性质，再画出其图象．【答案】答案见解析【解析】函数解析式为，该函数的定义域为，令，则，该函数为偶函数，且函数在区间上单调递增，则该函数在区间上单调递减，，所以，函数在第一象限的图象呈“上凸”状，作出该函数的图象如下图所示：23．（2020·上海高一课时练习）设函数，作出的图像并讨论其性质．【答案】见解析【解析】因为，所以将幂函数的图象向左平移一个长度单位后，再向上平移一个长度单位可得函数的图象，其函数图象如图：其定义域为：，值域为：，函数为非奇非偶函数，图像关于对称，在上单调递增，在上单调递减.24．（2020·全国高一课时练习）已知幂函数的图象关于轴对称且在上单调递减，求满足的的取值范围.【答案】或.【解析】因为函数在上单调递减，所以，解得.又因为，所以，；因为函数的图象关于轴对称，所以为偶数，故.则原不等式可化为，因为在，上单调递减，所以或或，解得或.故的取值范围是或.25．（2020·全国高一课时练习）已知点在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．【答案】答案见解析【解析】设f(x)＝xα，由题意得2＝⇒α＝2，∴f(x)＝x2.同理可求出，在同一坐标系内作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象，如图所示．由图象可知：(1)当x>1或x<−1时，f(x)>g(x)．(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)．(3)当−1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x)．26．（2020·浙江高一课时练习）已知在区间上，函数与都是减函数，试求的取值范围.【答案】【解析】因为幂函数时，函数在上单调递减，二次函数开口向下，在单调递减， 所以有，解得.故实数的取值范围是：27．（2020·上海高一课时练习）已知函数，问当m取什么值时这个函数是：（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）幂函数且在上为增函数．【答案】（1）；（2）或0；（3）【解析】解：（1）若是正比例函数，则，由得，解得或，此时满足得．（2）若是反比例函数，则由且，得；得或，此时满足得；（3）若是幂函数，则，即，此时或，当时在上单调递减，不符题意，舍去；当时在上单调递增，符号题意；即．