人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制巩固练习

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5.1任意角和弧度制  1. 任意角；2. 终边相同的角；3. 终边在某条直线上的角的集合；4. 区域角的表示；5. 分角、倍角所在角限的判断；6. 有关“角度”与“弧度”概念的理解；7. 角度制与弧度制的转化； 8. 用弧度制表示区域角；9. 求扇形面积最值的函数思想.  一、单选题1．（2019·伊美区第二中学高一月考）化为弧度是（  ）A． B． C． D．【答案】B【解析】2．（2020·广东高一期末）下列各角中，与2019°终边相同的角为（    ）A．41° B．129° C．219° D．﹣231°【答案】C【解析】因为，所以与2019°终边相同.故选：C.3．（2020·永昌县第四中学高一期末）若α是第四象限角，则180°＋α一定是(　　)A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【解析】∵α是第四象限角，∴k·360°－90°<α<k·360°.∴k·360°＋90°<180°＋α<k·360°＋180°. ∴180°＋α在第二象限，故选B.4．（2020·江西省铜鼓中学高一期末）一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（    ）A．4 B．1 C． D．2【答案】D【解析】圆心角为，设扇形的半径为，，解得.故选：D5．（2020·永州市第四中学高一月考）在的范围内，与终边相同的角是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为,则在的范围内，与终边相同的角是,故选：B.6．（2020·山西平城�大同一中高一月考）已知扇形的周长为12cm，圆心角为，则此扇形的面积为（    ）．A．8cm2 B．10cm2 C．12cm2 D．14cm2【答案】A【解析】设扇形的半径为cm，∵扇形的周长为12cm，圆心角为，∴，得，∴此扇形的面积（cm2），故选：A．7．（2020·河南林州一中高一月考）已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝(　　)A．{α|α为锐角} B．{α|α小于90°}C．{α|α为第一象限角} D．以上都不对【答案】D【解析】∵A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，∴A∩B＝{小于90°且在第一象限的角}，对于A：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；对于B：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°；对于C：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°，故选D．8．（2020·科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）已知半径为1的扇形面积为，则扇形的圆心角为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，所以，故选：C.9.（2020·山东潍坊�高一期末）已知某扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，某扇形的半径为，圆心角为，根据扇形的面积公式，可得 所以此扇形的面积为.故选：B.10．（2020·四川德阳�高三其他（理））将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以、、为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线（又称莱洛三角形），下列关于曲线的描述中，正确的有（    ）（1）曲线不是等宽曲线；（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长；（3）曲线是等宽曲线且宽为弧的长；（4）在曲线和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线和圆的宽相等，则它们的面积相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】若曲线和圆的宽相等，设曲线的宽为，则圆的半径为，（1）根据定义，可以得曲线是等宽曲线，错误；（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长，正确；（3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线的周长为，圆的周长为，故它们的周长相等，正确；（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为，正三角形的面积，则一个弓形面积，则整个区域的面积为，而圆的面积为，不相等，故错误；综上，正确的有2个，故选：B.二、多选题11.（2019·涟水县第一中学高一月考）下列四个选项正确的有（    ）A．角是第四象限角 B．角是第三象限角C．角是第二象限角 D．是第一象限角【答案】ABCD【解析】对于如图1所示，角是第四象限角；对于如图2所示，角是第三象限角；对于如图3所示，角是第二象限角；对于如图4所示，角是第一象限角.故选：.12．（2020·全国高一课时练习）下列与角的终边相同的角是（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】因为，所以与角的终边相同角为，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，综上，选项A、C、D正确.故选：ACD.13．（2020·全国高一课时练习）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（    ）A． B．C． D．E.【答案】BE【解析】假设、为内的角，如图所示，因为、的终边关于轴对称，所以，所以B满足条件；结合终边相同的角的概念，可得，所以E满足条件，ACD都不满足条件．故选：BE.14．（2020·重庆高一月考）设是第三象限角，则所在象限是（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】BD【解析】是第三象限角，，，则，，令，有，；在二象限；，，有，；在四象限；故选：B．三、填空题15．（2020·宁县第二中学高一期中）已知角的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么________.【答案】.【解析】在范围内，终边落在阴影内的角满足：或满足题意的角为：，，本题正确结果：16．（2018·福建高一期中）已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为         ．【答案】4【解析】设扇形半径为，弧长为，则，解得．17．（2020·上海杨浦�复旦附中高一月考）一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度【答案】【解析】设扇形的所在圆的半径为，圆心角为，因为扇形的面积为1，弧长也为1，可得，即，解得.故答案为：四、双空题18．（2020·上海高一课时练习）_________弧度；弧度=________.【答案】    80°    【解析】根据角度制与弧度制的互化公式，可得，.故答案为：，.19．（2020·全国高一课时练习）（1）给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角或直角或锐角.其中正确说法的序号为________.(把正确说法的序号都写上)（2）将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是________.【答案】②        【解析】（1）①锐角的范围为是第一象限的角，命题①正确；②第一象限角的范围为，故第一象限角可以为负角，故②错误；③根据任意角的概念，可知小于180°的角，可以为负角，故③错误；故答案为：②（2）将时针拨快20分钟，则分针顺时针转过，即转过的度数为故答案为：20．（2020·浙江柯城·衢州二中高三一模）《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是__________，弧田的面积是__________．【答案】6    12π﹣9    【解析】∵如图，弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，过作，交于，根据圆的几何性质可知，垂直平分.∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，∴AB＝2AD＝2OAsin＝2×＝6，∴弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．故答案为：6，12π﹣9．21．（2019·宁波市北仑中学高一期中）已知扇形的周长为40，当它的圆心角为____时，扇形的面积最大，最大面积为____.【答案】2    100    【解析】设扇形半径为，则其弧长为，，∴．∴，∴时，．此时圆心角为．故答案为：2；100．五、解答题22．（2020·全国高一课时练习）写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．【答案】{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}；元素β见解析【解析】与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－1910°，k∈Z}．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴ (k∈Z)，故取k＝4,5,6.k＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；k＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；k＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.23.（2020·全国高一课时练习）写出终边在直线上的角的集合.【答案】【解析】直线的倾斜角为，所以终边在直线上的角为或，，综合得终边在直线上的角为，所以终边在直线上的角的集合为.24.（2020·全国高一课时练习）已知为第二象限角，则是第几象限角？【答案】第一或第三象限角【解析】∵是第二象限角，∴，∴.当为偶数时，是第一象限角；当为奇数时，是第三象限角．所以第一或第三象限角.点睛:确定终边位置的方法步骤：(1)用终边相同角的形式表示出角的范围；(2)写出的范围；(3)根据的可能取值讨论确定的终边所在位置25．（2020·全国高一课时练习）已知如图．（1）写出终边落在射线、上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．【答案】（1）终边落在射线上的角的集合为，终边落在射线上的角的集合为；（2）.【解析】（1）终边落在射线上的角的集合是，终边落在射线上的角的集合；（2）终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是.26．（2020·全国高一课时练习）已知扇形AOB的圆心角α为，半径长R为6，求：（1）弧AB的长；（2）扇形所含弓形的面积.【答案】（1）4π；（2）12π－9.【解析】（1）l＝α·R＝π×6＝4π，所以弧AB的长为4π.（2）S扇形OAB＝lR＝×4π×6＝12π.如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于点D，π＝120°，所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，于是有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos 30°×3＝9.所以弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.所以弓形的面积是12π－9.27．（2020·浙江高一课时练习）已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R.（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?【答案】（1），；（2）.【解析】（1）设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则，，，.（2）设扇形弧长为l，则，即，∴扇形面积，∴当时，S有最大值，此时，.因此当时，这个扇形面积最大.点睛:当周长C为定值时可得面积当面积为定值时可得周长.