高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系综合训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系综合训练题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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课时素养检测
二十五 空间点、直线、平面之间的位置关系
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则( )
A.P∉α,Q∈α B.P∈α,Q∉α
C.P∉α,Q∉αD.Q∈α
【解析】选D.因为Q∈m,m⊂α,所以Q∈α.
因为P∉m,所以有可能P∈α,也有可能P∉α.
2.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有( )
A.2对 B.3对 C.6对 D.12对
【解析】选C.如图所示,在长方体AC1中,与体对角线AC1成异面直线的是A1D1,BC,BB1,DD1,A1B1,DC,所以组成6对异面直线.
3.下列说法中,正确的个数是( )
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;
②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行;
③两条相交直线,其中一条与一个平面平行,则另一条一定与这个平面平行.
A.0B.1C.2D.3
【解析】选C.易知①正确,②正确.③中两条相交直线中的一条与平面平行,另一条可能平行于平面,也可能与平面相交,故③错误.
4.直线l在平面α外指的是( )
A.l∩α=AB.l∩α=∅
C.l∩α=A或l∩α=∅D.l∩α有无数个公共点
【解析】选C.直线与平面平行或相交统称为直线在平面外.
5.过平面外一条直线作平面的平行平面( )
A.必定可以并且只可以作一个
B.至少可以作一个
C.至多可以作一个
D.一定不能作
【解析】选C.因为直线在平面外包含两种情况:直线与平面相交和直线与平面平行.①当直线与平面相交时,不能作出符合题意的平面;②当直线与平面平行时,可作出唯一的一个符合题意的平面.综上可得所能作的平面至多有一个.
6.(多选题)如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个说法:
其中正确的是( )
A.过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交
B.过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直
C.过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交
D.过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行
【解析】选ABD.对A项,点M和AB确定的平面与点M和B1C1确定的平面有一条过M点的交线,这条直线与AB,B1C1都相交.若还能作一条线,则两相交线确定一平面,从而证明AB,B1C1共面与它们异面矛盾,从而假设不正确,A正确;对B选项,DD1是满足条件的唯一直线;对D项,过M点和AA1,BB1,CC1中点的截面是满足条件的唯一平面.将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度,所得的平面与直线AB,B1C1都相交,故C错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.若直线a不平行于平面α,且a与α相交,则下列结论正确的是________.(填序号)
①平面α内的所有直线与a异面;
②平面α内不存在与a平行的直线;
③平面α内存在唯一的直线与a平行;
④平面α内的直线与a都相交.
【解析】由已知得a与α相交,因此①③④错误,②正确.
答案:②
8.(双空题)如图,长方体ABCD-A′B′C′D′中:
(1)与直线AB平行的平面是________________;
(2)与直线AA′平行的平面是________________.
答案:(1)平面A′C′,平面DC′ (2)平面B′C,平面DC′
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何?
【解析】B1D1在平面A1C1内,B1D1与平面BC1,AB1,AD1,CD1都相交,B1D1与平面AC平行.
10.如图所示,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问:
(1)AM和CN是否是异面直线?说明理由;
(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.
【解析】(1)不是异面直线,理由:连接MN,A1C1,AC,如图,因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.又因为A1AD1D,D1DC1C,所以A1AC1C,所以四边形A1ACC1为平行四边形,所以A1C1∥AC,故MN∥A1C1∥AC,所以A,M,N,C在同一个平面内,故AM和CN不是异面直线.
(2)是异面直线,证明如下:假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内,则B∈平面CC1D1,C∈平面CC1D1,所以BC⊂平面CC1D1,这显然是不正确的,所以假设不成立,故D1B与CC1是异面直线.
(35分钟 70分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.如图所示,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的是( )
【解析】选C.A,B中,PQ∥RS,D中,PQ和RS相交.
2.下列说法:①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;
②若直线a在平面α外,则a∥α;
③若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α;
④若直线a∥b,b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.
其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
【解析】选A.先考虑空间中直线与平面平行的特征,再结合空间想象作出判断.
对于①,因为直线l虽与平面α内无数条直线平行,但l有可能在平面α内,所以l不一定平行于α,所以①错误.
对于②,因为直线a在平面α外包括两种情况:a∥α和a与α相交,所以a和α不一定平行,所以②错误.
对于③,因为直线a∥b,b⊂α,则只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,
所以a不一定平行于α,所以③错误.
对于④,因为a∥b,b⊂α,那么a⊂α或a∥α,
所以a可以与平面α内的无数条直线平行,
所以④正确.综上所述,正确的个数为1.
【补偿训练】
若a是平面α外的一条直线,则直线a与平面α内的直线的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面D.平行、相交或异面
【解析】选D.若a∥α,则a与α内的直线平行或异面,若a与α相交,则a与α内的直线相交或异面.
3.α,β是两个不重合的平面,下面说法中正确的是( )
A.平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,那么α∥β
B.平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥β
C.若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥β
D.平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β
【解析】选D.A,B都不能保证α,β无公共点,如图①;
C中当a∥α,a∥β时,α与β可能相交,如图②;
只有D说明α,β一定无公共点.
4.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法正确的是( )
A.直线AC1在平面CC1B1B内
B.设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O、O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1
C.由A、C1、B1确定的平面是ADC1B1
D.由A、C1、B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面
【解析】选BCD.A错误.如图所示,
点A∉平面CC1B1B,所以直线AC1⊄平面CC1B1B.
B正确.如图所示.
因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C,O∈直线BD⊂平面BB1D1D,O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C,O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D,所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.
CD都正确,因为AD∥B1C1且AD=B1C1,
所以四边形AB1C1D是平行四边形,
所以A,B1,C1,D共面.
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与直线CC1平行的棱的条数是________.
【解析】与CC1平行的棱有AA1,BB1,DD1.
答案:3
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中判断下列位置关系:
(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1的位置关系是________.
(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________.
【解析】(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点,所以平行.
(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B,故相交.
答案:(1)平行 (2)相交
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线有________条.
【解析】由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由基本事实知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,则它们都与平面D1EF平行.
答案:无数
8.(双空题)若a与b相交,则过a与b平行的平面有__________个;若a与b异面,则过a与b平行的平面有__________个.
【解析】当a与b相交时,设a∩b=N,过a的平面为α,则N∈b,且N∈α,所以直线b与平面α有公共点,故b不可能与α平行,所以过a与b平行的平面有0个;当a与b异面时,如图所示,过a上任意一点M作b′∥b,则a与b′确定了唯一的平面α,且b∥α,故过a与b平行的平面有1个.
答案:0 1
三、解答题(每小题10分,共30分)
9.三个平面α,β,γ,如果α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,且直线c⊂β,c∥b.
(1)判断c与α的关系,并说明理由;
(2)判断c与a的关系,并说明理由.
【解析】(1)c∥α.
因为α∥β,所以α与β没有公共点,又c⊂β,所以c与α没有公共点,所以c∥α.
(2)c∥a.
因为α∥β,所以α与β没有公共点,又α∩γ=a,β∩γ=b,则a⊂α,b⊂β,且a,b⊂γ,所以a,b没有公共点,所以a∥b,又c∥b,所以c∥a.
10.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别为A1B1,B1C1的中点.求证:平面ACC1A1与平面BEF相交.
【证明】因为在矩形AA1B1B中,E为A1B1的中点,
所以AA1与BE不平行,则AA1,BE的延长线相交于一点,设此点为G,所以G∈AA1,G∈BE.
又AA1⊂平面ACC1A1,BE⊂平面BEF,
所以G∈平面ACC1A1,G∈平面BEF,
所以平面ACC1A1与平面BEF相交.
11.如图,P是△ABC所在平面外一点,M,N分别是△PAB和△PBC的重心,AC=9.
(1)求MN的长;
(2)若点P,B的位置发生变化,会影响M,N的位置和MN的长度吗?
【解析】(1)如图,连接PM并延长交BA于E,连接PN并延长交CB于F,连接EF.
因为M,N分别是△ABP和△BPC的重心,故E,F分别是AB,BC的中点,
所以EF QUOTE AC.又 QUOTE = QUOTE = QUOTE ,
所以MN QUOTE EF.所以MN= QUOTE × QUOTE AC= QUOTE AC=3.
(2)由(1)知MN的长与B,P的位置无关,恒是定值.但若P,B的位置发生变化,M,N的位置也会改变.
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