人教B版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量初步6.2 向量基本定理与向量的坐标6.2.1 向量基本定理同步训练题

专题强化练5　平面向量基本定理及坐标表示

一、选择题

1.(★★☆)已知=(5,-3),C(-1,3),=2,则点D的坐标是(　　)

A.(11,-3) B.(9,-3)

C.(9,3) D.(4,0)

2.(2020东北三省三校三模,★★☆)如图,在△ABC中,点Q为线段AC上靠近点A的三等分点,点P为线段BQ上靠近点B的三等分点,则+=              (　　)

A.+ B.+

C.+ D.+

3.(2021浙江山水联盟高二开学考试,★★☆)如图,在平行四边形ABCD中,点E是边CD的中点,点F是AE的中点,则=              (　　)

A.+ B.-+

C.+ D.-+

4.(2019浙江杭州八校联考,★★☆)若A(-2,3),B(3,-2),C三点共线,则m的值为              (　　)

A.2 B.-2 

C. D.-

5.(2020四川绵阳三台高一期中,★★☆)如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ·μ等于              (　　)

A.- B. C. D.-

6.(★★☆)已知在Rt△ABC中,两直角边AB=1,AC=2,D是△ABC内一点,且∠DAB=60°,设=λ+μ(λ,μ∈R),则=              (　　)

A. B. C.3 D.2

二、填空题

7.(★★☆)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若=(2,4),=(-1,-3),则=　　　　. 

8.(2021广东珠海一中、惠州一中、石门中学高二开学考试,★★☆)如图,正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若=λ+μ,则λ+μ=　　　　. 

三、解答题

9.(★★☆)如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=,=a,=b.

(1)用a,b表示向量,,,,;

(2)求证:B,E,F三点共线.

10.(★★★)如图,已知△ABC的面积为14,D,E分别为边AB,BC上的点,AD∶DB=BE∶EC=2∶1,且AE与CD交于点P,求△APC的面积.

答案全解全析

一、选择题

1.B　设D(x,y),则=(x+1,y-3),

因为=2=(10,-6),

所以解得所以点D的坐标为(9,-3).故选B.

2.B　+=-+-=+-·=+-(+)=+-×=+-(-)=+.

3.B　因为F是AE的中点,所以=,因为点E是边CD的中点,

所以==,

所以=-=-=(+)-=-=-+.

4.C　∵A(-2,3),B(3,-2),C,

∴=(5,-5),=.

∵A,B,C三点共线,∴与共线,

∴5(m-3)=-,解得m=.故选C.

5.A　∵E为AO的中点,且O为AC的中点,∴===(+),

∴=-=(+)-=-,∴λ=,μ=-.

因此,λ·μ=×=-.

6.A　如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B点坐标为(1,0),C点坐标为(0,2).因为∠DAB=60°,所以设D点坐标为(m,m),又=λ+μ=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),则λ=m,μ=m,则=,故选A.

二、填空题

7.答案　(3,5)

解析　∵=(2,4),=-=(1,3),

∴=+=+=(-)+=(3,5).

8.答案　

解析　设=a,=b,则=-a+b,=a+b,=a+b,

由于=λ+μ=λ+μ=a+b,

所以解得

所以λ+μ=.

三、解答题

9.解析　(1)如图,延长AD到G,使=2.

连接BG,CG,得到▱ABGC,所以=a+b,

==(a+b),

==(a+b),

==b,

则=-=(a+b)-a=(b-2a),

=-=b-a=(b-2a).

(2)证明:由(1)可知=,

因为与有公共点B,

所以B,E,F三点共线.

10.解析　设=a,=b,

则=a+b,=a+b.

∵点A,P,E共线且D,P,C共线,∴存在λ和μ,使=λ=λa+λb,=μ=μa+μb.

又=+=a+μb,

∴即

连接BP,则S△PAB=S△ABC=14×=8,S△PBC=14×=2,∴S△APC=14-8-2=4.