2020-2021学年6.3 平面向量基本定理及坐标表示课后测评

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课时素养检测

六　平面向量基本定理

(30分钟　60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.(多选题)如果e1,e2是平面α内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,可以作为平面内所有向量的一个基底的是              (　　)

A.e1与e1+e2    B.e1-2e2与e1+2e2

C.e1+e2与e1-e2   D.e1+3e2与6e2+2e1

【解析】选ABC.选项A中,设e1+e2=λe1,则无解;选项B中,设e1-2e2=λ(e1+2e2),则无解;选项C中,设e1+e2=λ(e1-e2),则无解;选项D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以两向量是共线向量.

2.如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=2,则 (　　)

A.x=,y=    B.x=,y=

C.x=,y=    D.x=,y=

【解析】选A.由题意知=+,又=2,所以=+=+(-)= +,所以x=,y=.

3.在矩形ABCD中,O是对角线的交点,若=e1,=e2,则= (　　)

A.(e1+e2)　    B.(e1-e2)

C.(2e2-e1)　    D.(e2-e1)

【解析】选A.因为O是矩形ABCD对角线的交点,=e1,=e2,所以=(+)=(e1+e2),故选A.

4.平行四边形ABCD中,M是BC的中点,若=λ+μ,则λ+μ= (　　)

A.    B.2   C.    D.

【解析】选D.因为=+,

=+=+,=-.

所以=λ+μ

=λ+μ(-),

所以解得则λ+μ=.

5.设点O为面积为4的△ABC内部一点,且有++2=0,则△AOC的面积为 (　　)

A.2   B.1   C.    D.

【解析】选B.如图,以,为邻边作▱OADB,则=+,结合条件++2=0知,

=-2,

设OD交AB于M,则=2,所以=-,故O为CM的中点,所以S△AOC=S△CAM=

S△ABC=×4=1.

6.如图所示,在△ABC中,点M,N分别在AB,AC上,且=2,=,线段CM与BN相交于点P,且=a,=b,则用a和b表示为              (　　)

A.=a+b    B.=a+b

C.=a+b    D.=a+b

【解析】选A.由于=a,=,=b,=b,则=-=b-a,=-=b-a.设=λ= ,=μ= ,由-=,得=a,得

解得

因此=+=a+ =a+b.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=__________. 

【解析】因为=+=+=++,所以=+,所以λ=,μ=,λ+μ=.

答案:

8.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则mn的最大值为______ 

【解析】因为点O是BC的中点,

所以=(+).

又因为=m,=n,

所以=+.

又因为M,O,N三点共线,所以+=1,

即m+n=2,所以mn≤=1,当且仅当m=n=1时取等号,故mn的最大值为1.

答案:1

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.在平行四边形ABCD中,点E是AD边的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n (m,n∈R),求的值.

【解析】方法一:根据题意可知△AFE∽△CFB,

所以==,故==

=(-)=

=-,所以==-2.

方法二:如图,=2,=m+n,

所以=+=m+(2n+1),

因为F,E,B三点共线,所以m+2n+1=1,

所以=-2.

10.已知点G是△ABO的重心,M是AB边的中点.

(1)求++;

(2)若PQ过△ABO的重心G,且=a,=b,=m a,=n b,求证:+=3.

【解析】(1)因为+=2,又2=-,

所以++=-+=0.

(2)因为=(a+b),且G是△ABO的重心,

所以==(a+b).

由P,G,Q三点共线,得∥,

所以有且只有一个实数λ,使=λ,

又=-=(a+b)-ma=a+b,=-=nb-(a+b)

=-a+b,

所以a+b=

又a,b不共线,所以

消去λ,整理得3mn=m+n,故+=3.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.如图,在正方形ABCD中,E为DC的中点,若=λ+μ,则λ+μ的值为 (　　)

A.    B.-    C.1    D.-1

【解析】选A.由题意得=+=+-=-,所以λ=-,μ=1,所以λ+μ=.

2.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为              (　　)

A.0,0    B.1,1    C.3,0    D.3,4

【解析】选D.因为向量e1与e2不共线,

所以解得

3.(多选题)已知平行四边形ABCD,则下列各组向量中,不是该平面内所有向量基底的是              (　　)

A.,    B.,

C.,    D.,

【解析】选ABC.D项由于,不共线,所以是一个基底.

4.如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则=              (　　)

A.-   B.-

C.-+   D.-+

【解析】选C.=+=+

=-+

=-+

=-+++(++)

=-+.

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,E,F分别为线段AD与BC的中点.设=a,=b,则=________,=________,=________(用向量a,b表示). 

【解析】=++=-b-a+b=b-a,=+=-b+ =b-a,

=+=-b- =a-b.

答案:b-a　b-a　a-b

6.若{e1,e2}是平面内所有向量的一个基底,且a=3e1-4e2,b=6e1+ke2不能构成一个基底,则k的值为________. 

【解析】当a∥b时,a,b不能构成一个基底,故存在λ,使得a=λb,即3e1-4e2=λ(6e1+ke2),

所以6λ=3,且kλ=-4.解得λ=,k=-8.

答案:-8

7.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2 (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________. 

【解析】=+=+

=+(-)=-+,

因为=λ1+λ2,

所以λ1=-,λ2=,故λ1+λ2=.

答案:

8.已知平行四边形ABCD中,E为CD的中点,=y,=x,其中x,y∈R,且均不为0.若∥,则=________. 

【解析】因为=-=x-y,由∥,可设=λ,即x-y=λ(- )= λ=-+λ,所以则=.

答案:

三、解答题(每小题10分,共30分)

9.如图所示,平行四边形ABCD中,M为DC的中点,N是BC的中点, 设=b,=d, =m,=n.

(1)试以b,d为基底表示;

(2)试以m,n为基底表示.

【解析】(1)=-

=(+)-(+)

(2)m=+=d+,①

n=+=+d,所以2n=2+d.②

由①②消去d,得=n-m.

10.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于O点,线段OD上有一点M满足=3,线段CO上有一点N满足=λ(λ>0),设=a,=b,已知=μ a-b,试求实数λ,μ的值.

【解析】依题意得=b-a,=a+b,

且==(a-b)=a-b,

=+==(a+b),所以=+=b+=a+b,

=+=a+b+ =a+b,即=(a+b)=a+b,

由平面向量基本定理,得解得

11.如图所示,在▱ABCD中,=a,=b,BM=BC,AN=AB.

(1)试用向量a,b来表示,;

(2)AM交DN于O点,求AO∶OM的值.

【解析】(1)因为AN=AB,所以==a,所以=-=a-b.因为BM=BC,所以===b,所以=+=a+b.

(2)因为A,O,M三点共线,所以∥,设=λ,则=-=λ -=

-b=λa+b.因为D,O,N三点共线,所以∥,设=μ,则λa+b= .

由于向量a,b不共线,则

解得所以=,=,所以AO∶OM=3∶11.

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