数学人教A版 (2019)6.4 平面向量的应用第1课时课后练习题

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课时素养检测

十一　余 弦 定 理

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.在△ABC中,若b=1,c=,C=,则a= (　　)

A.1   B.2   C.3    D.4

【解析】选A.由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,

得3=a2+1-2a×1×cos,即a2+a-2=0.

解之得a=1或a=-2(舍去),所以a=1.

2.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,C=60°,a=4b,c=,则b= (　　)

A.1　　   B.2    C.3　   D.

【解析】选A.由余弦定理知()2=a2+b2-2abcos 60°,因为a=4b,所以13=16b2+b2-2×4b×b×,解得b=1(b=-舍去).

3.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=              (　　)

A.10　　   B.9 　   C.8　　   D.5

【解析】选D.由23cos2A+cos 2A=0得23cos2A+2cos2A-1=0,解得cos A=±.

因为A是锐角,所以cos A=.又因为a2=b2+c2-2bccos A,所以49=b2+36-2×b×6×.

解得b=5或b=-.

又因为b>0,所以b=5.

4.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则AC边上的高为 (　　)

A.　   B.   C.　   D.3

【解析】选B.由BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A,可得13=9+16-2×3×4×cos A,得cos A =.

因为A为△ABC的内角,所以A=,所以AC边上的高为AB·sin A=3×=.

5.已知△ABC的三边满足a2+b2=c2-ab,则△ABC的最大内角为 (　　)

A.60°   B.90°   C.120°   D.150°

【解析】选D.由已知得,c2=a2+b2+ab,

所以c>a,c>b,故C为最大内角.

由余弦定理,得cos C==-,

又C∈(0,π),所以C=,即C=150°.

6.(多选题)在△ABC中,a=1,b=2,cos C=,则 (　　)

A.c=1     B.c=2

C.sin A=    D.sin A=

【解析】选BD.根据余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=12+22-2×1×2×=4,解得c=2.

由a=1,b=2,c=2,得cos A==,

所以sin A==.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.在△ABC中,已知BC=7,AC=8,AB=9,则AC边上的中线长为________. 

【解析】方法一:在△ABC中,由余弦定理,得

cos A===,

设中线长为x,由余弦定理,知x2=92+42-2×9×4×=49,所以x=7.

所以AC边上的中线长为7.

方法二:设AC中点为M,连接BM(图略).

则=(+),

所以=(++2·)

=(92+72+2||||cos∠ABC)

由余弦定理,得2||||cos∠ABC=||2+||2

-||2=92+72-82,

所以||2=(92+72+92+72-82)=49.

所以BM=7,即AC边上的中线长为7.

答案:7

8.在△ABC中,已知a=4,b=5,c=6,则sin A=______. 

【解析】在△ABC中,已知a=4,b=5,c=6,由余弦定理,得cos A==,则

sin A==.

答案:

【补偿训练】

已知在△ABC中,a=2,b=4,c=3,则cos B=________. 

【解析】cos B==-.

答案:-

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.在△ABC中,已知sin C=,a=2,b=2,求边c.

【解析】因为sin C=,且0<C<π,

所以C为或.

当C=时,cos C=,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=4,即c=2.

当C=时,cosC=-,

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=28,即c=2.

所以边c的长为2或2.

10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4sin2+

4sin Asin B=2+.

(1)求角C的大小;

(2)已知b=4,△ABC的面积为6,求边长c的值.

【解析】(1)由已知得2[1-cos(A-B)]+4sin Asin B=2+,化简得-

2cos Acos B+2sin Asin B=,

故cos(A+B)=-,所以cos C=-cos(A+B)=,又C∈(0,π),从而C=.

(2)如图S△ABC=a·ha=absin C,

由S△ABC=6,b=4,C=,得a=3.由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C=10,得c=.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC= (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选C.因为cos∠BAC===-,

又因为0<∠BAC<π,所以∠BAC=.

2.在△ABC中,a2+b2-c2+ab=0,则C等于 (　　)

A.30°   B.45°   C.120°   D.135°

【解析】选D.由a2+b2-c2+ab=0知,

a2+b2-c2=-ab,

由余弦定理得cos C==-,

因为0°<C<180°,所以C=135°.

【补偿训练】

　　　在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且a2=c2+b2+bc,则角A的大小为              (　　)

A.　　　  B.　　  　C.　  　　D.

【解析】选D.因为a2=b2+c2+bc,

所以b2+c2-a2=-bc.

由余弦定理得cos A===-,

又因为0<A<π,所以A=.

3.(多选题)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=5,b=7,c=8,S为△ABC的面积,则(　　)

A.B=60°    B.sin A=

C.sin C=    D.S=10

【解题指南】利用余弦定理的变形公式计算三角形内角的余弦值,再计算角和面积.

【解析】选ABD.最小的角为A,最大的角为C,

则cos A==,

cos B==,cos C==,

则sin A==,

S=ch=cbsin A=10.

又0°<B<180°,所以B=60°.

4.已知锐角三角形的边长分别为1,3,a,则a的取值范围是 (　　)

A.(8,10)　　    B.(2,)

C.(2,10)　　    D.(,8)

【解析】选B.只需让边长为3和a的边所对的角均为锐角即可.故解得2<a<.

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=,a=,c=,则b=________. 

【解析】由余弦定理得a2=6=b2+5-2·b·cos 60°,即b2-b-1=0,解得b=或b=(舍去).

答案:

6.在△ABC中,D为边BC的中点,AB=2,AC=4,AD=,则∠BAC为________. 

【解析】如图,设BD=CD=x.

在△ABD和△ACD中,由余弦定理及诱导公式,得

,

即14+2x2=20,解得x=,即BC=2.

则cos∠BAC==,

又0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°.

答案:60°

7.如图所示,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3, AD=3,则BD的长为________. 

【解析】因为sin∠BAC=sin(90°+∠BAD)

=cos∠BAD=,所以在△ABD中,由余弦定理,

得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD,

所以BD2=18+9-2×3×3×=3,

所以BD=.

答案:

8.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ac=b2-a2,A=,则B=________. 

【解析】由余弦定理,得a2=b2+c2-bc,所以b2-a2=bc-c2,与ac=b2-a2联立,得ac+c2-bc=0,

即c=b-a,代入ac=b2-a2,

得a(b-a)=b2-a2,解得b=a,

所以c=b-a=2a,所以cos B===,又因为B∈(0,π),所以B=.

答案:

三、解答题(每小题10分,共30分)

9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a-c)2=b2-ac.

(1)求cos B的值;

(2)若b=,且a+c=2b,求ac的值.

【解析】(1)由(a-c)2=b2-ac,可得a2+c2-b2=ac.所以=,即cos B=.

(2)因为b=,cos B=,由余弦定理,得b2=13=a2+c2-ac=(a+c)2-ac,

又a+c=2b=2,

所以13=52-ac,解得ac=12.

10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos C+(cos A-

sin A)cos B=0.

(1)求角B的大小;

(2)若a+c=1,求b的取值范围.

【解析】(1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B-sin A·cos B=0,即有sin Asin B-sin Acos B=0.①

因为sin A≠0,所以sin B- cos B=0.又cos B≠0,

所以tan B=.又0<B<π,所以B=.

(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B.因为a+c=1,cos B=,

有b2=3+.②

又0<a<1,于是有≤b2<1,即有≤b<1.

11.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=,b=,4a-3cos A=0.

(1)求a的值;

(2)若B=λA,求λ的值.

【解析】(1)因为4a-3cos A=0,故4a=3cos A,

由余弦定理4a=3×,

因为c=,b=,所以12a2+80a-147=0,

解得a=或a=-(舍去),故a=.

(2)由(1)可知cos A=×=,

所以sin A=,故cos 2A=cos2 A-sin2 A=,

因为a=,c=,b=,

所以cos B==,所以cos 2A=cos B,

因为△ABC中,c>b>a,故B=2A,

即λ的值为2.

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