人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时课后测评

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课时素养检测

十二　正 弦 定 理

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.在△ABC中,若sin A=sin B,则A与B的大小关系为 (　　)

A.A=B     B.A>B

C.A<B     D.A,B大小不确定

【解题指南】先由正弦定理说明a=b,然后再根据△ABC中等边对等角的原理去判断.

【解析】选A.由正弦定理知a=2Rsin A,b=2Rsin B.因为sin A=sin B,所以a=b,所以A=B.

2.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=1,b=,∠B=60°,则∠C=              (　　)

A.30°    B.45°

C.150°    D.30°或150°

【解题指南】利用正弦定理解三角形,根据大边对大角,即可得解.

【解析】选A.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知c=1,b=, ∠B=60°,

则由正弦定理可得=,

所以sin C==,

因为c<b,所以C=30°.

3.在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,则得此三角形 (　　)

A.无解    B.有两解

C.有一解    D.解的个数不确定

【解析】选B.如图,因为bsin A<a<b,所以B有两解.

4.在△ABC中,若c=,C=60°,则= (　　)

A.6　   B.2    C.2　   D.

【解析】选C.利用正弦定理的推论,

得===2.

5.在△ABC中,已知a2tan B=b2tan A,则△ABC的形状是 (　　)

A.锐角三角形　

B.直角三角形

C.钝角三角形　

D.等腰三角形或直角三角形

【解析】选D.将a=2Rsin A,b=2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)代入已知条件,得sin2Atan B=sin2Btan A,则=.因为sin Asin B≠0,所以=,

所以sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A=π-2B,

所以A=B或A+B=,故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

【补偿训练】

　　　在△ABC中,若sin A=,a=10,则边长c的取值范围是 (　　)

A.(0,10)　　　　　　  B.(10,+∞)

C.    D.

【解析】选D.由正弦定理,得=,

得c==sin C,又sin C∈(0,1],

所以c∈(0,].

6.(多选题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足sin B =2sin Acos C+cos Asin C,则下列结论可能正确的是              (　　)

A.a=2b   B.b=2c

C.B=    D.C=

【解析】选AD.由题意,得sin B+2sin Bcos C=

2sin Acos C+cos Asin C,所以sin B+2sin Bcos C=

sin Acos C+sin(A+C),

cos C(2sin B-sin A)=0,

所以cos C=0或2sin B=sin A,得C=或2b=a.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.在△ABC中,若a=3,cos A=-,则△ABC的外接圆的半径为__________. 

【解析】由cos A=-,得sin A==,设△ABC的外接圆的半径为R,由正弦定理,有2R==2,即△ABC的外接圆的半径为.

答案:

8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,B=2A,cos A=,则b= ________. 

【解析】因为cos A=,所以sin A=,因为B=2A,所以sin B=sin 2A

=2sin Acos A=,又=,所以b=2.

答案:2

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知△ABC中,a=,b=,B=45°,求A,C和边c.

【解析】由正弦定理=,得sin A=.

因为a>b,所以A=60°或A=120°.

当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,

c==,

当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,

c==.

10.设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.

(1)求a的值;

(2)求sin的值.

【解析】(1)因为A=2B,

所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.

由正弦定理、余弦定理得a=2b·.

因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.

(2)由余弦定理得cos A===

-.由于0<A<π,所以sin A===.故sin=

sin Acos+cos Asin=×+×=.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.已知在△ABC中,a=1,b=,B=45°,则A等于 (　　)

A.150°   B.90°   C.60°   D.30°

【解析】选D.由正弦定理,得=,

得sin A=.又a<b,所以A<B=45°,所以A=30°.

2.在△ABC中,已知B=60°,最大边与最小边的比为,则三角形的最大角为(　　)

A.60°　 B.75° C.90°　 D.115°

【解析】选B.不妨设a为最大边,c为最小边,由题意有==,即=,整理,得(3-)sin A=(3+)cos A.所以tan A=2+,所以A=75°.

3.(多选题)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos 2A+cos 2B=

2cos 2C,则下列结论正确的是 (　　)

A.C≤60°   B.C>60°

C.a2+b2=c2    D.a2+b2=2c2

【解题指南】利用二倍角公式化简条件等式,利用正弦定理建立三角形的边长的关系式,利用余弦定理的变形公式确定角的取值范围.

【解析】选AD.由cos 2A+cos 2B=2cos 2C,得1-2sin2A+1-2sin2B=2(1-2sin2C),

即sin2A+sin2B=2sin2C,

由正弦定理可得a2+b2=2c2.

由余弦定理可得c2+2abcos C=2c2,所以cos C==≥=,所以cos C的最小值为,由于函数y=cos x,

x∈(0,π)为减函数,所以0<C≤,即C≤60°.

4.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2acos B=c,且满足sin AsinB(2-cos C)=sin2+,则△ABC为              (　　)

A.锐角非等边三角形

B.等边三角形

C.等腰直角三角形

D.钝角三角形

【解析】选C.根据等式2acos B=c,利用正弦定理化简得2sin Acos B=sin C,

因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,

所以2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B,

即sin Acos B-cos Asin B=sin(A-B)=0,

因为A与B都为△ABC的内角,

所以A-B=0,即A=B.

方法一:由sin AsinB(2-cos C)=sin2+

变形得sin2A[2-cos(π-2A)]=(1-cos C)+

=1-cos C=1-cos(π-2A),

即sin2A(2+cos 2A)=1+cos 2A,sin2A(1+2cos2A)

=+cos2A,(1-cos2A)(1+2cos2A)=+cos2A,

得cos4A=,cos2A=,得cos A=±,

由于0°<A<90°,所以A=B=45°,C=90°,

则△ABC为等腰直角三角形.

方法二:由sin Asin B(2-cos C)=sin2+

变形得sin Asin B(2-cos C)=(1-cos C)+

=1-cos C,-[cos(A+B)-cos(A-B)](2-cos C)

=1-cos C,

所以-(-cos C-1)(2-cos C)=1-cos C,

即(cos C+1)(2-cos C)=2-cos C,

因为2-cos C≠0,所以cos C+1=1.

所以cos C=0,所以C=90°,

则△ABC为等腰直角三角形.

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos C+bsin C-a-c=0,则角B=________. 

【解析】由正弦定理知,sin Bcos C+sin Bsin C-sin A-sin C=0.(*)

因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,代入(*)式得sin Bsin C-

cos Bsin C-sin C=0.

因为sin C>0,所以sin B-cos B-1=0,

所以2sin=1,即sin=.

因为B∈(0,π),所以B=.

答案:

6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos C+ccos B=2b,则=

________. 

【解析】方法一:由正弦定理bcos C+ccos B=2b,

即sin Bcos C+sin Ccos B=2sin B,

即sin(B+C)=2sin B,sin(π-A)=2sin B,

有sin A=2sin B,再由正弦定理得a=2b,=2.

方法二:如图,作AD⊥BC于点D,

则a=BC=BD+DC=ccos B+bcos C=2b,

即=2.

答案:2

7.在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c满足2b=a+c,且A-C=90°,则cos B=

________. 

【解析】因为2b=a+c.所以由正弦定理,得2sin B=sin A+sin C.因为A-C=90°,所以2sin B=sin(90°+C)+sin C,所以2sin B=cos C+sin C.

所以2sin B=sin(C+45°).①

因为A+B+C=180°且A-C=90°,所以C=45°-,代入①式中,2sin B=sin.

所以2sin B=cos.

所以4sincos=cos.

所以sin=.

所以cos B=1-2sin2=1-=.

答案:

8.在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则的值等于________,AC的取值范围为________. 

【解题指南】由正弦定理和二倍角公式求比值,利用余弦函数的值域求取值范围.

【解析】设A=θ,则B=2θ.

由正弦定理得=,即=,

所以=1⇒=2.

由锐角△ABC得0°<θ<45°,

又0°<180°-3θ<90°⇒30°<θ<60°,

故30°<θ<45°⇒<cos θ<,

所以AC=2cos θ∈(,).

答案:2　(,)

三、解答题(每小题10分,共30分)

9.已知在△ABC中,D为BC的中点,cos∠BAD=,cos∠CAD=,

(1)求∠BAC的值;

(2)求的值.

【解析】(1)因为cos∠BAD=,cos∠CAD=,

所以在△ABC中,∠BAD,∠CAD为锐角,

所以sin∠BAD=,sin∠CAD=,

cos∠BAC=cos(∠BAD+∠CAD)

=×-×=,

因为0<∠BAC<π,所以∠BAC=.

(2)在△ABC中,=,

在△ABD中,=,=,

又因为BC=2BD,所以=.

10.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且b=6,a=2,A=30°,试求ac的值.

【解析】由正弦定理=得

sin B==.

由条件b=6,a=2,b>a知B>A.所以B=60°或120°.

(1)当B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°.

在Rt△ABC中,C=90°,a=2,b=6,c=4,

所以ac=2×4=24.

(2)当B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,

所以A=C,则有a=c=2.所以ac=2×2=12.

11.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为acsin 2B.

(1)求sinB的值;

(2)若c=5,3sin2C=5sin2B·sin2A,且BC的中点为D,求△ABD的周长.

【解析】(1)由题意得acsin B=acsin 2B,

即sin B=2sin Bcos B,

因为0<B<π,所以sin B>0,故cos B=.

所以sin B==.

(2)由3sin2C=5sin2B·sin2A,

sin2B=,得16sin2C=25sin2A,

由正弦定理得16c2=25a2,即4c=5a.

因为c=5,所以a=4,BD=a=2.

在△ABD中,由余弦定理得AD2=c2+BD2-2c·BD·cos B

=25+4-2×5×2×=24,所以AD=2,

所以△ABD的周长为c+BD+AD=7+2.

【补偿训练】

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos B=,sin(A+B)=,ac= 2,求sin A和c的值.

【解析】在△ABC中,由cos B=,得sin B=,

因为A+B+C=π,所以sin C=sin(A+B)=.

因为sin C<sin B,所以C<B,可知C为锐角,

所以cos C=.

因此sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C

=×+×=.

由正弦定理=,

得a===2c,

又ac=2,所以c=1.

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