高中人教A版 (2019)6.4 平面向量的应用第3课时课后测评

这是一份高中人教A版 (2019)6.4 平面向量的应用第3课时课后测评，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 温馨提示：    此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时素养检测十三　余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题(30分钟　60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.如图,为了测量隧道口AB的长度,给定下列四组数据,计算时应当用数据(　　)A.α,a,b    B.α,β,aC.a,b,γ    D.α,β,b【解析】选C.由A与B不可到达,故不易测量α,β,所以计算时应当用数据a,b,γ.2.如图所示,要测量一水塘两侧A,B两点间的距离,其方法先选定适当的位置C,用经纬仪测出角α,再分别测出AC,BC的长b,a,则可求出A,B两点间的距离.若测得CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60°,则AB的长为              (　　)A.200 m   B.200 m   C.200 m   D.500 m【解析】选C.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,所以AB2=4002+6002-2×400×600cos 60°=280 000,所以AB=200(m),即A,B两点间的距离为200m.3.海上有A,B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B,C间的距离是              (　　)A.10海里    B.5海里C.5海里   D.5海里【解析】选C.在△ABC中,A=60°,B=75°,∠C=180°-60°-75°=45°,根据正弦定理得,得=,解得BC=5.4.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h,则14时两船之间的距离是              (　　)A.50 n mile　　　　　　　 B.70 n mileC.90 n mile      D.110 n mile【解析】选B. 到14时,轮船A和轮船B分别走了50 n mile,30 n mile,由余弦定理得两船之间的距离为l==70 n mile.5.一船以每小时15 km的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60°,行驶4小时后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为              (　　)A.60 km     B.60 kmC.30 km    D.30 km【解析】选A.画出图形如图所示,在△ABC中,∠BAC=30°,AC=4×15=60,∠B=45°,由正弦定理得=,所以BC===60,所以船与灯塔的距离为60 km.6.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)A.a km    B.a kmC.a km    D.2a km【解析】选B.如图,在△ABC中,AC=BC=a km,∠ACB=180°-(20°+40°)=120°,所以AB===a(km).二、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,为了测定河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,则河的宽度为________. 【解析】在△ABC中,AB=120 m,A=30°,B=75°,则C=180°-A-B=75°,所以AC=AB=120 m,则河的宽度为ACsin 30°=60 m.答案:60 m8.湖中有一小岛,沿湖有一条南北方向的公路,在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15°方向,汽车向南行驶1 km后,又测得小岛在南偏西75°方向,则小岛到公路的距离是________km. 【解析】如图,∠CAB=15°,∠CBA=180°-75°=105°,∠ACB=180°-105°-15°=60°,AB=1 km.由正弦定理得=,BC==(km).设C到直线AB的距离为d,则d=BCsin 75°=×=(km).答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.要测量对岸两点A,B之间的距离,选取相距 km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求A,B之间的距离.【解析】在△ACD中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,所以AC=CD=(km).在△BCD中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°.所以BC==(km).△ABC中,由余弦定理,得AB2=()2+-2××cos 75°=3+2+-=5,所以AB=(km).所以A,B之间的距离为 km.10.甲船自某港出发时,乙船在离港7海里的海上驶向该港,已知两船的航向成120°角,甲、乙两船航速之比为2∶1,求两船间距离最短时,各离该海港多远?【解析】如图所示,甲船由A港沿AE方向行驶,乙船由D处向A港行驶,显然∠EAD=60°.设乙船航行到B处行驶了s海里,此时A船行驶到C处,则AB=7-s,AC=2s,而∠EAD=60°,由余弦定理,得BC2=4s2+(7-s)2-4s(7-s)cos 60°=7(s-2)2+21(0≤s<7).所以s=2时,BC最小为,此时AB=5,AC=4.即甲船离港4海里,乙船离港5海里.故两船间距离最短时,甲船离港4海里,乙船离港5海里.(25分钟　50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.如图,货轮在海上以36 n mile/h的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为152°的方向航行.为了确定船位,在B点处观测到灯塔A的方位角为122°.半小时后,货轮到达C点处,观测到灯塔A的方位角为32°.则此时货轮与灯塔之间的距离为(　　)A.7 n mile    B.8 n mileC.9 n mile    D.10 n mile【解析】选C.在△ABC中,∠B=152°-122°=30°,∠C=180°-152°+32°=60°,∠A=180°-30°-60°=90°,BC==18,所以AC=18sin 30°=9(n mile).2.一船向正北航行,看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏东60°,另一灯塔在船的南偏东75°,则这艘船每小时航行              (　　)A.5海里   B.6海里   C.7海里   D.8海里【解析】选D.如图,由题意知在△ABC中,∠ACB=75°-60°=15°,∠B=15°,所以AC=AB=8.在Rt△AOC中,OC=AC·sin 30°=4.所以这艘船每小时航行=8(海里).3.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为              (　　)A. n mile/h    B.34 n mile/hC. n mile/h    D.34 n mile/h【解析】选A.如图所示,在△PMN中,=,所以MN==34,所以v== n mile/h.4.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5 m,起吊的货物与岸的距离AD为              (　　)A.30 m   B. m   C.15 m    D.45 m【解析】选B.在△ABC中,AC=15 m,AB=5 m,BC=10 m,由余弦定理得cos ∠ACB===-,所以sin ∠ACB=.又∠ACB+∠ACD=180°,所以sin ∠ACD=sin ∠ACB=.在Rt△ACD中,AD=ACsin ∠ACD=15×=(m).二、填空题(每小题5分,共10分)5.如图,某山上原有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC,小李在山脚B处看索道AC,发现张角∠ABC=120°,从B处攀登400米后到达D处,再看索道AC,发现张角∠ADC=150°,从D处再攀登800米到达C处,则索道AC的长为________米. 【解析】在△ABD中,BD=400米,∠ABD=120°,因为∠ADB=180°-∠ADC=30°,所以∠DAB=30°,所以AB=BD=400米,AD==400米.在△ADC中,DC=800,∠ADC=150°,AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC=(400)2+8002-2×400×800×cos 150°=4002×13,所以AC=400米,故索道AC的长为400米.答案:4006.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A,B两点间的距离),现取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°, ∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则图中海洋蓝洞的口径为________. 【解析】由已知得,在△ACD中,∠ACD=15°,∠ADC=150°,所以∠DAC=15°,由正弦定理得AC===40(+).在△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,所以∠DBC=30°,由正弦定理得=,即BC===160sin 15°=40(-).在△ABC中,由余弦定理,得AB2=1 600×(8+4)+1 600×(8-4)+2×1 600×(+)×(-)×=1 600×16+1 600×4=1 600×20=32 000,解得AB=80.故图中海洋蓝洞的口径为80.答案:80三、解答题(每小题10分,共20分)7.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-3,1),直线OB的倾斜角为45°,且|OB|=.(1)求点B的坐标及线段AB的长度;(2)在平面直角坐标系xOy中,取1厘米为单位长度.现有一质点P以1厘米/秒的速度从点B出发,沿倾斜角为60°的射线BC运动,另一质点Q同时以厘米/秒的速度从点A出发做直线运动,如果要使得质点Q与P会合于点C,那么需要经过多少时间?【解析】(1)设点B(x0,y0),依题意x0=cos 45°=1,y0=sin 45°=1,从而B(1,1),又A(-3,1),所以AB∥x轴,则|AB|=|1-(-3)|=4.(2)设质点Q与P经过t秒会合于点C,则AC=t厘米,BC=t厘米.由AB∥x轴及BC的倾斜角为60°,得∠ABC=120°.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 120°,所以2t2=16+t2+8t·,化简得t2-4t-16=0,解得t=2-2(舍去)或t=2+2.即若要使得质点Q与P会合于点C,则需要经过(2+2)秒.8.如图所示,经过村庄A有两条夹角为60° 的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?【解析】设∠AMN=θ,在△AMN中,=.因为MN=2,所以AM=sin (120° -θ).在△APM中,cos∠AMP=cos(60° +θ).AP2=AM2+MP2-2AM·MP·cos∠AMP=sin2(120° -θ)+4-2×2×sin (120° -θ)cos(60° +θ)=sin2(θ+60°)-sin (θ+60° )cos(θ+60° )+4=[1-cos(2θ+120° )]-sin (2θ+120° )+4=-[sin (2θ+120° )+cos(2θ+120° )]+=-sin (2θ+150° ),0°<θ<120°.当且仅当2θ+150° =270° ,即θ=60° 时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2.所以设计∠AMN=60° 时,工厂产生的噪声对居民影响最小. 关闭Word文档返回原板块