高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用同步练习题

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课时素养检测

十　平面几何中的向量方法

向量在物理中的应用举例

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20 N,当它们的夹角为120°时,合力大小为               (　　)

A.40 N    B.10 N

C.20 N    D.40 N

【解析】选B.如图,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力.

由题意,易知|F|=|F1|,

|F|=20 N,所以|F1|=|F2|=10 N.

当它们的夹角为120°时,以F1,F2为邻边作平行四边形,此平行四边形为菱形,

此时|F合|=|F1|=10 N.

2.若点O是△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状是(　　)

A.等腰三角形    B.直角三角形

C.等腰直角三角形   D.等边三角形

【解析】选B.因为|-|=||=|-|,

|+-2|=|+|,所以|-|=|+|,所以四边形ABDC是矩形,且∠BAC=90°.

所以△ABC是直角三角形.

【补偿训练】

　　　若四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则该四边形一定是  (　　)

A.正方形    B.矩形

C.菱形    D.直角梯形

【解析】选C.因为+=0,所以=,四边形ABCD是平行四边形,由(- )·=0,得·=0,所以⊥,即此四边形对角线互相垂直,故为菱形.

3.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且++=0,则△ABC的内角A等于 (　　)

A.30° B.60° C.90° D.120°

【解析】选A.由++=0,得=-,两边平方得=+-2·,由于||=||=||,则||2=2||||cos∠BOC,所以cos∠BOC=,则∠BOC=60°,

所以∠A=∠BOC=30°.

【补偿训练】

　　　已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则·的值为(　　)

A.-   B.    C.-    D.

【解析】选A.因为3+4+5=0,

所以3+4=-5,

所以9+24·+16=25.

因为A,B,C在圆上,所以||=||=||=1.代入原式得·=0,

所以·=-(3+4)·(-)

=-(3·+4-3-4·)=-.

4.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3的作用而处于平衡状态.已知F1与F2的夹角为60°,且F1,F2的大小分别为2 N和4 N,则F3的大小为              (　　)

A.6 N　   B.2 N   C.2 N　   D.2 N

【解析】选D.由向量的平行四边形法则及力的平衡,得|F3|2=|-F1-F2|2=|F1|2+|F2|2+2|F1|·

|F2|·cos 60°=22+42+2×2×4×=28,

所以|F3|=2 N.

5.在四边形ABCD中,∠B=120°,∠C=150°,且AB=3,BC=1,CD=2,则AD的长所在区间为              (　　)

A.(2,3)   B.(3,4)   C.(4,5)   D.(5,6)

【解析】选C.=++,其中与的夹角为60°,与的夹角为30°,与的夹角为90°,则||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2· +2·=9+1+4+2×3×1×+2×1×2×+0=17+2∈(16,25),所以||∈(4,5).

6.(多选题)小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时,设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列说法中正确的是              (　　)

A.绳子的拉力不断增大   B.绳子的拉力不断变小

C.船的浮力不断变小   D.船的浮力保持不变

【解析】选AC.设水的阻力为f,绳的拉力为F,F与水平方向的夹角为θ,0<θ<.则|F|cosθ=|f|,所以|F|=.因为θ增大,cosθ减小,所以|F|增大.

因为|F|sinθ增大,且船的重力为|F|sin θ与浮力之和,所以船的浮力减小.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.已知O为坐标原点,点A(3,0),B(4,4),C(2,1),则AC和OB的交点P的坐标为______. 

【解析】设=t=t(4,4)=(4t,4t),则=-=(4t-3,4t),=(2,1)-(3,0)=(-1,1).

由,共线,得(4t-3)×1-4t×(-1)=0,

解得t=.所以=(4t,4t)=,

所以点P的坐标为.

答案:

8.在倾斜角为37°(sin37°=0.6),高为2 m的斜面上,质量为5 kg的物体m沿斜面下滑至底部,则斜面对物体m的支持力所做的功为______J,重力所做的功为__ J(g=9.8m/s2).

【解析】物体m的位移大小为|s|==(m),则支持力对物体m所做的功为W1=F·s=|F||s|·cos90°=0(J);

重力对物体m所做的功为W2=G·s=|G||s|cos53°=5×9.8××0.6=98(J).

答案:0　98

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.如图,=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),

(1)若∥,求x与y间的关系式;

(2)若又有⊥,求x,y的值及四边形ABCD的面积.

【解析】(1)因为=++=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(4+x,y-2),所以=(-4-x,2-y).

由∥,得x(2-y)-y(-4-x)=0.

整理得2x-xy+4y+xy=0,即x+2y=0.

(2)因为=+=(6,1)+(x,y)=(6+x,y+1),

=+=(x,y)+(-2,-3)=(x-2,y-3),

由⊥,所以(6+x)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.

整理得x2+4x-12+y2-2y-3=0.

由(1)可知y=-x,代入上式得x2+4x-12=0.

解得x1=-6,x2=2.

相应求得y1=3,y2=-1,

即或

如图,

S四边形ABCD=S△BCD+S△ABD=

||||+||||=||||,又=(x1-2,y1-3)=(-8,0)或=(x2-2,y2-3)=(0,-4),=(6+x1,y1+1)=(0,4)或=(6+x2,y2+1)=(8,0),

所以||=8或4,||=4或8,

所以=16.

10.某人在一条河中游泳,河水的流速为3 km/h,此人在静水中游泳的速度为

4 km/h.

(1)如果他径直游向河对岸,他实际是沿什么方向前进?速度大小为多少?

(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?

【解析】(1)设水流速度为,此人游泳的速度为,以,为邻边作矩形OACB,则此人实际的速度为=+.

由||=3,||=4,及勾股定理,得||=5,且在Rt△OAC中,∠AOC≈53°8′.

故此人实际是沿与水流方向的夹角为53°8′的方向前进的,速度大小为

5 km/h.

(2)设水流速度为,实际游泳的速度为,实际前进的速度为,

则+=,所以四边形OABC为平行四边形.

据题意,⊥,||=3,||=4,

则在Rt△AOB中,||==.

cos∠BAO=,所以∠BAO≈41°25′.

故此人应沿与河岸的夹角为41°25′且逆着水流的方向前进,实际前进的速度大小为 km/h.

【补偿训练】

　　　一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1 000 km到达B地,然后向C地飞行.设C地恰好在A地的南偏西60°,并且A、C两地相距2 000 km,求飞机从B地到C地的位移.

【解析】如图所示,设A在东西基线和南北基线的交点处.依题意,的方向是北偏西60°,||=1 000 km;的方向是南偏西60°,||=2 000 km,所以∠BAC=

60°.过点B作东西基线的垂线,交AC于点D,则△ABD为正三角形.

所以BD=CD=1 000 km,∠CBD=∠BCD

=∠BDA=30°.所以∠ABC=90°.

BC=AC·sin60°=2 000×=1 000(km),

||=1 000(km).所以,飞机从B地到C地的位移大小是1 000km,方向是南偏西30°.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.在△ABC中,设=a,=b,=c,若a·b=b·c=c·a,则△ABC的形状为 (　　)

A.等腰三角形 B.等边三角形

C.直角三角形 D.等腰直角三角形

【解析】选B.因为a·b=b·c,所以(a-c)·b=0,而由向量加法的三角形法则可知,a+b+c=0,所以b=-a-c,所以(a-c)·(-a-c)=0,即(a-c)·(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.

故△ABC是等边三角形.

2.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=(　　)

A.2   B.4   C.5   D.10

【解析】选D.将△ABC各边及PA,PB,PC均用向量表示,则=

=

=

=-6=42-6=10.

3.点O是△ABC所在平面内的一点,满足·=·=·,则点O是△ABC的 (　　)

A.三个内角的角平分线的交点

B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点

D.三条高线的交点

【解析】选D.由·=·,得·-·=0,所以·(-)=0,即·=0.所以⊥.同理可证⊥,⊥.所以OB⊥CA,OA⊥CB,OC⊥AB,即点O是△ABC的三条高线的交点.

4.(多选题)在直角△ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列等式成立的是(　　)

A.||2=·

B.||2=·

C.||2=·

D.||2=

【解析】选ABD.·=·(+)

=+·==||2,A正确;

同理||2=·成立,B正确;

又=

==||2,D正确.

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上),大小为50N,一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m.则力F所做的功是________,摩擦力f所做的功是________.(g=10 m/s2) 

【解析】设木块的位移为s,则F·s=|F||s|cos30°=50×20×=500(J).

将力F分解,它在铅垂方向上的分力F1的大小为

|F1|=|F|sin30°=50×=25(N),所以摩擦力f的大小为|f|=|μ(G-F1)|=(80-25)×0.02=1.1(N).

因此f·s=|f||s|cos 180°=1.1×20×(-1)=-22(J).

即F和f所做的功分别是500J和-22J.

答案:500J　-22J

6.如图,已知在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,点M在OB上,且OM=1,点N在OA上,且ON=1,P为AM与BN的交点,则∠MPN=________. 

【解析】设=a,=b,与的夹角为θ,则=b,=a,

又因为=-=b-a,

=-=a-b.所以·=·=-5,

又||=,||=,所以cos θ==-.

又因为θ∈[0,π],所以θ=,又因为∠MPN为向量,的夹角,所以

∠MPN=.

答案:

7.已知O为△ABC所在平面内的一点,满足||2+=||2+||2=||2+||2,则O是△ABC的________. 

【解析】设=a,=b,=c,则=c-b,=a-c,=b-a.由题意可知|a|2+|c-b|2=|b|2+|a-c|2,化简可得c·b=a·c,即(b-a)·c=0,

即·=0,故⊥,即OC⊥AB.同理可得OB⊥AC,OA⊥BC,故O是△ABC的垂心.

答案:垂心

8.如图所示,在△ABC中,D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点,G是它的重心,已知D点的坐标是(1,2),E点坐标是(3,5),F点坐标是(2,7),则A点坐标为________,G点坐标为________. 

【解析】设A(x1,y1),由已知得EF平行且等于AD.

所以=.

所以(x1-1,y1-2)=(2-3,7-5)=(-1,2).

所以即所以A(0,4).

因为AE过点G.

设G(x2,y2),

由=2得(x2,y2-4)=2(3-x2,5-y2),

所以即所以G(2,).

答案:(0,4)　(2,)

三、解答题(每小题10分,共30分)

9.一条宽为 km的河,水流速度的大小为2 km/h,在河两岸有两个码头A,B,已知AB= km,船在水中最大航速的大小为4 km/h,问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头?用时多少?

【解析】如图所示,设为水流速度,为航行速度,以AC和AD为邻边作▱ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸,

根据题意AC⊥AE,在Rt△ADE和▱ACED中,||=||=2,||=4,∠AED=90°,

所以||==2.

又AB=,所以用时0.5 h.

因为sin∠EAD=,0°<∠EAD<90°,

所以∠EAD=30°.

综上所述,船实际航行速度大小为2 km/h,与水流成120°角时能最快到达B码头,用时0.5 h.

10.经过△OAB重心G的直线与OA、OB分别交于P、Q两点,若=m,=n,求证:+=3.

【证明】

如图所示,因为点G是△OAB的重心,

所以=(+),

所以=-

=(+)-m

=(-m)+,

由于P、G、Q三点共线,则存在实数λ,

使=λ=λ

又因为=-=n-m

即n-m=λ[(-m)+]

=λ+λ,

所以消去λ,得+=3.

11.设a,b,c是两两不共线的三个向量.

(1)如果a+b+c=0,

求证:以a,b,c的模为边,必构成一个三角形;

(2)如果向量a,b,c能构成一个三角形,问它们应该有怎样的关系?

【解析】(1)如图,作=a,=b,=c.按向量加法的多边形法则有

=++=a+b+c=0,

所以B与D重合,故向量a,b,c能构成一个三角形.

(2)设向量a,b,c能构成一个三角形ABC,根据向量加法的三角形法则,有+=,即++=0.因为a=-,b=-,c=-,

所以a,b,c有下列四种关系之一即可:

①a+b-c=0;②a+b+c=0;③a-b-c=0;④a-b+c=0.

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