2021学年7.2 复数的四则运算复习练习题

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课时素养检测

十七　复数的加、减运算及其几何意义

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.已知z1=2+i,z2=1+2i,则复数z=z2-z1对应的点位于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.第一象限　      B.第二象限

C.第三象限       D.第四象限

【解析】选B.z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i,实部小于零,虚部大于零,故位于第二象限.

2.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是 (　　)

A.-2   B.4   C.3   D.-4

【解析】选B.z=1-(3-4i)=-2+4i.

3.已知复数z1=1+2i,z2=3-4i,若z+z1=z2-z,则复数z= (　　)

A.1+3i      B.1-3i

C.2-6i      D.3+4i

【解析】选B.设z=a+bi,a,b∈R,

由复数z1=1+2i,z2=3-4i,且z+z1=z2-z,

得a+bi+1+2i=3-4i-(a+bi),

得(a+1)+(b+2)i=(3-a)+(-4-b)i,

所以a+1=3-a,b+2=-4-b,

得a=1,b=-3,所以z=1-3i.

【一题多解】选B.因为复数z1=1+2i,z2=3-4i,且z+z1=z2-z,所以2z=z2-z1=3-4i-(1+2i)=2-6i,所以z=1-3i.

4.在复平面内,复数1+i和1+3i分别对应向量和,其中O为坐标原点,则||=(　　)

A.   B.2   C.   D.4

【解析】选B.由复数减法运算的几何意义知,

对应的复数为(1+3i)-(1+i)=2i,

所以||=2.

5.如图,设向量,,所对应的复数为z1,z2,z3,那么 (　　)

A.z1-z2-z3=0　       B.z1+z2+z3=0

C.z2-z1-z3=0　       D.z1+z2-z3=0

【解析】选D.由题图可知,+=0,

所以+-=0,所以z1+z2-z3=0.

6.(多选题)下列关于复数的叙述正确的是 (　　)

A.两个共轭复数的和是实数

B.两个共轭复数的差是虚数

C.两个共轭虚数的和是实数

D.两个共轭虚数的差是虚数

【解析】选ACD.设复数z=a+bi,a,b∈R,则共轭复数=a-bi,所以有z+=2a∈R,z-=2bi,当b=0时,z-是实数,当b≠0时,z-是虚数,A正确,B不正确.设虚数z=a+bi,a,b∈R,且b≠0,则共轭虚数=a-bi,所以有z+=2a∈R,z-=2bi是虚数,C正确,D正确.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.计算(1-3i)-(2-4i)+(3+5i)=________. 

【解析】(1-3i)-(2-4i)+(3+5i)

=(1-2+3)+(-3+4+5)i=2+6i.

答案:2+6i

8.已知|z|=,且z-2+4i为纯虚数,则z=________. 

【解析】设复数z=x+yi(x,y∈R),

则z-2+4i=(x-2)+(y+4)i.

由题意知　所以或

所以z=2±i.

答案:2±i

【补偿训练】

    已知向量和向量对应的复数分别为3+4i和2-i,则向量对应的复数为__________. 

【解析】因为=-,所以对应复数为(2-i)-(3+4i)=-1-5i.

答案:-1-5i

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i所对应的点分别为A,B,C.若=x+y,求x+y的值.

【解析】由于复数z1=-1+2i,z2=1-i,

z3=3-2i所对应的点分别为A,B,C,

所以=-1+2i,=1-i,=3-2i,

因为=x+y,

所以3-2i=x(-1+2i)+y(1-i),

所以解得故x+y=5.

10.已知z1=-3+i,z2=2+6i对应的向量分别为和,以OZ1,OZ2为邻边作平行四边形OZ1CZ2.求向量,,对应的复数.

【解析】由复数加减法的几何意义知,向量对应的复数为z1+z2=(-3+i)+(2+6i)=-1+7i,

向量对应的复数z2-z1=(2+6i)-(-3+i)

=5+5i;

向量对应的复数z1-z2=-5-5i.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形

是 (　　)

A.直角三角形      B.等腰三角形

C.锐角三角形      D.钝角三角形

【解析】选A.|AB|=|2i-1|=,|AC|=|4+2i|=,|BC|=5,所以|BC|2=|AB|2+

|AC|2.故选A.

2.在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2+i所对应的点分别是A,B,C,则平行四边形ABCD的对角线BD所对应的复数是              (　　)

A.5-9i        B.-5-3i

C.7-11i        D.-7+11i

【解析】选C.在复平面上复数-3-2i,-4+5i,2+i所对应的点分别是A,B,C,则=(-3,-2),=(-4,5),=(2,1),所以平行四边形ABCD的对角线BD满足=+=(-)+(-)=(7,-11),所对应的复数是7-11i.

3.(多选题)设z1,z2∈C,则下列关系正确的是 (　　)

A.|z1+z2|>|z1|

B.|z1-z2|<|z1|

C.|z1+z2|≤|z1|+|z2|

D.|z1-z2|≤|z1|+|z2|

【解析】选CD.若z2=0时,|z1+z2|=|z1|,|z1-z2|=|z1|,故A,B不正确.

设复数z1,z2对应平面向量,,

当与不共线时,|+|<||+||,当与方向相同时,

|+|=||+||,

故|+|≤||+||,

即|z1+z2|≤|z1|+|z2|,C正确.

当与不共线时,|-|<||+||,当与方向相反时,|-|=||+||,

故|-|≤||+||,

即|z1-z2|≤|z1|+|z2|,D正确.

4.复数z1=1+icos θ,z2=sin θ-i,则|z1-z2|的最大值为 (　　)

A.3-2　       B.-1

C.3+2　　　      D.+1

【解析】选D.|z1-z2|=|(1+icos θ)-(sin θ-i)|

=

=

=≤=+1.

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.复平面内三点A,B,C,点A对应的复数为3-4i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-2i,则点C对应的复数为________. 

【解析】由点A对应的复数为3-4i,向量对应的复数为1+2i,向量对应复数为3-2i,得=+=+-=(3-4i)+(3-2i)-(1+2i)=5-8i,所以点C对应的复数为5-8i.

答案:5-8i

6.复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为________. 

【解析】由|z-4i|=|z+2|,得

|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,

所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,

即x+2y=3,

所以2x+4y=2x+22y≥2=2=4,

当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值4.

答案:4

7.已知复平面上△AOB的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,则|+|=________. 

【解析】复平面上△AOB的顶点A所对应的复数为1+2i,其重心G所对应的复数为1+i,设AB的中点为D,则=,由向量加法的平行四边形法则,得+=2

=3=3+3i,故|+|=3.

答案:3

8.复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是3+i,向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,则B点对应的复数为________. 

【解析】因为表示的复数是2+4i,

表示的复数是4+i,

所以=-=(4+i)-(2+4i)=2-3i,

故=+=(3+i)+(2-3i)=5-2i,

所以B点对应的复数为zB=5-2i.

答案:5-2i

三、解答题(每小题10分,共30分)

9.已知复数z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i,(x,y∈R)

设z=z1-z2=14-11i,求z1+z2.

【解析】由z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),z=z1-z2=14-11i,

得(5x-3y)+(x+4y)i=14-11i,

所以解得

所以z1=(3x+y)+(y-4x)i=-7i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i=-14+4i,z1+z2=-14-3i.

10.已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,

求|z1-z2|.

【解析】方法一:设z1=a+bi,z2=c+di,

其中a,b,c,d∈R,则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,

由|z1|2=|z2|2=1,|z1+z2|2=3,

得a2+b2=1,　①

c2+d2=1,②

(a+c)2+(b+d)2=3,③

将①②代入③,得ac+bd=.

所以|z1-z2|2=(a-c)2+(b-d)2=a2+b2+c2+d2-2(ac+bd)=1,

所以|z1-z2|=1.

方法二:由z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,根据复数与向量的对应关系以及平行四边形法则可知,z1,z2,z1+z2所对应的点围成菱形ABCD,如图,在△ABC中,由余弦定理,

得cos∠ABC==-,

所以∠ABC=120°,∠BAD=60°,

所以△ABD是等边三角形,

所以=1,即=1.

11.已知平行四边形ABCD中,与对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于P点.

(1)求对应的复数;

(2)求对应的复数;

(3)求△APB的面积.

【解析】(1)由于四边形ABCD是平行四边形,所以=+,于是=-,而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,即对应的复数是-2+2i.

(2)由于=-,而(3+2i)-(-2+2i)=5,即对应的复数是5.

(3)由于==-=,

==,于是·=-,

而||=,||=,

所以··cos∠APB=-,

因此cos∠APB=-,故sin∠APB=,

故=||||sin∠APB=×××=.即△APB的面积为.

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