人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课后练习题

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课时素养检测

三十三　平面与平面垂直(二)

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.若两个平面互相垂直,在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b,那么(　　)

A.直线a垂直于第二个平面

B.直线b垂直于第一个平面

C.直线a不一定垂直于第二个平面

D.过a的平面必垂直于过b的平面

【解析】选C.直线a与直线b均不一定垂直两面的交线.

2.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点F,作FE⊥A1B1于E,则EF与平面A1B1C1D1的关系是              (　　)

A.平行     B.EF⊂平面A1B1C1D1

C.相交但不垂直   D.相交且垂直

【解析】选D.由于长方体中平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1,所以根据面面垂直的性质定理可知,EF与平面A1B1C1D1相交且垂直.

3.在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC一定是              (　　)

A.直角三角形   B.等腰三角形

C.等边三角形   D.等腰直角三角形

【解析】选A.过点A作AH⊥BD于点H,由平面ABD⊥平面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC.

又DA⊥平面ABC,所以BC⊥AD,又因为AH∩AD=A,所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥AB,即△ABC一定为直角三角形.

4.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,则BD与CC1(　　)

A.平行    B.共面

C.垂直    D.不垂直

【解析】选C.如图所示,在四边形ABCD中,

因为AB=BC,AD=CD.所以BD⊥AC.因为平面AA1C1C⊥平面ABCD,

平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C.

又CC1⊂平面AA1C1C,所以BD⊥CC1.

5.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是(　　)

A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n

B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n

C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β

D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β

【解析】选D.A中,m,n可能为平行、垂直、异面直线;B中,m,n可能为异面直线;C中,m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立.

6.(多选题)如图所示,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面,点M为线段PB的中点.以下四个结论中正确的为              (　　)

A.PA∥平面MOB    B.MO∥平面PAC

C.OC⊥平面PAC    D.平面PAC⊥平面PBC

【解析】选BD.因为PA⊂平面MOB,所以选项A不正确;

因为MO∥PA,而且MO⊄平面PAC,所以选项B正确;OC不垂直于AC,所以选项C不正确;

因为BC⊥AC,BC⊥PA,AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBC,所以选项D正确.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.在四面体ABCD中,AB⊥AD,AB=AD=BC=CD=1,且平面ABD⊥平面BCD,M为AB中点,则线段CM的长为________. 

【解析】如图所示,取BD的中点O,连接OA,OC,

因为AB=AD=BC=CD=1,所以OA⊥BD,OC⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD,所以OA⊥平面BCD,OA⊥OC.又AB⊥AD,所以DB=.

取OB中点N,连接MN,CN,所以MN∥OA,MN⊥平面BCD.

因为CN2=ON2+OC2,所以CM==.

答案:

8.(双空题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角C1-AB-D的大小为________;直线AC1与平面ABCD所成的角的正切值为________. 

【解析】二面角C1-AB-D的平面角为∠C1BC=45°,由线面角的定义知直线AC1与平面ABCD所成的角为∠C1AC,故正切值为.

答案:45°　

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.如图,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E为垂足.

(1)求证:PA⊥平面ABC;

(2)当E为△PBC的垂心时,求证:△ABC是直角三角形.

【证明】(1)在平面ABC内任取一点D,作DF⊥AC于点F,作DG⊥AB于点G.因为平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,所以DF⊥平面PAC.

因为PA⊂平面PAC,所以DF⊥PA.

同理可证,DG⊥PA.

因为DG∩DF=D,所以PA⊥平面ABC.

(2)连接BE并延长交PC于点H.

因为E是△PBC的垂心,所以PC⊥BH.

又因为AE是平面PBC的垂线,所以PC⊥AE.

因为BH∩AE=E,所以PC⊥平面ABE,

所以PC⊥AB.

又因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB.

因为PA∩PC=P,所以AB⊥平面PAC.

所以AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.

【补偿训练】

　　　如图,α⊥β,α∩β=l,AB⊂α,AB⊥l,BC⊂β,DE⊂β,BC⊥DE.

求证:AC⊥DE.

【证明】因为α⊥β,α∩β=l,AB⊂α,AB⊥l,

所以AB⊥β.

因为DE⊂β,所以AB⊥DE.

因为BC⊥DE,AB∩BC=B,

所以DE⊥平面ABC.

因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥DE.

10.(2017·北京高考)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA= AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.

(1)求证:PA⊥BD;

(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;

(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.

【解析】(1)因为PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,且AB∩BC=B,所以PA⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,所以PA⊥BD.

(2)因为AB=BC,D是AC的中点,所以BD⊥AC,

由(1)知PA⊥平面ABC,

因为PA⊂平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABC,

因为平面PAC∩平面ABC=AC,BD⊂平面ABC,BD⊥AC,所以BD⊥平面PAC,

因为BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC.

(3)因为PA∥平面BDE,

又DE=平面BDE∩平面PAC,

PA⊂平面PAC,所以PA∥DE,

因为D是AC的中点,

所以E为PC的中点,所以DE=1,

所以S△BDC=S△ABC=××2×2=1,

VE-BCD=×1×DE=×1×1=.

(25分钟　50分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.已知直线l⊥平面α,直线m∥平面β,若α⊥β,则下列结论正确的是(　　)

A.l∥β或l⊂β   B.l∥m

C.m⊥α     D.l⊥m

【解析】选A.对于A.直线l⊥平面α,α⊥β,则l∥β或l⊂β,A正确;

对于B.直线l⊥平面α,直线m∥平面β,且α⊥β,则l∥m或l与m相交或l与m异面,所以B,D错误;

对于C.直线l⊥平面α,直线m∥平面β,且α⊥β,则m⊥α或m与α相交或m⊂α或m∥α,所以C错误.

2.α,β,γ表示平面,a,b表示直线,若β⊥γ,且α与γ相交但不垂直,则(　　)

A.∀b⊂β,b⊥γ   B.∀b⊂β,b∥γ

C.∃a⊂α,a⊥γ   D.∃a⊂α,a∥γ

【解析】选D.设β∩γ=l,根据面面垂直的性质定理,只有β内与l垂直的直线b才与γ垂直,故A错误.β内与l垂直的直线b与γ相交,b与γ不平行,B错误.假若∃a⊂α,a⊥γ,根据面面垂直的判定定理,可以得出α⊥γ,与α与γ相交但不垂直矛盾,C错误.设α与γ相交于m,则在α内与m平行的直线a与γ平行,D正确.

3.将正方形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,M为CD的中点,则∠AMD的大小是              (　　)

A.45°   B.30°   C.60°   D.90°

【解析】选D.由题意画出图形,如图,

设正方形的边长为2,

折叠前后AD=2,DM=1,连接AC交BD于O,连接OM,则OM=1,AO=,因为正方形ABCD沿对角线BD折起,使平面ABD⊥平面CBD,

AO⊥BD,所以AO⊥平面BCD,所以AO⊥OM,

在Rt△AOM中,AM==,

又AD=2,MD=1,所以DM2+AM2=AD2,

所以∠AMD=90°.

4.(多选题)用a,b,c表示空间中三条不同的直线,γ表示平面,下列命题中是真命题的是              (　　)

A.若a⊥b,b⊥c,则a∥c

B.若a∥b,a∥c,则b∥c

C.若a∥γ,b∥γ,则a∥b

D.若a⊥γ,b⊥γ,则a∥b

【解析】选BD.对于A,正方体从同一顶点引出的三条直线a,b,c,满足a⊥b,b⊥c,但是a⊥c,所以A错误;对于B,若a∥b,a∥c,则b∥c,满足平行线公理,所以B正确;对于C,平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面,所以C错误;对于D,由垂直于同一平面的两条直线平行,知D正确.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.如图所示,边长为2a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G,已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形,现给出下列结论,其中正确的结论有________.(填上所有正确结论的序号) 

①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上.

②三棱锥A′-FED的体积有最大值.

③恒有平面A′GF⊥平面BCED.

④异面直线A′E与BD不可能互相垂直.

【解析】因为DE⊥A′G,DE⊥GF,A′G∩GF=G,

所以DE⊥平面A′GF,又DE⊂平面BCED,

所以平面A′GF⊥平面BCED,故③正确.

过A′作A′H⊥AF,垂足为H(图略),

则A′H⊂平面A′GF,所以A′H⊥DE,又DE∩AF=G,所以A′H⊥平面ABC,故①正确.

三棱锥A′-FED的底面△FED的面积是定值,高是点A′到平面FED的距离.

易证当A′G⊥平面FED时距离(即高)最大,三棱锥A′-FED的体积最大,故②正确.

易知BD∥EF,所以∠A′EF是异面直线A′E与BD所成的角.正△ABC的边长为2a,AE=a,EF=a,

而A′F的长度的取值范围是(0,a),

当A′F=a时,A′E2+EF2=A′F2,∠A′EF=90°,

此时直线A′E与BD互相垂直,故④错误.

答案:①②③

6.如图,在▱ABCD中,AB⊥BD,沿BD将△ABD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AC.在四面体A-BCD的四个面中,写出互相垂直的两对平面:________和________. 

【解析】在平行四边形ABCD中,因为AB∥CD,AB⊥BD,所以CD⊥BD.又因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,CD⊂平面BCD.所以CD⊥平面ABD.

又CD⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面ABD.

因为AB⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,

所以平面ABC⊥平面BCD,

所以共有3对互相垂直的平面,选其中两对即可.

答案:平面ACD⊥平面ABD

平面ABC⊥平面BCD(答案不唯一)

三、解答题(每小题10分,共20分)

7.如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证:

(1)PA⊥底面ABCD;

(2)BE∥平面PAD;

(3)平面BEF⊥平面PCD.

【证明】(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD=AD,PA⊂平面PAD,PA⊥AD,所以PA⊥底面ABCD.

(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E是CD的中点,所以AB∥DE,且AB=DE.

所以四边形ABED为平行四边形,所以BE∥AD.

又BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BE∥平面PAD.

(3)因为AB⊥AD,四边形ABED为平行四边形,所以BE⊥CD,AD⊥CD.

由(1)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.因为PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PD∥EF,所以CD⊥EF.

因为CD⊥BE,EF∩BE=E,所以CD⊥平面BEF.因为CD⊂平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.

8.在△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E、F分别是AC、AD上的动点,且==λ(0<λ<1).

(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;

(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?

【解析】(1)因为AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.

因为CD⊥BC,且AB∩BC=B,所以CD⊥平面ABC.

又==λ(0<λ<1),所以不论λ为何值,恒有EF∥CD,所以EF⊥平面ABC.

又EF⊂平面BEF,

所以不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC.

(2)由(1)知,EF⊥BE,

又平面BEF⊥平面ACD,所以BE⊥平面ACD,

所以BE⊥AC.因为BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,AB⊥平面BCD,所以BD=,AB=tan 60°=,

所以AC==,

由AB2=AE·AC得AE=,所以λ==,

故当λ=时,平面BEF⊥平面ACD.

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