专题04 指数函数型函数的单调性、对称性-2021-2022学年高一数学培优辅导（人教A版必修第一册）

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1. 指数复合型函数的对称中心为.
记忆方法：横下对，纵半分（即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半）.
2.函数的性质如下：
（1）定义域是R； （2）值域是（－1,1）；
（3）在（－∞，+∞）单增； （4）是奇函数，其图象关于坐标原点对称.

说明：形如的函数，即指数函数与一次分式函数复合类型的函数是重要的考察的载体，通过变形（部分分式），可得到（如下图，易得性质：单减、关于点对称，值域（0,1））、等.
【典型例题】
例1 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】的对称中心是，其定义域为R且单减
令，则为R上的单调递减的奇函数
由得
即
因为为奇函数，故
所以
又在R上单减，所以，解之得
所以实数的取值范围是.
例2 已知，设函数，的最大值、最小值分别为，则的值为 .
【答案】4039
【分析】研究函数的对称性，利用函数（其中是奇函数）在对称区间上的最大值、最小值的和为.
【解析】
设
则
所以的图象关于点对称
所以的图象关于点对称
故的值为4039.
例3 已知函数（）是奇函数，设函数，,
若，其中，试比较的大小.
【答案】.
【分析】研究函数的单调性，逆用单调性脱“g”即可.
【解析】易得，故，，下面考察函数的单调性.
对于在单增，由复合函数单调性得在单减；
对于，设（），在单减，由复合函数单调性得在单减，
再由函数单调性得性质得，在单减，
因为，，所以.
【巩固练习】
1.已知函数的图象关于坐标原点对称，则实数的值为_____.
2. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 .
3. 已知，则的值为 ．
4. 已知函数在区间[－k,k]上的值域为[m,n]，则m＋n=________．
5. 已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求实数的值并判断函数的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案与提示】
1.【答案】－1
2.【答案】
【解析】的对称中心是，其定义域为R且单增（下略）.
3.【答案】
【思路一】从所求式中自变量的特征，被动发现函数的对称性.设若，尝试去求
的值，易得.
【思路二】主动发现函数的对称性，，设，则其对称中心为，则的对称中心也为，故.
4. 【答案】2
5. 【答案】（1），是上的减函数； （2）.
【解析】（1）∵函数是定义域为的奇函数，
∴，解得.
经检验，当时，函数为奇函数，即所求实数的值为.
设且，则
，
∵，∴，，
∴，即，所以是上的减函数.
（2）由，可得.
∵是上的奇函数，∴，
又是上的减函数，
所以对恒成立，
令，∵，∴，
∴对恒成立，
思路一：（转化为二次函数区间上的最大值≤0）
令，，该函数开口朝上，故或取得最大值
∴，解得，所以实数的取值范围为.
思路二：（分离变量）即对恒成立，
设，则在区间上单减，在区间上单增
所以
所以，故实数的取值范围为.