全册综合测试模拟三 -【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）

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全册综合测试模拟三 一、选择题1．1．已知圆：与圆：交于、两点，则线段的垂直平分线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【详解】圆：的圆心坐标为，圆：的圆心为，由题得线段的垂直平分线就是两圆的连心线，所以,所以线段的垂直平分线为.所以线段的垂直平分线为.故选：C2．设a，b是两条直线，，是两个平面，且，，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】，，则是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，则由得，必要性满足，反之若，则法向量，充分性满足，应是充要条件．故选：C．3．若抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点横坐标为（    ）A．6 B．8 C．1或9 D．10【答案】C【详解】设所求点的坐标为，由题意可得，，则，解得或，所以或.故选：C.4．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】根据题意，y，变形可得x2+y2＝1（），为圆x2+y2＝1的下半部分，若直线x+y﹣b＝0与曲线y有公共点，则当直线经过点A时，直线x+y﹣b＝0与曲线y有公共点此时b＝1，将直线向下平移至直线与曲线相切时，有1，解可得b＝±，又由b<0，则b，则b的取值范围为；故选：B．5．若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】∵直线与圆的两个交点关于直线对称，∴直线经过圆心（-2,0）且直线与直线垂直，∴解得：故选：B6．如图，正方体的棱长为a，E是DD1的中点，则（    ） A．直线B1E平面A1BDB．C．三棱锥C1-B1CE的体积为D．直线B1E与平面CDD1C1所成的角正切值为【答案】D【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，则，，，，设面的法向量为，所以，取，则，所以，所以，当时，故不一定平行面，故A错误；因为，所以与不垂直，故B错误；，故C错误；面的法向量为，设直线B1E与平面CDD1C1所成的角为，则，所以所以，故D正确；故选：D 7．如图，已知棱长为2的正方体中，点是的中点，点分别为的中点，平面平面，平面与平面相交于一条线段，则该线段的长度是（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，因为平面，所以平面，因为，所以平面，所以是两个平面的一个交点，如果另一个交点在上，设为且设，所以，因为平面，平面，所以，即，解得不合题意，所以另一个交点在上，不妨设为，所以平面平面，即求的长度，且，，因为平面，平面，所以，，即，解得，所以，所以.故选：C.   8．过双曲线的右支上一点分别向圆和作切线，切点分别为，则的最小值为（    ）A．10 B．13 C．16 D．19【答案】B【详解】解：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为，设双曲线的左右焦点为，，连接，，，，可得．当且仅当为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选：． 二、多选题9．已知圆，直线，()．则下列四个命题正确的是（    ）A．直线恒过定点B．当时，圆上有且仅有三个点到直线的距离都等于1C．圆与曲线恰有三条公切线，则D．当时，直线上一个动点向圆引两条切线，，其中，为切点，则直线经过点【答案】ACD【详解】直线可化为：，由可得，故直线恒过定点，故A正确.当时，直线，圆心到该直线的距离为，因为，故圆上有且仅有四个点到直线的距离都等于1，故B错.因为圆与曲线恰有三条公切线，故两圆外切，故，故，故C正确.当时，直线，设，则以为直径的圆的方程为，而圆，故的直线方程为，整理得到，由可得，故直线经过点，故D正确.故选：ACD.10．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点处第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为和，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁【答案】ABC【详解】由于轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心，则，且.对于A选项，，，A选项正确；对于B选项，，，，B选项正确；对于C选项，，，即，所以，，C选项正确；对于D选项，，所以，椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更圆，D选项错误.故选：ABC.11．已知正方体的棱长为，为棱上的动点，下列说法正确的是（    ）A．B．二面角的大小为C．三棱锥的体积为定值D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为【答案】AC【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系.则、、、、、、、，设点，其中.对于A选项，，，则，所以，，A选项正确；对于B选项，设平面的法向量为，，，由，取，可得，则，设平面的法向量为，，由，取，则，所以，，，所以，二面角的大小不是，B选项错误；对于C选项，，平面，平面，平面，到平面的距离等于点到平面的距离，而点到平面的距离为，即三棱锥的高为，因此，，C选项正确；对于D选项，平面，则为平面的一个法向量，且，又，，所以，直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，D选项错误.故选：AC.12．已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线右支上的点，若，且，则（    ）A．离心率为 B．渐近线方程为C．若，则的最小值为 D．若，则的最小值为【答案】AC【详解】，且，又，所以，，，，由双曲线定义得，所以，A正确；，B错误；设，则，的最小值为，C正确；的最小值是，D错．故选：AC．三、填空题13．动圆过定点，且内切于定圆：，动圆圆心的轨迹方程为________．【答案】【详解】由圆方程知其圆心为，半径，，即点在圆内部，动圆在圆内部，设圆半径为，则，，即，又，，动圆圆心的轨迹满足以为焦点的椭圆，此时，，，动圆圆心的轨迹方程为：.故答案为：.14．已知C为圆：上一动点，点坐标为，点坐标为，则的最小值为_________．【答案】【详解】设圆：的圆心为，则，半径，取，，，，，（当且仅当三点共线且在线段上时取等号），，，即的最小值为.故答案为：.15．正方体的棱长为是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是__________．【答案】【详解】当弦MN经过圆心时，弦MN最长，此时，MN=2，以D为原点，如图，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设M,N是上下底面的中心，则， 因为P为正方体面上的点，P在上下两个面相同，P在四个侧面相同，当P在底面ABCD时，，当=0或2时，=0或2时，最小为-2；当时，最大为0；当P在侧面时，，当=0或2时，=0或2时，最小为-2；当时，最大为0；所以取值范围：故答案为：16．已知过点，且斜率为的直线与抛物线相交于BC两点，则弦长______，若点N为抛物线上的一个动点，M为线段AN的中点，则点M的轨迹方程为_____________．【答案】        【详解】依题意，设直线l的方程为，直线与抛物线有两个交点B，C故联立方程，得设，则设，M为线段中点，，则利用中点坐标公式可得又N为抛物线C上，故，即所以点M的轨迹方程为故答案为：； 四、解答题17．已知圆心在直线上且过点，求圆的方程；若在直线上，过作圆的切线，求切线长的取值范围．【答案】；【详解】解：由题意可设圆的圆心，半径为，，，，圆心，半径，圆的方程为.过点向圆作切线，如下图：则，要使得切线长最短，即使得最短，的最小值为点到直线的距离.则点到直线的距离为..所以切线长的取值范围为.18．如图，在直四棱柱中， （1）求二面角的余弦值；（2）若点P为棱的中点，点Q在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长．【答案】（1），（2）【详解】解（1）在直四棱柱中，因为平面，平面，平面，所以因为，所以以A为原点，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，因为，所以,所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，因为平面，所以平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，由图可知为锐角，所以二面角的余弦值为（2）设，则，因为点为的中点，所以，则，设平面的一个法向量为，则，令，则，设直线与平面所成角的大小为，因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得或（舍去）所以19．已知e为椭圆的离心率，且点均在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）如图，分别为椭圆的左右焦点，点A在椭圆上，直线分别与椭圆交于B，C两点，直线交于点D，求证：为定值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析【详解】解：（Ⅰ）因为点在椭圆上；所以，又，，解得，，所以椭圆方程为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，设，则，的方程为：，代入椭圆方程化简得，所以，得同理的方程为：代入椭圆方程化简得，所以，得，将、分别代入、方程可得、，即、所以方程：①；所以方程：②；联立①②消去得，解得，即所以所以为定值；20．已知曲线C：表示圆，圆心为C.（1）求圆C的面积的取值范围；（2）若曲线C与直线交于M､N两点，且，求实数m的值.【答案】（1）（2）【详解】（1）因为曲线C：表示圆，所以，解得，所以圆的半径，所以圆C的面积.（2）因为圆心，半径，所以圆心到直线的距离，因为，所以，所以，解得，满足.21．如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为矩形，其中，，其中为棱中点，．（1）若为棱上的点使得面，试确定的位置并说明理由；（2）设点是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．【答案】（1）为上靠近的三等分点，理由见解析；（2）.【详解】平面，四边形为矩形，两两互相垂直，则以为坐标原点，正方向为轴可建立空间直角坐标系，，，，，，，，（1）设，且，又，，，，；设平面的法向量，又，，，令，则，，；平面，，即，解得：，，即为上靠近的三等分点，此时平面；（2）设，其中，，平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，，，，，即直线与平面所成角正弦值的取值范围为.22．已知椭圆过点，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于，两点.①当直线，的斜率之和为时(其中为坐标原点)，求直线的斜率；②求的取值范围.【答案】（1）；（2）①；②．【详解】解：（1）由题意得，解得，.设椭圆E的方程为，又因为点在椭圆E上，所以，，所以椭圆E的方程为；（2）①设直线l方程为：，代入椭圆E的方程可得，因为直线l与椭圆E有两个交点，所以，即.设，，则，，.又解得，经检验成立.所以，直线l的斜率；②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，将代入，解得，则，，当直线l的斜率存在时，由（2）①得因为，所以的范围为．综上，得的取值范围是．