全册综合测试模拟一 -【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）

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全册综合测试模拟一一、选择题1．双曲线的渐近线方程是（    ）．A． B． C． D．【答案】B【详解】令，解得，所以双曲线的渐近线方程是．故选：B．2．在直角坐标系中，直线经过（    ）A．一、二、三象限 B．一、二、四象限C．一、三、四象限 D．二、三、四象限【答案】A【详解】由，令可得，；令可得；即直线过点，，所以直线经过一、二、三象限.故选：A.3．如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】，，，，故选：A.4．已知向量，且与互相垂直，则k的值是（    ）A．1 B． C． D．【答案】D【详解】依题意得：，即，而，∴4k＋k－2－5＝0，解得.故选：D5．直线与圆的公共点个数为 （    ）A．个 B．个 C．个 D．个或个【答案】D【详解】将直线的方程变形为，由，可得，所以，直线过定点，，即点在圆上，因此，直线与圆相交或相切.故选：D.6．直线关于对称的直线方程为（    ）A． B．C． D．【答案】A【详解】设直线上一点关于直线对称点的坐标为，则，整理可得：，，即直线关于对称的直线方程为：.故选：A.7．已知双曲线：的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为双曲线：的渐近线方程为，所以双曲线为焦点为轴上的双曲线，且所以，所以双曲线的离心率为：.故选：B8．若双曲线与直线没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【详解】双曲线的渐近线为，双曲线与直线没有公共点，则，则，，.故选：A. 二、多选题9．已知圆，圆，则（    ）A．若圆与圆无公共点，则B．当时，两圆公共弦长所在直线方程为C．当时，P、Q分别是圆与圆上的点，则的取值范围为D．当时，过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等【答案】BCD【详解】由题意，圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为；则圆心距为；A选项，若圆与圆无公共点，则只需或，解得或，故A错；B选项，若，则圆，由与两式作差，可得两圆公共弦所在直线方程为，故B正确；C选项，若，则，此时，所以圆与圆相离；又P、Q分别是圆与圆上的点，所以，即，故C选项正确；D选项，当时，由A选项可知，两圆外离；记直线上任意一点为，则，所以，，因此切线长分别为，，即，故D正确；故选：BCD.10．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ）A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是C．和夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是【答案】BD【详解】对于A，，，可知，与不共线，A错误；对于B，，，，即与同向的单位向量是，B正确；对于C，，，即和夹角的余弦值为，C错误；对于D，设平面的法向量，则，令，解得：，，，即平面的一个法向量为，D正确.故选：BD.11．如图，在平行六面体中，是的中点，点在上，且：，设，则下列选项正确的为（    ）  A． B．C． D．【答案】AD【详解】因为是的中点，所以，因为点在上，且：，所以 ,故选：AD12．已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的距离为（    ）A．3 B．6 C．7 D．14【答案】AC【详解】连接，是的中位线，∴，∵，，∴或6，∴或3.故选：AC. 三、填空题13．在圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则a的取值范围为__________．【答案】【详解】由圆的方程知其圆心为，半径，设圆心到直线的距离为，则；圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则，即，解得：或，的取值范围为.故答案为：.14．若面的法向量，面的法向量，两面夹角的正弦值为，则________.【答案】【详解】设平面的夹角为，又面的法向量，面的法向量，则利用空间向量夹角公式得：由已知得，故故，即，解得：故答案为：15．如图，四棱锥的各棱长均为13，M，N分别是PA､BD上的点，且，则线段MN的长为_________.【答案】7【详解】因为四棱锥的各棱长均为13，所以四棱锥是正四棱锥，所以，又M，N分别是PA､BD上的点，且，所以，又，所以，，所以 ，故答案为：716．已知椭圆（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，如果椭圆C上存在一点P，使得，且PF1F2的面积等于6，则实数b的值为____，实数a的取值范围为________．【答案】    [2，+∞）    【详解】解：由椭圆的定义可知：|PF1|+|PF2|＝2a，又，PF1F2的面积等于6，∴|PF1||PF2|＝6，即|PF1||PF2|＝12，由（|PF1|+|PF2|）2＝4a2，|PF1|2+|PF2|2＝4c2，可得4c2﹣4a2＝﹣24，得，因此，∴b＝．设，由，可得： x2+y2＝c2，①而椭圆C：，②由①②得x2＝（c2﹣b2），∴c2≥b2，从而a2＝b2+c2≥2b2＝12，故（舍去），或a≥2，∴a的取值范围为[2，+∞）．故答案为：；[2，+∞）． 三、解答题17．已知圆C的圆心为，直线与圆C相切.（1）求圆C的方程；（2）若直线过点，被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【详解】（1）因为直线与圆C相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即圆心到直线的距离为∴圆C的方程为：；（2）当斜率不存在时，的方程为，易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意，所以；当斜率存在时，设的方程为，则.又直线被圆C所截得的弦长为2，所以，则，所以，解得，所以直线的方程为.综上：的方程为或.18．已知的三个顶点的坐标分别为，，.（1）求边上中线所在直线的方程；（2）求边上高所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）中点为，，直线方程为：，即；（2），，直线方程为：，即.19．如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】（1）以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，、、、、，，，.，，，，又，、平面，平面；（2）由（1）可知平面的一个法向量.设平面的法向量为，，，由，则，令，可得 ，，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.20．设椭圆的左焦点为，，其中为左顶点，为坐标原点．（1）求椭圆离心率的值；（2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆方程．【答案】（1）；（2）．【详解】（1）设椭圆的半焦距为由得（2）由（1）知故椭圆方程为，由题意，则直线的方程为点的坐标满足，消去并化简得到解得或(舍)代入到的方程解得，所以由圆心在直线上，可设因为，故，可得因为圆与轴相切，所以圆的半径长为又由圆与相切，圆心到直线的距离，可得所以，椭圆的方程为．21．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，边长为4的正PAD所在平面与平面ABCD垂直，点Q是侧棱PC的中点.（1）求证:PA//平面BDQ;（2）在线段AB上是否存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为30°?若存在，求出AF的长，若不存在，请说明理由?【答案】（1）证明见解析；（2）存在，【详解】（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OQ，如图，∵底面ABCD是菱形，∴O是AC中点，∵点Q是侧棱PC的中点，∴OQ∥PA，∵平面BDQ，平面BDQ，∴PA∥平面BDQ;（2）取AD的中点E，连接PE，BE，∵正PAD所在平面与平面ABCD垂直，∴平面ABCD，又底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴,以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则设在线段AB上存在点F，使直线PF与平面PAD所成的角为30°，设，则,又平面PAD的一个法向量，，∴sin30°，解得（负值舍去），符合，∴．22．已知为椭圆的左右焦点，椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到的距离之和为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线分别交椭圆于和，且，试求四边形的面积S的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由椭圆定义知2a=4，即a=2，又离心率得半焦距，，所以椭圆的标准方程为：；（2）由(1)知点，①当直线的斜率为0时，直线的方程为，则，直线的方程为，则与椭圆的二交点坐标为，，此时，可得；②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则与椭圆的二交点坐标为，，此时，直线的方程为，则，可得；③当直线的斜率存在且不为0时，设直线的斜率为，则直线，由得，，设，则，所以，同理可得，所以．由于（当时取等号），，，，，所以，综合①②③可知，四边形面积的取值范围是．