2022宜宾高三下学期第二次诊断性测试（3月）（二模）数学（文）含答案

宜宾市普通高中2019级第二次诊断测试

文科数学

（考试时间：120分钟    全卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．集合，，则

A．  B．  C．  D．

2．已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是

A．   B．    　         C．   　      D．

3．若满足则的最大值为

A．   B．   C．   D．

4．为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试．右图是该次考 试成绩随机抽样样本的频率分布直方图，则下列关于这次考试成绩的估计错误的是

A．众数为82.5       

B．中位数为85 

C．平均数为86       

D．有一半以上干部的成绩在80～90分之间

5．在边长为的正方形内部任取一点,则到正方形各个顶点距离均大于的概率为

A．   B．  C．  D．

6．设数列的前项和为，若，则

A．  B． C． D．

7．已知一个直角三角形的两条直角边分别为和，以它的斜边所在直线为旋转轴，其

余两边旋转一周所围成的旋转体的表面积为

A．  B． C． D．

8．物理学家和数学家牛顿（Issac Newton）提出了物体在常温下温度变化的冷却模型：设物体的初始温度是(单位：℃)，环境温度是(单位：℃)，且经过一定时间(单位：min)后物体的温度(单位：℃)满足（为正常数）．现有一杯℃的热水，环境温度为℃，冷却到℃需要，那么这杯热水要从℃继续冷却到℃，还需要的时间为

A． B． C． D．

9．已知，将函数的图象向右平移个单位得到，则使得函数是偶函数的的最小值是

A．         　　 B．         　　 C．        　　　 D．

10．设是双曲线的左右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂

足为，与另一条渐近线交于点，，则的离心率为

A． B． C． D．

11．如图，在正四棱柱中， 是线段上的动点，有下列结论：

　　①；

　　②，使；

　　③三棱锥体积为定值；

　　④三棱锥在平面上的正投影的面积为常数．

　　其中正确的是

A．①②③         

B．①③            

C．②③④       　　   

D．①④ 

12．已知，则的大小关系为

A． B．  C．　　 D．

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．在数列中，若，，则_______

14．在平行四边形中，若 ，，则．

15．若函数为奇函数，则关于的不等式的解集为______．

16．过抛物线的焦点作两条相互垂直的直线，若 和分别交该抛物线于

和两点，则的最小值为_______． 

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．  （12分）

　　铁路作为交通运输的重要组成部分，是国民经济的大动脉，在我国经济发展中发挥着重要的作用．截止2021年，中国铁路营业里程达到15.3万公里．下图是我国2017～2021年铁路营业里程折线图，其中表示年份数与2016的差，(单位：万公理)表示各年的营业里程数．

　　（1）由折线图易知与具有较强的线性关系，试用最小二乘法求关于的回归直线方程，并预测2022年营业里程为多少万公里？

　　（2）从2017～2021年的五个营业里程数中随机抽取两个数，求所取得的两个数中，至少有一个超过14的概率．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

，．

18．（12分）

　　在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．

问题：在中，角的对边分别为，______．

　　（1）求；

　　（2），求的边上的中线的长．

　　注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．

19．（12分）

　　如图，在四棱锥中，，，，，，为线段的中点，且．

　　（1）求证：平面；

　　（2）若过三点的平面将四棱锥分成上，下两部分，求上面部分的体积．

20．（12分）

已知函数．

　　（1）若，求曲线在点处的切线方程；

　　（2）若函数在上有两个零点，求的取值范围．

21．（12分）

已知椭圆的左右焦点分别为，为的上顶点，且．

　　（1）求的方程；

　　（2）过坐标原点作两直线，分别交于和两点，直线，的斜率分别为，是否存在常数，使时，四边形的面积为定值？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做,则按所做的第一题计分．

22．（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线的极坐标方程为，动点在直线上，将射线按逆时针旋转得到射线，射线上一点满足，设点的轨迹为曲线．

　　（1）求曲线的极坐标方程；

　　（2）直线的极坐标方程为，与曲线相交于点（与不重合），若的顶点也在曲线上，求面积的最大值，并求这时点的直角坐标．

23．（10分）[选修4-5：不等式选讲]

已知，．

（1）求的最大值；

（2）求证：．