高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线同步练习题

双曲线及其标准方程同步练习

一、选择题

1. 设F是双曲线的右焦点，P是双曲线C左支上的点，已知，则周长的最小值是（ ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知动圆M过定点，且和定圆相切，则动圆圆心M的轨迹方程为   

A.  B.
C.  D.

3. “”是“方程表示双曲线”的                        

A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 非充分非必要条件

4. 设、分别是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且，则 ）

A. 1 B. 3 C. 3或7 D. 1或9

5. 已知双曲线的两个焦点为，P是此双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程是     

A.  B.  C.  D.

6. 已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若是等腰三角形，且，则的周长为（ ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知m，n为两个不相等的非零实数，则方程与所表示的曲线可能是

A.  B.
C.  D.

8. 焦点分别为，且经过点的双曲线的标准方程为（ ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知双曲线的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形为原点，则双曲线的方程为   

A.  B.  C.  D.

10. 已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则E的离心率为               

A. 2 B.  C.  D.

11. 已知双曲线，点，为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若则的面积是   

A. 4 B. 2 C. 1 D.

12. 已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为   

A.  B.  C.  D.

13. 若方程表示双曲线，则实数m满足（ ）

A. 且 B.
C. 或 D.

14. 已知，是等轴双曲线实轴与虚轴长相等：的左、右焦点，且焦距为，点P是C的右支上动点，过点P向C的一条渐近线作垂线，垂足为H，则的最小值是  

A. 6 B.  C. 12 D.

二、填空题

15. 已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的动点，则的最小值为________．
16. 已知F是双曲线C：的右焦点，P是双曲线C左支上的一点，且点A的坐标为，则的周长最小值为          ．
17. 点P在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的离心率为________．
18. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为_____．

三、解答题

19. 已知双曲线的右焦点为．

求双曲线的方程

求双曲线的渐近线与直线围成的三角形的面积．



 

20. 求符合下列要求的曲线的标准方程：
    已知椭圆的焦点在x轴，且长轴长为12，离心率为；
    已知双曲线经过点，．
    
    
     
21. 根据下列条件，求双曲线的标准方程．

经过点，且一条渐近线为

双曲线与x轴的一个交点是，且离心率是3．



 

22. 已知焦点在x轴上的双曲线C的实轴长为，焦距为．

求双曲线C的标准方程；

若直线与双曲线C交于两点，求弦长

答案和解析

1.【答案】B
【解答】
解：设双曲线C的左焦点为，
由题意可知，，则，，
又，则，
根据双曲线的定义可知，，
所以的周长为，
当A，P，三点共线时，取得最小值，即的周长取得最小值，
可得，
故周长的最小值为．
故选B．
2.【答案】C
【解答】
解：设动圆M的半径为r，依题意有，
另设，则有，
即，
亦即动圆圆心M到两定点A、B的距离之差的绝对值等于常数4，
又，因此动点M的轨迹为双曲线，
且，，
，，，
故动圆圆心M的轨迹方程是．
故选C．
3.【答案】A

【解答】

解：若表示双曲线，即表示双曲线，则，

则，则，
这就是说“”是方程表示双曲线的必要条件，

然而若，c可以等于0，此时方程 不表示双曲线，
即“”不是方程表示双曲线的充分条件，
故“”是方程表示双曲线的必要不充分条件．

故选A．
4.【答案】C
【解答】
解：双曲线，可得，，
，
分别是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线上，且，
，
既有可能在双曲线的左支上，也有可能在右支上，
当P在双曲线的左支时，则，
当P在双曲线的右支时，则，
综上，或．
故选C．
5.【答案】C
【解答】
解：设双曲线的方程为．
由题意得：，，
又，
，
，，
所以双曲线的方程为．
故选C．
6.【答案】A
【解答】
解：由双曲线，
可得：．
如图所示，

设，．
可得：，．
因为是等腰三角形，且，
．
作，垂足为D，D为线段的中点．
．
，
，即，
又，联立解得：，．
的周长
．
故选：A．
7.【答案】C

【解答】

解：方程表示直线，与坐标轴的交点分别为，
若方程表示椭圆，则m，n同为正，此时，故A，B不满足题意；
若方程表示双曲线，则m，n异号，，故C符合题意，D不满足题意；
故选C．
 

8.【答案】A
【解答】

解：由双曲线定义知，

，

，

又，，

因此所求双曲线的标准方程为．
故选A．
9.【答案】D
【解答】

解：根据题意画出草图如图所示不妨设点A在渐近线上．
 

由是边长为2的等边三角形得到，．

又点A在双曲线的渐近线上，

．

又，，，

双曲线的方程为．

故选D．
10.【答案】D
【解答】
解：如图所示：

与x轴垂直，，
设，则，
由双曲线的定义得，即，
在直角三角形中，，即，
即，
则．
故选D．
11.【答案】C
【解答】
解：双曲线中，，，
，可得、，
点P在双曲线上，且，
，
根据双曲线的定义，得，
两式联解，得，
因此的面积．
故选C．
12.【答案】C
【解答】
解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线，

其方程为，即，，
，，作交CD于点E，显然ACDB是直角梯形，
又F是AB的中点，，
，
所以，双曲线的离心率为2，可得，
可得：，解得．
则双曲线的方程为：．
故选C．
13.【答案】C
【解答】解：因为方程表示双曲线，而恒成立，
所以，
解得或，
故选C．
14.【答案】A
【解答】
解：因为双曲线C：是等轴双曲线，且焦距为，
所以，
解得，
又因为点P在双曲线的右支上，
所以，
所以，
当，P，H在同一条直线上，且垂直渐近线时，有最小值，
，
所以．
故选A．
15.【答案】9．
【解答】

解：如图所示，设双曲线的右焦点为E，则．
由双曲线的定义及标准方程得，
则．
由图可得，当A，P，E三点共线时，，

从而的最小值为9．

16.【答案】10
【解答】
解：如图，

由双曲线C的方程可知，，
，
，左焦点，右焦点，
，
当的周长最小时，最小，
由双曲线的性质得，
，
又，
当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，
的周长为．
故答案为10．
17.【答案】
【解答】
解：设线段的垂直平分线交于点M，则，
以原点为圆心，半径为a的圆与直线切于A点，，，
，，
由双曲线的定义得，即，
，，，
故答案为：．
18.【答案】8
【解答】
解：椭圆的焦点为，离心率为，
则，，，解得，．
因为点P在双曲线右支上，所以，，
则，
当且仅当，即时取等号，故的最小值为8．
故答案为8．
19.【答案】解：双曲线的右焦点的坐标为，且双曲线的方程为，
，

，

双曲线的方程为．

，，

双曲线的渐近线方程为

令，则，

设直线与双曲线的渐近线的交点为A，B，则．

记双曲线的渐近线与直线围成的三角形的面积为S，

则．

20.【答案】解：由已知条件可设所求的椭圆标准方程为其中，
则，，
且离心率为，，
，
故所求的椭圆的标准方程为；
设所求的双曲线方程为，
由题意可得方程组，解之得，
故所求的双曲线标准方程为．
21.【答案】解：双曲线的一条渐近线为

可设双曲线的方程为：

代入点，得

则有双曲线的标准方程为

双曲线与x轴的一个交点是，所以

由，得，则

所以双曲线的标准方程为
22.【答案】

联立