人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念评课ppt课件

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第1课时　等比数列的概念及通项公式
从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩,增产稻谷3 500亿千克,年增稻谷可养活6 000万人口.这一切都归功于一个人——“杂交水稻之父”袁隆平,西方世界称他的杂交水稻是“东方魔稻”,并被认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝.袁隆平在培育某水稻新品种时,培育出第一代120粒种子,并且从第一代起,由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子,那么到第5代时大约可以得到这个新品种的多少粒种子?学习了本节内容之后,你就能得到这个问题的答案了.
一、等比数列一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.
名师点析对等比数列定义的理解(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征).(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠倒.(4)等比数列中的任何一项均不能为零.(5)等比数列的公比可以是正数、负数,但不能为零.
微练习判断下列数列是不是等比数列.如果是,写出其公比q.
④1,0,1,0,1,0,…;⑤1,-4,16,-64,256,….
解:①不是等比数列;②是等比数列,公比为1;③是等比数列,公比为 ;④不是等比数列;⑤是等比数列,公比为-4.
二、等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时G2=ab.名师点析等比中项概念的理解(1)只有同号的两个实数才有等比中项.(2)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数.
A.1　　　B.-1　　　C.±1　　　D.2
三、等比数列的通项公式首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1.名师点析已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的三个,可以求得第四个量.
微拓展(1)通项公式an=a1qn-1,q的次数比等号前的项数小1,不能记错.此公式中q的次数可以这样记:次数为等号前面的项an的项数n减去等号后的项a1的项数1.(2)变形公式an=amqn-m,此公式中q的次数也可以这样记:次数为等号前面的项an的项数n减去等号后的项am的项数m.
等比数列通项公式的应用例1在等比数列{an}中,求解下列问题:(1)若a2=3,a5= ,求{an}的通项公式;(2)若a2=4,q=2,an=128,求n;(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,求a7.
分析:先根据等比数列的通项公式,结合条件列出方程(组)求得a1,q,再解决其他问题.
反思感悟等比数列的计算(1)等比数列的基本量是a1和q,很多等比数列问题都可以归结为其基本量的运算问题.解决这类问题时,最核心的思想方法是解方程(组)的方法,即依据题目条件,先根据等比数列的通项公式建立关于a1和q的方程(组),再解方程(组),求得a1和q的值,最后解决其他问题.(2)在等比数列的基本量运算问题中,建立方程(组)进行求解时,要注意运算的技巧性,特别注意整体思想的应用.
变式训练1在等比数列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.
等比中项及其应用例2(1)已知等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,求实数x的值.(2)已知等比数列{an},a2a3a4=64,a3+a6=36,求a1和a5的等比中项.
分析:(1)可由等比中项的定义建立关于x的方程求解:(2)先求出a1和a5的值,再根据等比中项的定义求解.
解:(1)因为等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,所以x(3x+3)=(2x+2)2,解得x=-1或x=-4.又因为当x=-1时,2x+2=3x+3=0不合题意,所以实数x的值为-4.
所以a5=a1q4=16.设a1和a5的等比中项为G,则G2=a1a5=16,所以G=±4,故a1和a5的等比中项是±4.
反思感悟等比中项的求解策略1.任意两个实数都有等差中项,且等差中项是唯一的.与等差中项不同,只有同号的两个数才有等比中项,且等比中项有两个,它们互为相反数.2.若a,b,c成等比数列,则必有b2=ac;但若b2=ac,a,b,c不一定成等比数列.
变式训练2在等差数列{an}中,a1=9,公差d=1.若ak是a1和a2k的等比中项,则k=(　　)A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8
解析:依题意,得 =a1a2k,即[9+(k-1)]2=9[9+(2k-1)],整理,得k2-2k-8=0,解得k=4(k=-2舍去).答案:B
等比数列的判断与证明例3(1)判断下列数列是否为等比数列.①1,3,32,33,…,3n-1,…;②-1,1,2,4,8,…;③a1,a2,a3,…,an,….(2)已知数列{an}满足a1=5,an= an-1+1(n≥2),bn=an-3.①求证:{bn}为等比数列;②求{an}的通项公式.
分析:(1)判定等比数列,要抓住3个要点:①从第二项起.②要判定每一项,不能有例外.③每一项与前一项的比是同一个常数,且不能为0.(2)①先对给出的等式an= an-1+1进行转化变形,与bn=an-3相结合,得出bn与bn-1的关系,从而判断数列{bn}是否为等比数列;②由{bn}为等比数列,先求出bn,再根据bn=an-3求出an.
(1)解:①记数列为{an},显然a1=1,a2=3,…,an=3n-1,….
∴数列为等比数列,且公比为3.②记数列为{an},显然a1=-1,a2=1,a3=2,…,
③当a=0时,数列为0,0,0,…是常数列,不是等比数列;当a≠0时,数列为a1,a2,a3,a4,…,an,…,显然此数列为等比数列,且公比为a.
延伸探究在本例(2)中,若将条件改为“数列{an}的前n项和Sn满足Sn= an+1(n∈N*)”,再求{an}的通项公式.
通项法证明等比数列典例已知数列{an}是各项均为正数的等差数列,且lg a1,lg a2,lg a4成等差数列,又bn= ,n=1,2,3,…,则数列{bn}是否为等比数列?
分析:先求出数列{an}的通项公式,再求出数列{bn}的通项公式,从而判断{bn}是否为等比数列.
解:因为lg a1,lg a2,lg a4成等差数列,所以2lg a2=lg a1+lg a4,即 =a1·a4,设{an}的公差为d,所以(a1+d)2=a1·(a1+3d)⇒d2=a1d⇒d=0或d=a1.①当d=0时,{an}为常数列且各项均为正数,所以{bn}也为常数列且各项均为正数.所以{bn}为等比数列.②当d=a1≠0时, =a1+(2n-1)d=d+2nd-d=2nd=(2d)·2n-1,即bn=(2d)·2n-1,所以{bn}为等比数列.综合①②可知{bn}为等比数列.
方法点睛用通项公式证明一个数列为等比数列时,关键是求出an=a1qn-1这个形式.
1.下列数列为等比数列的是(　　)A.0,1,2,4,…B.22,42,62,82,…C.q-1,(q-1)2,(q-1)3,(q-1)4,…
2.在等比数列{an}中,已知a5+a1=34,a5-a1=30,则a3=(　　)A.8B.-8 C.±8D.16
解析:由a5+a1=34,a5-a1=30,得a1=2,a5=32,所以公比q4= =16,所以q2=4,所以a3=a1q2=2×4=8.
3.若等比数列的首项为4,公比为2,则数列中第3项与第5项的等比中项为　　　　　. 
解析:∵a3=4×22=16,a5=4×24=64,
4.若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=4an+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式为　　　　.