专题1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1．理解命题的概念．
2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，
3. 会分析四种命题的相互关系．
4．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.
【命题趋势】
1. 判断命题的真假．
2．写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题等．
3．常以函数、不等式等知识为载体，考查一个命题是另一个命题的什么条件．
4．求一个命题的充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件，或已知充要条件求参数的取值范围等.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算和逻辑推理的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．命题的概念
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
eq \x(一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.)
2．四种命题及其相互关系
3．充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；
①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且BA；
②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且AB，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．
(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；
(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．
充要关系与集合的子集之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
③若A＝B，则p是q的充要条件．
【素养清单•常用结论】
1．四种命题中的等价关系
原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．
2．等价转化法判断充分条件、必要条件
p是q的充分不必要条件，等价于非q是 非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．
【真题体验】
1.（2019·全国Ⅱ卷文、理7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）
A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面
2.（2019·全国Ⅲ卷文11）记不等式组表示的平面区域为D.命题；命题.下面给出了四个命题
①②③④
这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）
A．①③B．①②C．②③D．③④
3.（2019·天津卷文、理3）设，则“”是“”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.（2019·浙江卷5）若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5.(2018·天津卷)设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.(2018·北京高考) 设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7. (2018·北京高考) 设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考法拓展•题型解码】
考法一 四种命题的相互关系及其真假判断
解题技巧：与四种命题有关的问题的解题策略
(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：
①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例．
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
【例1】 (1)(2019·邹平双语学校月考)已知命题p：若x＜－3，则x2－2x－8＞0，则下列叙述正确的是( )
A．命题p的逆命题是“若x2－2x－8≤0，则x＜－3”
B．命题p的否命题是“若x≥－3，则x2－2x－8＞0”
C．命题p的否命题是“若x＜－3，则x2－2x－8≤0”
D．命题p的逆否命题是真命题
(2)(2019·长治二中月考)设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
(3)已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )
A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”，是真命题
B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题
C．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题
D．逆否命题是“若m>1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题
考法二 充分条件、必要条件的判断
解题技巧:充分条件、必要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断．
(2)集合法：根据p，q成立的对应集合之间的包含关系进行判断．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，常用的是逆否等价法．①¬q是¬p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；②¬q是¬p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；③¬q是¬p的充要条件⇔p是q的充要条件．
【例2】 (1)(2018·北京卷)设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)(2017·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
考法三 充分条件、必要条件的应用
误区防范:充分条件、必要条件的应用的注意点
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式能否取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
【例3】 (1)已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m>0)．若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是( )
A．[21，＋∞) B．[9，＋∞)
C．[19，＋∞) D．(0，＋∞)
(2)已知条件p：|x－4|≤6；条件q：(x－1)2－m2≤0(m>0)．若¬p是¬q的充分不必要条件，则m的取值范围为__________．
【易错警示】
易错点 逻辑关系与集合关系的转化出错
【典例】 (2019·广东六校联考)“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A．m＞eq \f(1,4) B．0＜m＜1
C．m＞0 D．m＞1
【错解】：A
【错因分析】：是充分条件、必要条件、充要条件对应集合关系的转化上出现了失误．事实上，充要条件时参数取值集合是必要不充分条件时参数取值集合的真子集．
【正解】【答案】C
【解析】不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立，则Δ＝1－4m＜0，所以m＞eq \f(1,4).所以“不等式x2－x＋m＞0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m＞0.
误区防范：注意区分以下两种不同的说法
(1)A是B的充分不必要条件，是指A⇒B但Beq \(⇒,/)A．
(2)A的充分不必要条件是B，是指B⇒A但Aeq \(⇒,/)B．
以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆，在解题中一定要注意问题的设问方式，弄清它们的区别，以免出现错误判断．
【跟踪训练】 已知p：eq \f(1,x－2)≥1，q：|x－a|<1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为__________．
【递进题组】
1．(2019·南昌二中月考)命题“已知a＞1，若x＞0，则ax＞1”的否命题为( )
A．已知0＜a＜1，若x＞0，则ax＞1
B．已知a＞1，若x≤0，则ax＞1
C．已知a＞1，若x≤0，则ax≤1
D．已知0＜a＜1，若x≤0，则ax≤1
2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
3．(2019·北京四中期中)设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是“到达奇伟、瑰怪，非常之观”的__________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．
5．已知“(x－t)2>3(x－t)”是“x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数t的取值范围为__________．
【考卷送检】
一、选择题
1．已知命题p：正数a的平方不等于0，命题q：若a不是正数，则它的平方等于0，则q是p的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．否定
2．(2018·天津卷)设x∈R，则“eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))＜eq \f(1,2)”是“x3＜1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．原命题为“△ABC中，若cs A<0，则△ABC为钝角三角形”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真、真、真 B．假、假、真
C．真、真、假 D．真、假、假
4．(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≤4 B．a≥4
C．a≤5 D．a≥5
6．(2019·北京东城期末)下列四个选项中错误的是( )
A．命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”
B．存在x0∈R，使xeq \\al(2,0)＋2x0＋3＝0
C．“若α＝β，则sin α＝sin β”的逆否命题为真命题
D．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件
二、填空题
7．已知命题p：若a>b>0，则 eq lg\s\d4(\f(1,2)) a< eq lg\s\d4(\f(1,2)) b＋1，命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为________．
8．能够说明“设a，b，c是任意实数，若a＞b＞c，则a＋b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．
9．记不等式x2＋x－6<0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围为________．
三、解答题
10．写出“若x＝2，则x2－5x＋6＝0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
11．已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的定义域为集合A，函数g(x)＝2x－a(x≤2)的值域为集合B．
(1)求集合A，B；
(2)已知命题p：m∈A，命题q：m∈B，若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
12．已知p：A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：B＝{x|x2－2mx＋m2－9≤0，x∈R，m∈R}．
(1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；
(2)若p是¬q的充分条件，求实数m的取值范围．
13．(2019·商南高中模拟)在△ABC中，设命题p：eq \f(a,sin B)＝eq \f(b,sin C)＝eq \f(c,sin A)，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件