专题2.1 函数及其表示-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1. 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段).
【命题趋势】
1. 对函数的基本概念与定义域的考查常与指数函数、对数函数综合出题．
2．考查函数的值域及最值．
3．函数的表示方法，主要考查分段函数求值，或者研究含参数的分段函数问题．
4．函数的新定义问题，主要考查函数的综合知识，以其他知识为背景，分析后仍然用函数知识去解决，此类问题综合性比较强.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算、数学建模的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．函数与映射的概念
(1)函数：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)映射：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
求函数定义域的策略
(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．
(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．
(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.
两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．
(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
关于分段函数的3个注意
(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交．
【真题体验】
1．已知数集A＝{1,2,3,4}，设f：x→y，g：x→y都是由A到A的函数，其对应关系如下表(从上到下)，则与f(g(2))相同的是( )
表1 函数f的对应关系
表2 函数g的对应关系
A．g(f(1)) B．g(f(2))
C．g(f(3)) D．g(f(4))
【答案】B
【解析】 f(g(2))＝f(3)＝2，g(f(2))＝g(4)＝2.故选B．
2．(2019·齐鲁名校协作体联考)下列各组函数中，表示同一函数的是( )
A．f(x)＝eln x，g(x)＝x
B．f(x)＝eq \f(x2－4,x＋2)，g(x)＝x－2
C．f(x)＝eq \f(sin 2x,2cs x)，g(x)＝sin x
D．f(x)＝|x|，g(x)＝eq \r(x2)
【答案】D
【解析】 A，B，C项的解析式相同，但定义域不同，只有D项正确．
3．已知函数f(x)＝eq \r(x－1)，若f(a)＝3，则实数a＝__________.
【答案】 10
【解析】 因为f(a)＝eq \r(a－1)＝3，所以a－1＝9，即a＝10.
4．设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x∈－∞，a，,x2，x∈[a，＋∞，))若f(2)＝4，则a的取值范围为__________．
【答案】 (－∞，2]
【解析】 因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，则a的取值范围为(－∞，2]．
【考法拓展•题型解码】
考法一 求函数定义域
归纳总结
(1)求具体函数y＝f(x)的定义域
(2)求抽象函数的定义域一般有两种情况：
①已知y＝f(x)的定义域是A，求y＝f(g(x))的定义域，可由g(x)∈A求出x的范围，即为y＝f(g(x))的定义域；
②已知y＝f(g(x))的定义域是A，求y＝f(x)的定义域，可由x∈A求出g(x)的范围，即为y＝f(x)的定义域．
【例1】 (1)y＝eq \r(\f(x－1,2x))－lg2(4－x2)的定义域是( )
A．(－2,0)∪(1,2) B．(－2,0]∪(1,2)
C．(－2,0)∪[1,2) D．[－2,0]∪[1,2]
【答案】C
【解析】(1)要使函数有意义，必须eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－1,2x)≥0，,x≠0，,4－x2>0，))
所以x∈(－2,0)∪[1,2)．
(2)若函数f(x)＝eq \r(mx2＋mx＋1)的定义域为实数集，则实数m的取值范围是__________．
【答案】[0,4]
【解析】函数定义域为R⇔mx2＋mx＋1≥0对∀x∈R恒成立，当m＝0时，f(x)＝1，满足条件；当m≠0时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,Δ＝m2－4m≤0))⇒0