专题2.3 函数的奇偶性、周期性与对称性-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

这是一份专题2.3 函数的奇偶性、周期性与对称性-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案，文件包含专题23函数的奇偶性周期性与对称性解析版doc、专题23函数的奇偶性周期性与对称性原卷版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共27页， 欢迎下载使用。
【考纲要求】
1. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2．能运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性
【命题趋势】
1. 对函数的奇偶性与周期性的考查主要有两种题型：一是判断函数的奇偶性与周期性，二是已知函数的奇偶性与周期性求值或范围，难度一般．
2．函数的单调性、奇偶性、周期性的综合应用，题型有根据性质判断图象、解不等式、求方程根的个数等，难度较大.
【核心素养】
本讲内容主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．函数的奇偶性
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：
(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔eq \f(f－x,fx)＝1⇔f(x)为偶函数；
(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔eq \f(f－x,fx)＝－1⇔f(x)为奇函数．
2．函数的周期性
(1)周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
周期函数定义的实质：
存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
【素养清单•常用结论】
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
3．函数图象的对称性
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．
【真题体验】
1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．
又，可知应为D选项中的图象．
故选D．
【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．
2．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数在的图像大致为（ ）
A． B.C． D．
【答案】B
【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．
又排除选项D；
，排除选项A，
故选B．
【名师点睛】本题通过判断函数的奇偶性，排除错误选项，通过计算特殊函数值，作出选择．本题注重基础知识、基本计算能力的考查．
3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则（ ）
A．（lg3）＞（）＞（）
B．（lg3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（lg3）
D．（）＞（）＞（lg3）
【答案】C
【解析】是定义域为的偶函数，．
，
又在(0，+∞)上单调递减，
∴，
即.
故选C．
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．
4.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数的图像大致为（ ）

【答案】B
【解析】为奇函数，舍去A；
，∴舍去D；
时，，单调递增，舍去C.
因此选B.
【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性.
5.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数的图像大致为（ ）

【答案】D
【解析】函数图象过定点，排除A，B；
令，则，
由得，得或，此时函数单调递增，
由得，得或，此时函数单调递减，排除C.
故选D.
【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.
6.【2018年高考浙江】函数y=sin2x的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;
因为时，，所以排除选项C，
故选D．
【名师点睛】先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：
（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；
（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（4）由函数的周期性，判断图象的周期性．
7.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，
故选D．
【名师点睛】该题考查的是函数的奇偶性以及有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论：多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.
8．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）
A． B．0
C．2 D．50
【答案】C
【解析】因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
因为，从而.
故选C．
【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
【考法拓展•题型解码】
考法一 函数奇偶性的判断
解题技巧：判断函数奇偶性的方法
(1)根据定义判断，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．
(2)利用函数图象特征判断．
(3)分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x0，,|x－2|≠2，))得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．所以x－20时，－x0时，－x