专题2.6 对数与对数函数-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1. 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
2．理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．
3．知道对数函数是一类重要的函数模型．
4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax互为反函数(a>0，且a≠1).
【命题趋势】
1.对数式的化简与求值，考查对数的运算法则．
2．对数函数图象与性质的应用，多考查对数函数的定义域、值域、单调性，难度不大．
3．指数函数、对数函数的综合问题，考查反函数的应用，与指数函数、对数函数有关的方程、不等式、恒成立问题，综合性强，难度稍大.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算和逻辑推理的核心素养
【素养清单•基础知识】
1．对数的概念及运算性质
一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么，数b就叫做以a
为底N的对数，记作：lgaN＝b.
指数、对数之间的关系
(1)对数的性质
①负数和零没有对数；
②1的对数是eq \a\vs4\al(零)；
③底数的对数等于eq \a\vs4\al(1).
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M >0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lga(Nn)＝nlgaN(n∈R)．
2．对数函数的概念
函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
y＝lgax的3个特征
(1)底数a>0，且a≠1；
(2)自变量x>0；
(3)函数值域为R.
3．对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象与性质
4．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
【素养清单•常用结论】
1．换底公式的变形
(1)lgab·lgba＝1，即lgab＝eq \f(1,lgba)(a，b均大于0且不等于1)；
(2)lgambn＝eq \f(n,m)lgab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R)；
(3)lgNM＝eq \f(lgaM,lgaN)＝eq \f(lgbM,lgbN)(a，b，N均大于0且不等于1，M >0)．
2．换底公式的推广
lgab·lgbc·lgcd＝lgad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0)．
3．对数恒等式
a＝N(a>0且a≠1，N>0)．
4.对数函数图象的特点
(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1))，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象．
(2)函数y＝lgax与y＝lgeq \f(1,a)x(a>0，且a≠1)的图象关于x轴对称．
(3)当a>1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0【真题体验】
1.【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A．1010.1 B．10.1
C．lg10.1 D．10−10.1
2.【2018年高考天津理数】已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3. 【2017年高考北京理数】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（ ）
（参考数据：lg3≈0.48）
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
4. 【2017年高考全国Ⅰ卷理数】设x、y、z为正数，且，则（ ）
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
5.(2018·天津卷)已知a＝lg2e，b＝ln 2，c＝lgeq \f(1,2)eq \f(1,3)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
6.(2018·江苏卷)函数y＝eq \r(lg2x－1)的定义域为__________．
【考法拓展•题型解码】
考法一 对数的运算
解题技巧:解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.
【例1】 (1)eq \f(1,2)lg 25＋lg 2－lgeq \r(0.1)－lg29×lg32的值是__________．
(2)已知2x＝12，lg2eq \f(1,3)＝y，则x＋y的值为__________．
(3)设2a＝5b＝m，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则m＝__________.
考法二 对数函数的图象及应用
归纳总结
在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．在研究方程的根时，可把方程的根看作两个函数图象交点的横坐标，通过研究两个函数图象得出方程根的关系．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【例2】 (1)函数f(x)＝lgeq \f(1,|x＋1|)的大致图象是( )
(2)(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
(3)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,3x，x≤0，))关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是__________．
考法三 对数函数的性质及应用
归纳总结
(1)对数值大小比较的主要方法：
①化同底数后利用函数的单调性；
②化同真数后利用图象比较；
③借用中间量(0或1等)进行估值比较．
(2)对于较复杂的不等式有解或求参数值的问题，可借助函数图象解决，具体步骤为：
①对不等式变形，使不等号两边对应两函数f(x)，g(x)；
②在同一坐标系下作出两函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象；
③比较当x在某一范围内取值时图象的上下相对位置及交点的个数来确定参数的取值或解的情况．
(3)解决与对数函数有关的问题时，务必先研究函数的定义域，并注意对数底数的取值范围．
【例3】 (1)(2018·天津卷)已知a＝lg3eq \f(7,2)，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up4(\f(1,3)) ，c＝ eq lg\s\d4(\f(1,3)) eq \f(1,5)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>b>a D．c>a>b
(2)函数f(x)＝lga(ax－3)在[1,3]上单调递增，则a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(0,1)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))) D．(3，＋∞)
【例4】 (1)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(41－x，x≤1，,1－ eq lg\s\d4(\f(1,4)) x，x＞1，))则满足不等式f(x)≤2的实数x的取值集合为__________．
(2)已知函数f(x)＝lga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为__________．
【易错警示】
易错点 忽视对数函数的真数大于0这一铁律
【典例】 若函数y＝lga(2－ax)在x∈[0,1]上是减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．(1，＋∞)
【错解】：令u＝2－ax，因为a＞0，所以u是关于x的减函数，在[0,1]上，随着x的增大，u＝2－ax减小，要使函数y＝lga(2－ax)在x∈[0,1]上是减函数．则y＝lgau在其定义域上必须是增函数，所以a＞1.故选D．
【错因分析】：错解中求参数范围时，根据“同增异减”只考虑了复合函数的单调性，却忘记了对的数真数大于0这一铁律．
【正解】：令u＝2－ax，因为a＞0，所以u是关于x的函数，当x∈[0,1]时，umin＝2－a×1＝2－a.因为2－ax＞0在x∈[0,1]时恒成立，所以umin＞0，即2－a＞0，a＜2.在[0,1]上，u＝2－ax是减函数，要使函数y＝lga(2－ax)在x∈[0,1]上是减函数，则y＝lgau在其定义域上必须是增函数，故a＞1.综上可知，1＜a＜2.故选B．
【误区防错】
(1)在解决真数中含参数的对数问题时，一定要保证真数大于0这一铁律．忽略这一点，可能会使所求参数范围扩大致误．
(2)在求复合函数单调性问题时不仅要结合内外函数的单调性更要注意它们本身的定义域．
【跟踪训练】 (2019·黄冈中学)函数y＝lg4(7＋6x－x2)的单调递增区间是__________．
【递进题组】
1．eq \r(lg232－4lg23＋4)＋lg2eq \f(1,3)＝( )
A．2 B．2－2lg23
C．－2 D．2lg23－2
2．下列四个命题：
①∃x0∈(0，＋∞)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x0②∃x0∈(0,1)， eq lg\s\d4(\f(1,2)) x0> eq lg\s\d4(\f(1,3)) x0；
③∀x∈(0，＋∞)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x> eq lg\s\d4(\f(1,2)) x；
④∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x< eq lg\s\d4(\f(1,3)) x.
其中真命题是( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．③④
3．若a＝2x，b＝eq \r(x)，c＝ eq lg\s\d4(\f(1,2)) x，则“a>b>c”是“x>1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知函数y＝lg[(a2－1)x2－2(a－1)x＋3]的值域为R，则实数a的取值范围是( )
A．[－2,1] B．[－2，－1]
C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪[1，＋∞)
5．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x≤0，,lnx＋1，x>0，))若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是__________．
【考卷送检】
一、选择题
1．函数y＝eq \f(lgx＋1,x－1)的定义域是( )
A．(－1，＋∞)
B．[－1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞)
D．[－1,1)∪(1，＋∞)
2．若0A．eq \r(x)>2x>lg x B．2x>lg x>eq \r(x)
C．2x>eq \r(x)>lg x D．lg x>eq \r(x)>2x
3．(2019·武汉二中月考)已知lg a＋lg b＝0(a＞0，且a≠1，b＞0，且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－lgbx的图象可能是( )
4．(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与eq \f(M,N)最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( )
A．1033 B．1053
C．1073 D．1093
5．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则lg(ab)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg\f(a,b)))2＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
6．若函数f(x)＝ eq lg\s\d4(\f(1,2)) (－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，3)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，2)) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞))
二、填空题
7．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg4x，x>0，,2－x，x≤0，))则f(f(－4))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2\f(1,6)))＝________.
8.eq \f(\r(lg 32－lg 9＋1)·lg\r(27)＋lg 8－lg\r(1 000),lg 0.3·lg 1.2)＝________.
9．(2019·武汉调研联考)已知函数f(x)＝lga(8－ax)(a＞0，且a≠1)，若f(x)＞1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝lga(x＋1)－lga(1－x)(a>0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)当a>1时，求f(x)>0的解集．
11．函数f(x)＝lga(2x2＋x)(a＞0，且a≠1)．
(1)若当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))时，都有f(x)＞0恒成立，求a的取值范围；
(2)在(1)的结论下，求f(x)的单调递增区间．
12．设x∈[2,8]时，函数f(x)＝eq \f(1,2)lga(ax)·lga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－eq \f(1,8)，求a的值．
13．(2019·西工大附中期中)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))，x∈[0，π，,lg2 019\f(x,π)，x∈[π，＋∞，))若存在三个不同的实数a，b，c，使得f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围为________．

底数
a>1
0图象
性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1,0)，即恒有lga1＝0
当x>1时，恒有y>0；
当0当x>1时，恒有y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
注意
当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0