专题2.7 函数的图像-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1. 理解点的坐标与函数图象的关系．
2．会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数的图象得到另一个函数的图象．
3．会运用函数图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题.
【命题趋势】
1.利用函数的定义域、值域判断图象的左右、上下的位置；利用函数的奇偶性、单调性、周期性判断图象的对称性以及变化趋势．
2．利用函数的图象研究函数的性质；利用函数的图象研究不可解方程根的个数、函数零点的个数；利用函数的图象求不等式的解集，以及解决已知函数零点个数求参数问题.
【核心素养】
本讲内容主要考查直观想象和逻辑推理的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：(1)确定函数的定义域；
(2)化简函数解析式；
(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线．
2．函数图象的变换
(1)平移变换
①y＝f(x)的图象eq \(――――――――→,\s\up7(a>0，右移a个单位),\s\d5(a0，上移b个单位),\s\d5(b0且a≠1)的图象eq \(―――――――→,\s\up7(关于直线y＝x对称),\s\d5( ))y＝lgax(a>0且a≠1)的图象．
(3)伸缩变换
①y＝f(x)的图象eq \(―――――――――――――――――――→,\s\up7(a>1，横坐标缩短为原来的\f(1,a)纵坐标不变),\s\d5(00，可知b0.当x＝1时，a＋b＋c0，,2|x|，x≤0，))则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是__________．
【答案】5
【解析】方程2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝eq \f(1,2)或f(x)＝1，作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.
(3)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．
【答案】[－1，＋∞)
【解析】如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，所以a≥－1.
【易错警示】
易错点 混淆函数图象的变换规律
【典例】 设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于( )
A．直线y＝0对称 B．直线x＝0对称
C．直线y＝1对称 D．直线x＝1对称
【错解】：y＝f(x)的图象向右平移一个单位得到y＝f(x－1)的图象，y＝f(－x)的图象向左平移一个单位得到y＝f(－x＋1)的图象，所以y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于y轴对称．故选B．
【错因分析】：上述解答过程中混淆了左右平移变换中的针对对象，左右平移只针对x，且“左加右减”，故y＝f(－x＋1)的图象不是由y＝f(－x)的图象向左平移一个单位得到的，应写成f[－(x－1)]再观察，其实是由y＝f(－x)的图象向右平移一个单位得到的．
【正解】：f(x－1)的图象是f(x)的图象向右平移1个单位而得到的，又f(1－x)＝f[－(x－1)]的图象是f(－x)的图象也向右平移1个单位而得到的，因f(x)与f(－x)的图象关于y轴(即直线x＝0)对称，因此f(x－1)与f[－(x－1)]的图象关于直线x＝1对称．故选D．
【跟踪训练】 若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为( )
【答案】C
【解析】 要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后再向左平移一个单位得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C项正确．
【递进题组】
1．为了得到函数y＝lg2eq \r(x－1)的图象，可将函数y＝lg2x图象上所有点的( )
A．纵坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，横坐标不变，再向右平移1个单位
B．纵坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，横坐标不变，再向左平移1个单位
C．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位
D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位
【答案】A
【解析】把函数y＝lg2x的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，横坐标不变，得到函数y＝eq \f(1,2)lg2x的图象，再向右平移1个单位，得到函数y＝eq \f(1,2)lg2(x－1)的图象，即函数y＝lg2eq \r(x－1)的图象．
2．(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝eq \f(ex－e－x,x2)的图象大致为( )
【答案】B
【解析】 因为y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，所以f(x)＝eq \f(ex－e－x,x2)是奇函数，图象关于原点对称，排除A项；因为f(1)＝eq \f(e－e－1,1)＝e－eq \f(1,e)，e>2，所以eq \f(1,e)1，排除C，D项．故选B．
3．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
【答案】C
【解析】 将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x0得x∈(－1,0)；当x∈(0,1)时，由xf(x)>0得x∈∅；当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．所以x∈(－1,0)∪(1,3)．
5．对任意实数a，b定义运算“⊙”：a⊙b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b，a－b≥1，,a，a－b