专题2.8 函数与方程-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

第二篇 函数、导数及其应用

专题2.8 函数与方程

【考纲要求】

1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．

2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解

【命题趋势】

函数的零点及其应用问题是热点，经常考查函数零点存在的区间、零点个数的判断和利用函数的零点个数求参数的范围等内容，难度不大.

【核心素养】

本讲内容主要考查直观想象和数学建模的核心素养.

【素养清单•基础知识】

1．函数的零点

(1)零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数.

2．函数的零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.

3．二分法的定义

对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

【素养清单•常用结论】

有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

【真题体验】

1. 【2019年高考浙江】已知，函数．若函数恰有3个零点，则（   ）

A．a<–1，b<0                                           B．a<–1，b>0   

C．a>–1，b<0                                         D．a>–1，b>0

2.【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（   ）

A．[–1，0）                                                 B．[0，+∞）

C．[–1，+∞）                                             D．[1，+∞）

3.【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数有唯一零点，则a=（   ）

A．                                             B．

C．                                             D．1

4.【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数在的零点个数为________．

5.【2018年高考江苏】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．

6.【2018年高考浙江】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．

【考法拓展•题型解码】

考法一　函数零点所在区间的判断

解题技巧：判断函数零点所在区间的方法

(1)当能直接求出零点时，就直接求出进行判断．

(2)当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断．

(3)当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．

【例1】 (1)函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在区间是(　　)

A．  B．

C．(1,2)  D．(2,3)

 (2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)

A．(a，b)和(b，c)内  B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内  D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

考法二　函数零点个数的判断

解题技巧:函数零点个数的判断方法

(1)解方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点所具有的性质．

(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

【例2】 (1)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的零点个数是(　　)

A．2  B．3 

C．4  D．多于4

(2)已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))＋1的零点个数是(　　)

A．4  B．3 

C．2  D．1

考法三　函数零点的应用

解题技巧:函数零点应用问题的常见类型及解题策略

(1)已知函数零点求参数，根据函数零点或方程的根求参数应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．

(2)已知函数零点个数求参数，解答此类问题常利用数形结合法．

(3)借助函数零点比较大小，要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)，f(b)与0的大小．

【例3】 (1)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．  B．(－∞，－1)∪

C．  D．(－∞，－1)

(2)已知函数f(x)＝则函数F(x)＝f(x)－a2＋a＋1(a∈R)总有零点时，a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0)∪(1，＋∞)  B．[－1,2)

C．[－1,0]∪(1,2]  D．[0,1]

(3)(2019·安庆摸底考试)若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1,1]有零点，则实数a的取值范围是__________．

【易错警示】

易错点　忽视零点存在性定理的不可逆性

【典例】 若函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0,4]上至少有一零点，则实数a的取值范围是__________．

【错解】：因为函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0,4]上至少有一零点，所以f(0)·f(4)＜0，即2(18－8a)＜0，解得a＞.所以实数a的取值范围为.

【错因分析】：导致上述错误的原因是连续函数f(x)在闭区间[a，b]上若满足f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内至少有一个零点，反之就不一定成立．如y＝x2－2x－3在区间[－2,4]上有两个零点－1与3，但f(－2)＝5，f(4)＝5，f(－2)·f(4)＝25＞0，本题错解正是因为应用了这一不一定成立的结论而导致的．

【答案】：[，＋∞)

【正解】因为函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0,4]上至少有一零点，且f(0)＝2＞0，所以或解得 ≤a≤4或a＞4，即a≥ .

所以实数a的取值范围为[，＋∞)．

【误区防范】零点的存在性定理不可逆

因为f(a)·f(b)＜0可以推出函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点．但是，已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定能推出f(a)·f(b)＜0.

【跟踪训练】 设函数f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c(a＞0，a，c∈R)，试讨论函数f(x)在区间(0,1)内是否有零点？有几个？

【递进题组】

1．函数f(x)＝ln(x＋1)－的一个零点所在的区间是(　　)

A．(0,1)  B．(1,2)

C．(2,3)  D．(3,4)

2．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

3．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－的零点依次为a，b，c，则(　　)

A．a<b<c  B．c<b<a

C．c<a<b  D．b<a<c

4．(2019·兰州模拟)已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　)

A．  B．

C．－  D．－

5．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是__________．

【考卷送检】

一、选择题

1．函数f(x)＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是(　　)

A．(0,1)  B．(1,2)

C．(2,3)  D．(3,4)

2．用二分法找函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(　　)

A．(0,1)  B．(0,2)

C．(2,3)  D．(2,4)

3．f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为(　　)

A．4  B．5

C．6  D．7

4．(2019·延吉模拟)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的零点为(　　)

A．0  B．－1，－2

C．－1,0  D．－2，－1,0

5．(2019·惠州调考)设函数f(x)＝ex＋2x－4，g(x)＝ln x＋2x2－5，若实数a，b分别是f(x)，g(x)的零点，则(　　)

A．g(a)＜0＜f(b)  B．f(b)＜0＜g(a)

C．0＜g(a)＜f(b)  D．f(b)＜g(a)＜0

6．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)

A．－  B．

C．  D．1

二、填空题

7．若二次函数f(x)＝x2－2ax＋4在(1，＋∞)内有两个零点，则实数a的取值范围为________．

8．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 019x＋log2 019x，则在R上，函数f(x)零点的个数为________．

9．(2018·浙江卷)已知λ∈R，f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)＜0的解集是________；若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．

三、解答题

10．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．

11．(2019·无锡中学月考)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)当x∈[－1,2]时，求函数的最大值和最小值；

(3)若函数g(x)＝f(x)－mx的两个零点分别在区间(－1,2)和(2,4)内，求m的取值范围．

12．(2019·石家庄一模)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋t－1，g(x)＝x＋(x＞0)，其中e表示自然对数的底数．

(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；

(2)确定t的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

13．若y＝f(x)是定义在R上的函数，且满足：①f(x)是偶函数；②f(x＋2)是偶函数；③当0＜x≤2时，f(x)＝log2 019x，当x＝0时，f(x)＝0，则方程f(x)＝－2 019在区间(1,10)内的所有实数根之和为(　　)

A．0    B．10

C．12    D．24