专题2.10 变化率与导数、导数的计算-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

第二篇 函数、导数及其应用

专题2.10 变化率与导数、导数的计算

【考纲要求】

1. 了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．

2．能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝，y＝x2的导数．

3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.

【命题趋势】

1. 导数的概念及几何意义是热点问题，难度不大，经常与函数结合，通过求导研究函数的性质．

2．导数几何意义的应用是热点问题，难度较大，题型大多是根据导数的几何意义求参数值或参数的取值范围，以及与切线有关的计算、证明问题.

【核心素养】

本讲内容主要考查数学运算、数学建模的核心素养.

【素养清单•基础知识】

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝

❶为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝＝.

函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

(2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)❷处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

❷曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线.

(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．

(4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，[f′(x0)]′＝0.

2．基本初等函数的导数公式

3.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3) (g(x)≠0)．

4．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．

【素养清单•常用结论】

1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

2．熟记以下结论：

(1)′＝－；(2)(ln|x|)′＝；

(3) (f(x)≠0)；

(4)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．

【真题体验】

1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（   ）

A．                              B．a=e，b=1

C．                           D．，

2.【2019年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（   ）

A．                                 B．

C．                              D．

3.【2019年高考浙江】已知，函数．若函数恰有3个零点，则（   ）

A．a<–1，b<0                                    B．a<–1，b>0   

C．a>–1，b<0                                    D．a>–1，b>0

4. 【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线在点处的切线方程为____________．

5. 【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线的距离的最小值是     .

6.【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是    .

7. 【2019年高考北京理数】设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．

【考法拓展•题型解码】

考法一　导数的运算

解题技巧：导数的运算方法

(1)连乘形式：先展开，化为多项式的形式，再求导．

(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．

(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．

(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．

(5)三角形式：先用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．

(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．

【例1】 (1)(2018·天津卷)已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为__________．

(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝__________.

(3)已知函数f(x)＝f′sin x＋cos x，则f＝__________.

【例2】 求下列函数的导数．

(1)y＝(1－)；                         (2)y＝；

(3)y＝tan x；(4)y＝3xex－2x＋e.

考法二　导数的几何意义

解题技巧：导数几何意义的应用类型及求解思路

(1)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可．

(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.

(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．

【例3】 (1)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)

A．y＝－2x  B．y＝－x

C．y＝2x  D．y＝x

 (2)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x>0)上点P处的切线垂直，则点P的坐标为__________．

 (3)(2019·金陵中学月考)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝__________.

【易错警示】

易错点　审题不认真致误

【典例】 求曲线S：y＝f(x)＝2x－x3过点A(1,1)的切线方程．

【错解】：易知点A(1,1)在f(x)＝2x－x3的图象上，

又f′(x)＝2－3x2，所以f′(1)＝2－3＝－1＝k，

所以过点A的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.

【错因分析】：审题时忽视了曲线“在点P处的切线”与曲线“过点P的切线”的不同．

【正解】：设切点为(x0，f(x0))．因为f′(x)＝2－3x2，所以切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，即y＝(2－3x)(x－x0)＋2x0－x，将点A的坐标(1,1)代入得1＝(2－3x)(1－x0)＋2x0－x，整理得2x－3x＋1＝0，即2x－2x－x＋1＝0，

所以(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或－，

所以y0＝1，f′(x0)＝－1或y0＝－，f′(x0)＝.

所以切线方程为y＝－x＋2或y＝x－.

归纳总结:

若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线过点P(x0，y0)的切线方程，则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．

(1)点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

(2)点P(x0，y0)不是切点时，可分为以下几步完成：

第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；

第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；

第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；

第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，由此即可得过点P(x0，y0)的切线方程．

【跟踪训练】 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.

(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．

【递进题组】

1．已知y＝f(x)是可导函数．如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)

A．－1  B．0

C．2  D．4

2．求下列函数的导数．

(1)y＝x4－3x2－5x＋6；                    (2)y＝x·tan x；

(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；                 (4)y＝.

3．(2019·盐城伍佑中学调研)若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．

4．已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.

(1)求曲线C在横坐标为1的点处的切线方程；

(2)第(1)问中的切线与曲线C是否还有其他公共点，若有，请求出；若没有，请说明理由．

【考卷送检】

一、选择题

1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)＝(　　)

A．2  B．0

C．－2  D．－4

2．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于(　　)

A．－1    B．

C．－2    D．2

3.(2019·衡水调研)曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)

A．y＝2x＋1  B．y＝2x－1

C．y＝－2x－3  D．y＝－2x－2

4.在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(0)＝(　　)

A．0  B．26

C．29  D．212

5.已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)

A．  B．

C．  D．

6．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝(　　)

A．  B．－

C．  D．－或

二、填空题

7．曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．

8．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.

9．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则切点坐标为________．

三、解答题

10．已知函数f(x)＝x3＋x－16.

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．

11．(2019·哈尔滨三中期中)已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．

(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．

12．(2019·吉林校级联考)设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．

(1)求k的值；

(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．

13．设过曲线f(x)＝－ex－x(e为自然对数的底数)上的任意一点的切线为l1，总存在过曲线g(x)＝mx－3sin x上的一点处的切线l2，使l1⊥l2，则m的取值范围是________．