专题2.12 导数与函数的极值、最值-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).
【命题趋势】
利用导数求函数的极值、最值是高考中的热点问题、高频考点，题型有求函数的极值、最值和已知函数的极值、最值求参数值或取值范围，难度较大.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算和逻辑推理的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．函数的单调性与导数的关系
在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔eq \(fx在,\s\d4())(a，b)上为减函数．
2．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，eq \(f′a＝0,\s\d4())；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点eq \(a叫做函数y＝fx的极小值点,\s\d4())，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3)开区间上的单调连续函数无最值．,
(1)f′(x)＞0(＜0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件．
(2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件．
(3)由f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)可得f′(x)≥0(≤0)在该区间内恒成立，而不是f′(x)＞0(＜0)恒成立，“＝”不能少，必要时还需对“＝”进行检验.
f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点．
(1)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．
(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数.
【素养清单•常用结论】
(1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．
(2)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值．
(3)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取．
【真题体验】
1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
2. 【2019年高考江苏】设函数、为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的极小值；
（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．
3. 【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数．
（1）若，证明：当时，；当时，；
（2）若是的极大值点，求．
4. 【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数.
（1）若，求a的值；
（2）设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值.
【考法拓展•题型解码】
考法一 利用导数研究函数的极值
答题模板：利用导数研究函数极值问题的步骤
【例1】 已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值．
【例2】 (2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.
(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；
(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．
考法二 利用导数研究函数的最值
答题模板：求可导函数f(x)在[a，b]上的最值的基本步骤
(1)求出函数f(x)在区间(a，b)内的所有极值f(x1)，f(x2)，…，f(xn)．
(2)计算函数f(x)在区间[a，b]上的两个端点值f(a)，f(b)．
(3)对所有的极值和端点值作大小比较．
(4)对比较的结果作出结论：所有这些值中最大的即是该函数在[a，b]上的最大值，所有这些值中最小的即是该函数在[a，b]上的最小值．
【例3】 设f(x)＝－eq \f(1,3)x3＋eq \f(1,2)x2＋2ax.
(1)若f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))上存在单调递增区间，求a的取值范围；
(2)当0【例4】 已知函数f(x)＝ln x－eq \f(a,x).
(1)若a＞0，试判断f(x)在定义域内的单调性；
(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为eq \f(3,2)，求实数a的值．
【易错警示】
易错点 认为导数的零点就是极值点
【典例】 函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1时有极值10，求a，b的值．
【错解】：f′(x)＝3x2－2ax－b，由题意知f′(1)＝3－2a－b＝0，所以b＝3－2a，所以f(1)＝1－a－b＋a2＝a2＋a－2＝10，解得a＝－4或3，从而b＝11或－3.所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝11))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3，,b＝－3.))
【错因分析】：f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件，因此，必须对求出的a，b的值进行检验，而上述解答过程未进行验证，导致增解．
【正解】：f′(x)＝3x2－2ax－b，由题意知f′(1)＝3－2a－b＝0，所以b＝3－2a，所以f(1)＝1－a－b＋a2＝a2＋a－2＝10，解得a＝－4或3.
当a＝－4时，b＝11，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(x－1)(3x＋11)，符合题意；
当a＝3时，b＝－3，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
f(x)在R上是增函数，无极值点，不合题意．
综上，a＝－4，b＝11.
归纳总结：掌握已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．
【跟踪训练】 (2019·豫南九校质检)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为( )
A．4 B．2或6
C．2 D．6
【递进题组】
1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
2．已知奇函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(ex,x)－1，x>0，,hx，x<0，))则函数h(x)的最大值为__________．
3．(2017·北京卷)已知函数f(x)＝excs x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值．
4．设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c(a＞0)．
(1)当a＝1，且函数图象过点(0,1)时，求函数的极小值；
(2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围．
【考卷送检】
一、选择题
1．(2019·武汉外校月考)函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝1或－1或0 D．x＝0
2．函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－ln x的最小值为( )
A．eq \f(1,2) B．1
C．0 D．不存在
3．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )
A．－37 B．－29
C．－5 D．－11
4．(2019·泉州中学月考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则eq \f(a,b)的值为( )
A．－eq \f(2,3) B．－2
C．－2或－eq \f(2,3) D．2或－eq \f(2,3)
5．(2019·瑞安中学月考)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)等于( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(4,3)
C．eq \f(8,3) D．eq \f(16,3)
6．若函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(b,2)))x2＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为( )
A．2b－eq \f(4,3) B．eq \f(3,2)b－eq \f(2,3)
C．0 D．b2－eq \f(1,6)b3
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.
8．已知函数f(x)的定义域是[－1,5]，部分对应值如下表.
f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极小值为________．
9．(2019·南昌二中期中)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，有以下命题：
①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；
②f(x)的极值点有且仅有一个；
③f(x)的最大值与最小值之和等于零．
其中正确命题的序号为________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x－1＋eq \f(a,ex)(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
11．已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋a(a＜0)，若f(x)在区间[2,3]上有最大值1.
(1)求a的值；
(2)若g(x)＝f(x)－mx在[2,4]上单调，求实数m的取值范围．
12．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－ln x－1.
(1)设x＝2是f(x)的极值点．求a，并求f(x)的单调区间；
(2)证明：当a≥eq \f(1,e)时，f(x)≥0.
13．已知函数f(x)＝eq \f(x,x2＋a)(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为eq \f(\r(3),3)，则a的值为( )
A．eq \r(3)－1 B．eq \f(3,4)
C．eq \f(4,3) D．eq \r(3)＋1
x
－1
0
2
4
5
f(x)
1
2
0
2
1