高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理优质课件ppt

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1.分类加法计数原理：
2.分步乘法计数原理：
3.两个原理的区别与联系：
例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
分析：要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅，并分别挂在左、右两边墙上”，可以分步完成。
解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，右3种方法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种方法。根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数为： N=3×2=6这6种挂法，如右图所示：
例5 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后两个字符要求用数字1~9，最多可以给多少个程序模块命名？
分析：要完成的一件事是“给一个程序模块命名”，可以分三个步骤完成：第1步，选首字符；第2步，选中间字符；第3步，选最后一个字符。而首字符又可以分为两类。
解：由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为： 7+6=13后两个字符从1~9种选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9。由分步乘法计数原理，不同名称种数的个数为： 13×9×9=1053即最多可以给1053个程序模块命名。
例6 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制。为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成。(1)1个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？(2)计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
分析：(1)要完成的一件事是“确定1个字节各二进制位上的数字”。由于每个字节有8个二进制位，每一位上的值都有0，1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解；(2)只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6763个即可.
1个字节共8位，每位上有2种选择。根据分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示不同字符的个数为：2×2×2×2×2×2×2×2=28=256。
(2)由(1)知，1个字节所能表示的不同字符不够6763个，我们考虑2个字节能够表示多少个字符。前1个字节有256种不同的表示方法，后1个字节也有256种表示方法。根部分步乘法计数原理，2个字节可以表示不同字符的个数是： 256×256=65536这已经大于汉子国标码包含的汉子个数6763。因此要对这些汉字进行标码，每个汉字至少要用2个字节表示。
例7 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路径(即程序从开始到结束的路线)以便知道需要提供多少个测试数据。一般地，一个程序模块由许多子模块组成。如图，这是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径？另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数。你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？
分析：整个模块的任意一条执行路径都分两步完成：第1步是从开始执行到A点；第2步是从A点执行到结束. 而第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成；第2步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成. 因此，分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理。
解：由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为： 18+45+28=91子模块4、子模块5中的子路径条数共为： 38+43=81又由分步乘法计数原理，整个模块的执行路径的条数共为： 91×81=7371。
如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常。这样，测试整个模块的次数就变为： 172+6=178显然，178与7371的差距是非常大的。
再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为： 3×2=6
在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块。这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常。总共需要的测试次数为： 18+45+28+38+43=172
例8 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如图所示。其中，序号的编码规则为：(1)由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；(2)最多只能有2个英文字母. 如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？
分析：由号牌编号的组成可知，序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数。按序号编码规则可知，每个序号中的数字、字母都是可重复的，并且可将序号分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母。以字母所在位置为分类标准，可将有1个字母的序号分为五个子类，将有2个字母的序号分为10个子类。
解：由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数。根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母。
(1)当没有字母时，序号的每一位都是数字。确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法。根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为： 10×10×10×10×10=100 000
当第1位时字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第一步，从24个字母中选一个放在第1位，有24种选法；第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法。根据分步乘法计数原理，号牌张数为： 24×10×10×10×10=240 000同样，其余四个子类号牌也各有240 000张。根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为： 240 000+240 000+240 000+240 000+240 000=1200 000。
(2)当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类。
(3)当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可以将这类序号分为10个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位。
当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1，2步是从24个字母中选1个分贝放在第1位、第2位，各有24种选法；第3~5步都是从10个数字中选一个放在相应的位置，各有10种选法，由分步乘法计数原理，号牌张数位： 24×24×10×10×10=576 000同样，其余九个子类号牌也各有576 000张。于是，这类号牌张数一共为： 576 000×10=5760 000
综合(1)(2)(3)，根据分类加法计数原理，这个发证机关最多能发放的汽车号牌的张数为：100 000+1200 000+5760 000=7060 000。
(1)要完成的“一件事”是什么；(2)需要分类还是需要分步。 分类要做到“不重不漏”。分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数。分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务.分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数。
用两个计数原理解决计数问题时的注意点：
1.从0,2中选一个数字，从 1,3,5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( ) A．24 B．18 C．12 D．6
注意事项：①明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键。一般按特殊位置(末位或首 位)分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解.②要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位。
2.用 0,1，…，9 这10个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A．243 B．252 C．261 D．648
类型二 ：选(抽)取与分配问题
3.高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( ) A．16 种 B．18 种 C．37 种 D．48 种
4.有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床，则不同的选派方法有( ) A．6 种 B．5 种 C．4 种 D．3 种
常用方法：①当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法。②当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：(1)直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理。一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行。(2)间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可。
类型三 ：涂色（染色）与种植问题
涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，有几种常用方法：(1)按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析。(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析。(3)将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题。种植问题按种植的顺序分步进行，用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类，用分类加法计数原理计数。
1.定义集合A与B的运算A*B如下：A*B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为( ) A．34 B．43 C．12 D．以下都不对
3.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有( ) A．18 条 B．20 条 C．25 条 D．10 条
4、有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的 测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复。若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余 项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有________种。(用数字作答)