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    高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理优质课件ppt

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理优质课件ppt,文件包含新教材612分类加法计数原理与分步乘法计数原理pptx、新教材612分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学设计docx等2份课件配套教学资源,其中PPT共23页, 欢迎下载使用。

    1.分类加法计数原理:
    2.分步乘法计数原理:
    3.两个原理的区别与联系:
    例4 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置,共有多少种不同的挂法?
    分析:要完成的一件事是“从3幅画中选出2幅,并分别挂在左、右两边墙上”,可以分步完成。
    解:从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上,可以分两个步骤完成:第1步,从3幅画中选1幅挂在左边墙上,右3种方法;第2步,从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上,有2种方法。根据分步乘法计数原理,不同挂法的种数为: N=3×2=6这6种挂法,如右图所示:
    例5 给程序模块命名,需要用3个字符,其中首字符要求用字母A~G或U~Z,后两个字符要求用数字1~9,最多可以给多少个程序模块命名?
    分析:要完成的一件事是“给一个程序模块命名”,可以分三个步骤完成:第1步,选首字符;第2步,选中间字符;第3步,选最后一个字符。而首字符又可以分为两类。
    解:由分类加法计数原理,首字符不同选法的种数为: 7+6=13后两个字符从1~9种选,因为数字可以重复,所以不同选法的种数都为9。由分步乘法计数原理,不同名称种数的个数为: 13×9×9=1053即最多可以给1053个程序模块命名。
    例6 电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态,而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法,即二进制。为了使计算机能够识别字符,需要对字符进行编码,每个字符可以用1个或多个字节来表示,其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位,每个字节由8个二进制位构成。(1)1个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符?(2)计算机汉字国标码包含了6763个汉字,一个汉字为一个字符,要对这些汉字进行编码,每个汉字至少要用多少个字节表示?
    分析:(1)要完成的一件事是“确定1个字节各二进制位上的数字”。由于每个字节有8个二进制位,每一位上的值都有0,1两种选择,而且不同的顺序代表不同的字符,因此可以用分步乘法计数原理求解;(2)只要计算出多少个字节所能表示的不同字符不少于6763个即可.
    1个字节共8位,每位上有2种选择。根据分步乘法计数原理,1个字节最多可以表示不同字符的个数为:2×2×2×2×2×2×2×2=28=256。
    (2)由(1)知,1个字节所能表示的不同字符不够6763个,我们考虑2个字节能够表示多少个字符。前1个字节有256种不同的表示方法,后1个字节也有256种表示方法。根部分步乘法计数原理,2个字节可以表示不同字符的个数是: 256×256=65536这已经大于汉子国标码包含的汉子个数6763。因此要对这些汉字进行标码,每个汉字至少要用2个字节表示。
    例7 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路径(即程序从开始到结束的路线)以便知道需要提供多少个测试数据。一般地,一个程序模块由许多子模块组成。如图,这是一个具有许多执行路径的程序模块,它有多少条执行路径?另外,为了减少测试时间,程序员需要设法减少测试次数。你能帮助程序员设计一个测试方法,以减少测试次数吗?
    分析:整个模块的任意一条执行路径都分两步完成:第1步是从开始执行到A点;第2步是从A点执行到结束. 而第1步可由子模块1、子模块2、子模块3中任何一个来完成;第2步可由子模块4、子模块5中任何一个来完成. 因此,分析一条指令在整个模块的执行路径需要用到两个计数原理。
    解:由分类加法计数原理,子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为: 18+45+28=91子模块4、子模块5中的子路径条数共为: 38+43=81又由分步乘法计数原理,整个模块的执行路径的条数共为: 91×81=7371。
    如果每个子模块都工作正常,并且各个子模块之间的信息交流也正常,那么整个程序模块就工作正常。这样,测试整个模块的次数就变为: 172+6=178显然,178与7371的差距是非常大的。
    再测试各个模块之间的信息交流是否正常,只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常,需要的测试次数为: 3×2=6
    在实际测试中,程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱,即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块。这样,他可以先分别单独测试5个模块,以考察每个子模块的工作是否正常。总共需要的测试次数为: 18+45+28+38+43=172
    例8 通常,我国民用汽车号牌的编号由两部分组成:第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号,第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号,如图所示。其中,序号的编码规则为:(1)由10个阿拉伯数字和除O,I之外的24个英文字母组成;(2)最多只能有2个英文字母. 如果某地级市发牌机关采用5位序号编码,那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌?
    分析:由号牌编号的组成可知,序号的个数决定了这个发牌机关所能发放的最多号牌数。按序号编码规则可知,每个序号中的数字、字母都是可重复的,并且可将序号分为三类:没有字母,有1个字母,有2个字母。以字母所在位置为分类标准,可将有1个字母的序号分为五个子类,将有2个字母的序号分为10个子类。
    解:由号牌编号的组成可知,这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数。根据序号编码规则,5位序号可以分为三类:没有字母,有1个字母,有2个字母。
    (1)当没有字母时,序号的每一位都是数字。确定一个序号可以分5个步骤,每一步都可以从10个数字中选1个,各有10种选法。根据分步乘法计数原理,这类号牌张数为: 10×10×10×10×10=100 000
    当第1位时字母时,分5个步骤确定一个序号中的字母和数字:第一步,从24个字母中选一个放在第1位,有24种选法;第2~5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置,各有10种选法。根据分步乘法计数原理,号牌张数为: 24×10×10×10×10=240 000同样,其余四个子类号牌也各有240 000张。根据分类加法计数原理,这类号牌张数一共为: 240 000+240 000+240 000+240 000+240 000=1200 000。
    (2)当有1个字母时,这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位,这类序号可以分为五个子类。
    (3)当有2个字母时,根据这2个字母在序号中的位置,可以将这类序号分为10个子类:第1位和第2位,第1位和第3位,第1位和第4位,第1位和第5位,第2位和第3位,第2位和第4位,第2位和第5位,第3位和第4位,第3位和第5位,第4位和第5位。
    当第1位和第2位是字母时,分5个步骤确定一个序号中的字母和数字:第1,2步是从24个字母中选1个分贝放在第1位、第2位,各有24种选法;第3~5步都是从10个数字中选一个放在相应的位置,各有10种选法,由分步乘法计数原理,号牌张数位: 24×24×10×10×10=576 000同样,其余九个子类号牌也各有576 000张。于是,这类号牌张数一共为: 576 000×10=5760 000
    综合(1)(2)(3),根据分类加法计数原理,这个发证机关最多能发放的汽车号牌的张数为:100 000+1200 000+5760 000=7060 000。
    (1)要完成的“一件事”是什么;(2)需要分类还是需要分步。 分类要做到“不重不漏”。分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数。分步要做到“步骤完整”,即完成了所有步骤,恰好完成任务.分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数。
    用两个计数原理解决计数问题时的注意点:
    1.从0,2中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为( ) A.24 B.18 C.12 D.6
    注意事项:①明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键。一般按特殊位置(末位或首 位)分类,分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成;如果正面分类较多,可采用间接法求解.②要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位。
    2.用 0,1,…,9 这10个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A.243 B.252 C.261 D.648
    类型二 :选(抽)取与分配问题
    3.高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有( ) A.16 种 B.18 种 C.37 种 D.48 种
    4.有A,B两种类型的车床各一台,现有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都会操作两种车床,丙只会操作A种车床,要从这三名工人中选两名分别去操作这两种车床,则不同的选派方法有( ) A.6 种 B.5 种 C.4 种 D.3 种
    常用方法:①当涉及对象数目不大时,一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法。②当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:(1)直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理。一般地,若抽取是有顺序的就按分步进行;若是按对象特征抽取的,则按分类进行。(2)间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可。
    类型三 :涂色(染色)与种植问题
    涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解,有几种常用方法:(1)按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析。(2)以颜色为主分类讨论,适用于“区域、点、线段”等问题,用分类加法计数原理分析。(3)将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题。种植问题按种植的顺序分步进行,用分步乘法计数原理计数或按种植品种恰当选取情况分类,用分类加法计数原理计数。
    1.定义集合A与B的运算A*B如下:A*B={(x,y)|x∈A,y∈B},若A={a,b,c},B={a,c,d,e},则集合A*B的元素个数为( ) A.34 B.43 C.12 D.以下都不对
    3.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数,作为直线Ax+By=0的系数,则形成不同的直线最多有( ) A.18 条 B.20 条 C.25 条 D.10 条
    4、有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的 测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不重复。若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余 项目上、下午都各测一人,则不同的安排方式共有________种。(用数字作答)
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