专题6.3 二元一次不等式（组）与线性规划-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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第六篇 不等式、推理与证明
专题6.3 二元一次不等式（组）与线性规划
【考纲要求】
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．
2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决
【命题趋势】
对线性规划的考查常以线性目标函数的最值为重点，兼顾考查代数式的几何意义，有时也考查用线性规划知识解决实际问题.
【核心素养】
本讲内容主要考查直观想象、数学建模、数学运算的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，不包括边界直线，把边界直线画成虚线；不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线，把边界直线画成实线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足Ax＋By＋C＞0，则位于另一个半平面内的点，其坐标满足Ax＋By＋C0)过点A或B时取得最小值，所以＋k＝13或＋k＝13，解得k＝5或.
【递进题组】
1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是(　　)

【答案】C　
【解析】 由(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0可得或与C项符合．故选C.
2.(2018·全国卷Ⅲ改编)设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值是(　　)
A. B．1
C. D．3
【答案】D　
【解析】 画出可行域如图所示阴影部分，由z＝x＋y得y＝－3x＋3z，作出直线y＝－3x，并平移该直线，当直线y＝－3x＋3z过点A(2,3)时，目标函数z＝x＋y取得最大值为2＋×3＝3.

3．若实数x，y满足不等式组目标函数t＝x－2y的最大值为2，则实数a的值是(　　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
【答案】D　
【解析】 可行域为△ABC及其内部，如图所示．由图可知，当目标函数t＝x－2y过点A时有最大值，直线x－2y＝2与直线x－2＝0的交点坐标为(2,0)，代入直线x＋2y－a＝0，得a＝2.故选D.

4．已知实数x，y满足则k＝的最大值为(　　)
A. B.
C．1 D.
【答案】C　
【解析】 如图，不等式组表示的平面区域为△AOB的边界及其内部区域，

k＝＝表示点(x，y)和(－1,0)的连线的斜率．由图知，点(0,1)和点(－1,0)连线的斜率最大，所以kmax＝＝1.故选C.
5．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为__________元．
【答案】见解析
【解析】 设生产x件产品A，生产y件产品B，利润之和为z元，则z＝2 100x＋900y.
根据题意得即
作出可行域(如图中阴影部分所示)．
由得

当直线2 100x＋900y－z＝0过点M(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000.
故所求的最大值为216 000元．
答案 216 000
【考卷送检】
一、选择题
1．(2019·福州期末质检)不等式组的解集记为D.有下列四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x－2y≥2；
p2：∃(x，y)∈D，x－2y≥3；
p3：∀(x，y)∈D，x－2y≥；
p4：∃(x，y)∈D，x－2y≤－2.
其中是真命题的是(　　)
A．p2，p3 B．p1，p4
C．p1，p2 D．p1，p3
【答案】A　
【解析】 作出不等式组表示的平面区域如图所示，设z＝x－2y，即y＝－，由解得则A，目标函数z＝x－2y过点A时取得最小值，即x－2y≥，所以p2，p3为真命题，p1，p4为假命题，故选A.

2．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是(　　)
A. B.
C．[－1,6] D.
【答案】A　
【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由图可知当直线z＝3x－y过点A(2,0)时，z取得最大值6，过点B时，z取得最小值－.故选A.

3．不等式组表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为(　　)
A．(0,3] B．[－1,1]
C．(－∞，3] D．[3，＋∞)
【答案】D　
【解析】 作出不等式表示的平面区域(阴影)，直线y＝kx－1过定点M(0，－1)，由图可知，当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1与直线x＋y＝3的交点C(1,2)时，k最小，此时kC M＝＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞)．故选D.

4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x2＋y2的取值范围为(　　)
A．[2,8] B．[4,13]
C．[2,13] D.
【答案】C　
【解析】 作出可行域，如图中阴影部分，将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，过点O作OA垂直直线x＋y＝2，垂足为A，设直线x－y＝1与y＝2交于点B，从而可得zmin＝|OA|2＝2＝2，zmax＝|OB|2＝32＋22＝13.故z∈[2,13]．

5．若实数x，y满足且z＝y－x的最小值为－2，则k的值为(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【答案】B　
【解析】 将选项中的k值分别代入约束条件中，则当k＝1或k＝2时，目标函数z＝y－x无最小值；当k＝－2时，直线y＝x＋z过点(0,2)时，有zmin＝2；当k＝－1时，直线y＝x＋z过点(2,0)时，有zmin＝－2.故选B.
6．若关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为(　　)
A．3 B．6
C．5 D．4
【答案】A　
【解析】 先作出不等式组对应的区域，如图．因为直线ax－y＋1＝0过定点(0,1)，且不等式ax－y＋1≥0表示的区域在直线ax－y＋1＝0的右下方，所以△ABC为不等式组对应的平面区域．因为A到直线BC的距离为1，所以S△ABC＝×1×BC＝2，所以BC＝4.当x＝1时，yC＝1＋a，所以1＋a＝4，解得a＝3.

二、填空题
7．(2018·北京卷)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________．
【答案】 3
【解析】 由条件得即作出可行域，如图中阴影部分所示．设z＝2y－x，即y＝x＋z，作直线l0：y＝x并向上平移，显然当l0过点A(1,2)时，z取得最小值，zmin＝2×2－1＝3.

8．若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域内，则z＝2x－y的最小值为________．
【答案】 －4
【解析】 曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域如图．由z＝2x－y得y＝2x－z.当直线y＝2x－z经过点(－1,2)时，直线在y轴上的截距最大，此时z的值最小，故zmin＝2×(－1)－2＝－4，即2x－y的最小值为－4.

9．(2019·银川二中模拟)某工厂用A，B两种配件来生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件，耗时1 h，每生产一件乙产品使用4个B配件，耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得24个A配件和16个B配件，每天生产总耗时不超过8 h．若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过合理安排，该工厂每天可获得的最大利润为________万元．
【答案】 22
【解析】 设分别生产甲、乙两种产品x件，y件，工厂每天获得的利润为z万元，由已知条件可得二元一次不等式组即作出可行域如图中阴影部分(整数点)所示，目标函数为z＝3x＋4y，由图可知目标函数在点A处取得最大值，由可得A(6,1)，所以x＝6，y＝1时，该工厂的日利润最大，为22万元．

三、解答题
10．如图所示，已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．
(1)写出表示区域D的不等式组；
(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．

【答案】见解析
【解析】 (1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为
(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a]·[4×(－3)－3×2－a]＜0，即(14－a)(－18－a)＜0，解得－18＜a＜14.故a的取值范围是(－18，14)．
11．设x，y满足条件
(1)求u＝x2＋y2的最大值与最小值；
(2)求v＝的最大值与最小值；
(3)求z＝|2x＋y＋4|的最大值与最小值．
【答案】见解析
【解析】 画出满足条件的可行域，如图所示．
(1)x2＋y2＝u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图象可知：当(x，y)在可行域内取值时，当且仅当圆O过C点时，u最大，过点(0,0)时，u最小．又C(3,8)，所以umax＝73，umin＝0.
(2)v＝表示可行域内的点P(x，y)到定点D(5,0)的斜率，由图象可知kBD最大，kCD最小．又因为C(3,8)，B(3，－3)，所以vmax＝＝，vmin＝＝－4.
(3)因为z＝|2x＋y＋4|＝·表示可行域内点P(x，y)到直线2x＋y＋4＝0的距离的倍，由图象知A到直线2x＋y＋4＝0的距离最小，C到直线2x＋y＋4＝0的距离最大．又因为A，C(3,8)，故当x＝－，y＝时，zmin＝·＝；当x＝3，y＝8时，zmax＝·＝18.

12．(2019·长沙三中月考)投资人制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，一投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为50%和40%，可能的最大亏损率分别为30%和20%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过2.4万元．设甲、乙两个项目投资额分别为x，y万元．
(1)写出x，y满足的约束条件；
(2)求可能盈利的最大值(单位：万元)．
【答案】见解析
【解析】(1)x，y满足的约束条件为

(2)设目标函数z＝0.5x＋0.4y，上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线l0：0.5x＋0.4y＝0，当经过点M时，z＝0.5x＋0.4y取得最大值．解方程组得x＝4，y＝6.此时zmax＝0.5×4＋0.4×6＝4.4(万元)．
13．(2019·洛阳一中期中)已知点M(a，b)与点N(0，－1)在直线3x－4y＋5＝0的两侧，给出以下结论：
①3a－4b＋5＞0；②当a＞0时，a＋b有最小值，无最大值；③a2＋b2＞1；④当a＞0且a≠1时，的取值范围是∪.
正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】 因为点M(a，b)与点N(0，－1)在直线3x－4y＋5＝0的两侧，所以9(3a－4b＋5)＜0，即3a－4b＋5＜0，故①错误；作出不等式3a－4b＋5＜0的可行域(如图中阴影部分，不包含边界)，当a＞0时，由图知a＋b无最小值，也无最大值，故②错误；3a－4b＋5＜0表示的区域是直线3x－4y＋5＝0的左上方，a2＋b2表示阴影部分的点M(a，b)和原点间的距离的平方，则d＞＝1，故③正确；表示阴影部分的点M(a，b)和B(1，－1)连线的斜率，由图象得＞k1＝或＜kAB＝＝－，故④正确．故选B.