专题8.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素．
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
3.掌握直线方程的三种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系
【命题趋势】
直线的斜率、直线的方程、两直线的位置关系及距离公式是高考考查的重点内容，一般不单独命题，而是与圆、圆锥曲线及导数的几何意义、线性规划等相关知识综合考查.
【核心素养】
本讲内容主要考查数学运算的核心素养.
【素养清单•基础知识】
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，
x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)))，则斜率k＝tan α.
(2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率 k＝eq \f(y2－y1,x2－x1). 
3．直线方程的五种形式
【素养清单•常用结论】
特殊直线的方程
(1)直线过点P1(x1，y1)，垂直于x轴的方程为x＝x1；
(2)直线过点P1(x1，y1)，垂直于y轴的方程为y＝y1；
(3)y轴的方程为x＝0；
(4)x轴的方程为y＝0.
【真题体验】
1．直线x＋eq \r(3)y＋m＝0(m∈R)的倾斜角为( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
【答案】C
【解析】 由k＝tan α＝－eq \f(\r(3),3)，α∈[0°，180°)得α＝150°.
2．已知直线l过点P(－2,5)，且斜率为－eq \f(3,4)，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
【答案】A
【解析】由y－5＝－eq \f(3,4)(x＋2)得3x＋4y－14＝0.
3．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
【答案】A
【解析】由1＝eq \f(4－m,m＋2)得m＋2＝4－m，即m＝1.
4．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为__________．
【答案】4
【解析】kAC＝eq \f(5－3,6－4)＝1，kAB＝eq \f(a－3,5－4)＝a－3.由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.
【考法拓展•题型解码】
考法一 直线的倾斜角与斜率
误区防范
注意斜率与倾斜角的对应分段
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此求倾斜角或斜率的范围时，要分eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))三种情况讨论．当α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝eq \f(π,2)时，斜率不存在；当α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))时，斜率k∈(－∞，0)．
【例1】 (1)直线2xcs α－y－3＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(2π,3)))
【答案】B
【解析】(1)直线2xcs α－y－3＝0的斜率k＝2cs α，因为α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，
所以 eq \f(1,2)≤cs α≤eq \f(\r(3),2)，因此k＝2cs α∈[1，eq \r(3)]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，eq \r(3)]．又θ∈[0，π)，所以θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3))).
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围是__________．
【答案】(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)
【解析】如图，因为kAP＝eq \f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq \f(\r(3)－0,0－1)＝－eq \r(3)，所以
k∈(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)．
考法二 直线方程的求法
归纳总结:求直线方程的两种方法
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．
(2)待定系数法：设出所求直线方程的某种形式，由条件建立所求参数的方程(组)，解这个方程(组)求出参数，再把参数的值代入所设直线方程即可．
【例2】 根据所给条件求直线的方程．
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为eq \f(\r(10),10)；
(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.
【答案】见解析
【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．
设倾斜角为α，则sin α＝eq \f(\r(10),10)(0