专题9.2 排列与组合-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1.理解排列、组合的概念．
2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．
3.能用排列与组合解决简单的实际问题
【命题趋势】
两个计数原理与排列、组合的综合问题是高考的热点，以考查基本概念、基本方法
(如“含”“不含”问题、相邻问题、相间问题)为主，主要考查分类讨论思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力
【核心素养】
本讲内容体现对数学抽象，数学建模和数据分析素养的考查.
【素养清单•基础知识】
1.排列、组合的定义
2.排列数、组合数的定义、公式、性质
【素养清单•常用结论】
正确理解组合数的性质
(1)Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数.
(2)Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n＋1)：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有Ceq \\al(m,n)种方法；②含特殊元素A有Ceq \\al(m－1,n)种方法.
【真题体验】
1．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A．8 B．24
C．48 D．120
【答案】C
【解析】Ceq \\al(1,2)×Aeq \\al(3,4)＝2×4×3×2＝48.
2．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须在A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有( )
A．24种 B．60种
C．90种 D．120种
【答案】B
【解析】可先排C，D，E三人，共有Aeq \\al(3,5)种，剩余A，B两人只有一种排法．故满足条件的排法共有Aeq \\al(3,5)×1＝60(种)．
3．方程3Aeq \\al(3,x)＝2Aeq \\al(2,x＋1)＋6Aeq \\al(2,x)的解为__________．
【答案】 5
【解析】由排列数公式可知
3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，
因为x≥3且x∈N+，所以3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，
即3x2－17x＋10＝0，(3x－2)(x－5)＝0，所以x＝5.
4．已知eq \f(1,C\\al(m,5))－eq \f(1,C\\al(m,6))＝eq \f(7,10C\\al(m,7))，则Ceq \\al(m,8)＝__________.
【答案】 28
【解析】 由已知得m的取值范围为{m|0≤m≤5，m∈Z}，有eq \f(m！（5－m）！,5！)－eq \f(m！（6－m）！,6！)＝eq \f(7×（7－m）！,10×7！)m！，整理可得m2－23m＋42＝0，解得m＝21(舍去)或m＝2.
故Ceq \\al(m,8)＝Ceq \\al(2,8)＝28.
【考法拓展•题型解码】
考法一 排列问题
答题模板
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．
【例1】 (1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有______种不同的排法．
(2)将某大学4名大四学生安排到某城市的甲、乙、丙、丁四所中学进行教学实习，要求每所学校都分一名学生，且学生A不分到甲校，则不同的实习安排方案共有__________种．
【答案】 (1)2 520 (2)18
【解析】(1)问题即为从7个元素中选出5个全排出，有Aeq \\al(5,7)＝2 520种排法．
(2)先将A分配到乙校，再分配另外3个学生，有Aeq \\al(3,3)种方法，同理可得，将A分配到丙丁各有Aeq \\al(3,3)种，则共有3Aeq \\al(3,3)＝18(种)．
考法二 组合问题
归纳总结
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型，考虑逆向思维，用间接法处理．
【例2】 (1)(2019·河南开封调研)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( )
A．6 B．12
C．18 D．19
(2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有__________种不同选法．
【答案】(1)D (2)36
【解析】(1)方法一：在物理、政治、历史中选一科的选法有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,3)＝9(种)；在物理、政治、历史中选两科的选法有Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,3)＝9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有1种．所以学生甲的选考方法共有9＋9＋1＝19(种)．故选D.
方法二：从六科中选考三科的选法有Ceq \\al(3,6)种，其中包括了没选物理、政治、历史中任意一科的选法，这种选法有1种，因此学生甲的选考方法共有Ceq \\al(3,6)－1＝19(种)，故选D.
(2)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有Ceq \\al(2,9)＝36(种)选法．
考法三 排列组合的综合问题
答题模板
利用先选后排法解决问题的三个步骤
【例3】 从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( )
A．300 B．216
C．180 D．162
【答案】C
【解析】分两类：第1类，不取0，即从1,2,3,4,5中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，共有Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)＝72(个)；
第2类，取0，此时2和4只能取一个，再取两个奇数，组成没有重复数字的四位数，共有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,3)(Aeq \\al(4,4)－Aeq \\al(3,3))＝108(个)，所以满足题意的四位数共有72＋108＝180(个)．
考法四 分组分配问题
解题技巧
分组分配问题的处理策略
(1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配，在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的差异．
(2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”．
【例4】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )
A．12种 B．18种
C．24种 D．36种
(2)(2017·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法(用数字作答)．
【答案】 (1)D (2)660
【解析】 (1)因为安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，所以必有1人完成2项工作．先把4项工作分成3组，即2,1,1，有Ceq \\al(2,4)＝6(种)，再分配给3个人，有Aeq \\al(3,3)＝6(种)，所以不同的安排方式共有6×6＝36(种)．
(2)分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有Ceq \\al(4,8)－Ceq \\al(4,6)＝55(种)不同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各1人，有Aeq \\al(2,4)＝12(种)不同的选法．根据分步乘法计算原理知共有55×12＝660(种)不同的选法．
【易错警示】
易错点 平均分组可能重复计算
【典例】 某交通岗共有3人，从周一到周日的7天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有( )种．
A．5 040 B．1 260
C．210 D．630
【错解】：B 把从周一到周日7天分为3组，第一组选2天，第二组选2天，剩下的3天给第三组，这三组再分给三人，共有：Ceq \\al(2,7)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(3,3)Aeq \\al(3,3)＝1 260.(平均分组问题中的重复计数)
【错因分析】：本题是一个平均分组问题；错解中的挑选方法可能为第一组挑选的是周一、周二，第二组挑选的是周三、周四；也可能是第一组挑选的是周三、周四，第二组挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了．
【正解】：选D eq \f(C\\al(2,7)C\\al(2,5)C\\al(3,3),A\\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)＝630种．
误区防范
平均分组中很容易重复计算，一定要细心．
【跟踪训练】 将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( )
A．540种 B．300种
C．180种 D．150种
【答案】D
解析 要将5名志愿者分配到3个不同的地方，每个地方至少一人，首先要将这5个人分成3组，因此有2种分组方案：1,1,3与1,2,2.当按1,1,3方案分组时，有Ceq \\al(3,5)·Aeq \\al(3,3)＝60(种)方法；当按1,2,2方案分组时，先进行平均分组，有eq \f(C\\al(2,5)C\\al(2,3),A\\al(2,2))＝15(种)分组方法，因此有15×Aeq \\al(3,3)＝90(种)方法．所以一共有60＋90＝150(种)方案．故选D.
【递进题组】
1．(2019·福州八中模拟)甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( )
A．12种 B．24种
C．48种 D．120种
【答案】B
【解析】甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(2,2)种排法，甲乙相邻且在两端有Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,2)种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有Aeq \\al(4,4)Aeq \\al(2,2)－Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(3,3)Aeq \\al(2,2)＝24(种)．
2．(1)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )
A．80种 B．90种
C．120种 D．150种
(2)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有__________种不同的分派方法．
【答案】 (1)D (2)90
【解析】(1)有两类情况：①其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有Ceq \\al(3,5)Aeq \\al(3,3)＝60(种)；②其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有eq \f(C\\al(1,5)C\\al(2,4)A\\al(3,3),A\\al(2,2))＝90(种)，所以共有150种，故选D.
(2)先把6个毕业生平均分成3组，有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(3,3))种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有Aeq \\al(3,3)＝6(种)方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(3,3))·Aeq \\al(3,3)＝90(种)分派方法．
3．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为__________．
【答案】 1 359
【解析】“渐升数”由小到大排列，形如
的“渐升数”共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(个)；形如的“渐升数”共有5个；形如的“渐升数”共有4个，故此时共有21＋5＋4＝30(个)，因此按从小到大的顺序排列的四位“渐升数”的第30个数为1 359.
4．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数，求：
(1)有多少个含有2,3，但它们不相邻的五位数？
(2)有多少个数字1,2,3必须由大到小顺序排列的六位数？
【答案】见解析
【解析】(1)先不考虑0是否在首位，0,1,4,5先排三个位置，则有Aeq \\al(3,4)个，2,3去排四个空位，有Aeq \\al(2,4)个，即有Aeq \\al(3,4)Aeq \\al(2,4)个；而0在首位时，有Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(2,3)个，即有Aeq \\al(3,4)Aeq \\al(2,4)－Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(2,3)＝252(个)含有2,3，但它们不相邻的五位数．
(2)在六个位置先排0,4,5，先不考虑0是否在首位，则有Aeq \\al(3,6)个，去掉0在首位，即有(Aeq \\al(3,6)－Aeq \\al(2,5))个，0,4,5三个元素排在六个位置上留下了三个空位，1,2,3必须由大到小进入相应位置，并不能自由排列，所以有Aeq \\al(3,6)－Aeq \\al(2,5)＝100(个)六位数eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(另：用倍缩法得\f(A\\al(1,5)A\\al(5,5),A\\al(3,3))＝100)).
【考卷送检】
一、选择题
1．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( )
A．34种 B．48种
C．96种 D．124种
【答案】C
【解析】设6个程序分别是A，B，C，D，E，F，A安排在第一步或最后一步，有Aeq \\al(1,2)种方法．将B和C看作一个元素，它们自身之间有Aeq \\al(2,2)种方法，与除A外的其他程序进行全排列，有Aeq \\al(4,4)种方法，由分步计数原理得实验顺序的编排方法共有Aeq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(4,4)＝96(种)，故选C.
2．甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法种数为( )
A．150 B．180
C．240 D．540
【答案】A
【解析】分为两类，第一类为2＋2＋1，即有2所大学分别保送2名同学，方法种数为Ceq \\al(2,5)·Ceq \\al(2,3)·eq \f(A\\al(3,3),A\\al(2,2))＝90，第二类为3＋1＋1，即有1所大学保送3名同学，方法种数为Ceq \\al(3,5)·Aeq \\al(3,3)＝60，故不同的保送方法种数为150，故选A.
3．在5×5的棋盘中，放入3颗黑子和2颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，则不同的排列方法种数为( )
A．150 B．200
C．600 D．1 200
【答案】D
【解析】首先放入3颗黑子，在5×5的棋盘中，选出三行三列，共Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,5)种方法，然后放入3颗黑子，每一行放1颗黑子，共3×2×1种方法，然后在剩下的两行两列放2颗白子，所以不同的方法种数为Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(3,5)×3×2×1×2×1＝1 200，故选D.
4．市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )
A．180种 B．360种
C．720种 D．960种
【答案】D
【解析】按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)．
5．“住房”“医疗”“教育”“养老”“就业”成为现今社会关注的五个焦点．小赵想利用国庆节假期调查一下社会对这些热点的关注度．若小赵准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“住房”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为( )
A．13 B．24
C．18 D．72
【答案】D
【解析】可分三步：第一步，先从“医疗”“教育”“养老”“就业”这4个热点中选出3个，有Ceq \\al(3,4)种不同的选法；第二步，在调查时，“住房”安排的顺序有Aeq \\al(1,3)种可能情况；第三步，其余3个热点调查的顺序有Aeq \\al(3,3)种排法．根据分步乘法计数原理可得，不同调查顺序的种数为Ceq \\al(3,4)Aeq \\al(1,3)Aeq \\al(3,3)＝72.
6．(2019·石家庄质检)中小学校车安全问题引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有( )
A．Ceq \\al(9,41) B．Ceq \\al(9,38)
C．Ceq \\al(9,40) D．Ceq \\al(9,39)
【答案】D
【解析】 首先每个学校配备一台，这个没有顺序和情况之分，剩下40台；将剩下的40台像排队一样排列好，则这40台校车之间有39个空．对这39个空进行插空(隔板)，比如说用9个隔板隔开，就可以隔成10部分了．所以是在39个空里选9个空插入隔板，所以是Ceq \\al(9,39).
二、填空题
7．4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒中，则恰有1个空盒的放法共有________种(用数字作答)．
【答案】 144
【解析】4个球分成3组，每组至少1个，即分成小球个数分别为2,1,1的3组，有eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2)C\\al(1,1),A\\al(2,2))种，然后将3组球放入4个盒中的3个，分配方法有Aeq \\al(3,4)种，因此，方法共有eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2)C\\al(1,1),A\\al(2,2))×Aeq \\al(3,4)＝144(种)．
8．数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，其中N2，N3分别表示第二、三行中的最大数，则满足N1