专题9.8 离散型随机变量的均值与方差、正态分布-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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第九篇 计数原理、概率与随机变量及其分布列
专题9.08离散型随机变量的均值与方差、正态分布
【考纲要求】
1.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．
2.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【命题趋势】
1.正态分布主要通过正态分布的密度函数图象及性质进行考查．
2.离散型随机变量的分布列、均值、方差一般与排列、组合及古典概型、几何概型、二项分布及几何分布相结合，以实际问题为背景进行考查.
【核心素养】
本讲内容突出对数学抽象，数学建模，数据分析核心素养的考查.
【素养清单•基础知识】
1．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．
2．均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数)．
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
4．正态分布
(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

(3)正态分布的定义及表示
一般地，如果对于任何实数a，b(a