专题11.2 参数方程-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1.了解参数方程，了解参数的意义．
2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程
【命题趋势】
参数方程部分主要考查参数方程与普通方程的互化，并且多与极坐标方程结合考查.
【核心素养】
本讲内容体现对数学抽象，数学运算的考查
【素养清单•基础知识】
1．曲线的参数方程
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝f（t），,y＝g（t），))并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程．
2．参数方程和普通方程的互化
(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数．
(2)普通方程化参数方程：如果x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，则得曲线的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝f（t），,y＝g（t）.))
3．直线、圆、椭圆的参数方程
(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数)．
直线参数方程的标准形式的应用
过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α.))若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则
①|M1M2|＝|t1－t2|.
②若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝eq \f(t1＋t2,2)，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(t1＋t2,2))).
③若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.
④|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋rcs θ，,y＝y0＋rsin θ))(θ为参数)．
(3)①椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs φ，,y＝bsin φ))(φ为参数)．
②椭圆eq \f(x2,b2)＋eq \f(y2,a2)＝1(a>b>0)的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝bcs φ，,y＝asin φ))(φ为参数)．
【真题体验】
1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
【答案】（1）；的直角坐标方程为；（2）．
【解析】（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为．
的直角坐标方程为．
（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）．
C上的点到的距离为．
当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为．
【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．
2.【2019年高考北京卷理数】已知直线l的参数方程为（t为参数），则点
（1，0）到直线l的距离是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，可将直线化为普通方程：，即，即，所以点（1，0）到直线的距离，故选D．
【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．
3.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，的直角坐标方程为；（2）的斜率为．
【解析】（1）曲线的直角坐标方程为．
当时，的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
4.【2017年高考全国Ⅲ卷理数】在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程．
设，由题设得，消去k得．
所以C的普通方程为．
（2）C的极坐标方程为．
联立得．
故，从而．
代入得，所以交点M的极径为．
【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
5.【2017年高考江苏卷数学】在平面直角坐标系中，已知直线的参考方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值．
【答案】
【解析】直线的普通方程为．
因为点在曲线上，设，
从而点到直线的的距离，
当时，．
因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值．
【名师点睛】（1）将参数方程化为普通方程，消参数时常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法；（2）把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响．
【考法拓展•题型解码】
考法一 参数方程与普通方程的互化
解题技巧:将参数方程化为普通方程的方法
(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cs2θ＝1等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解．
【例1】 将下列参数方程化为普通方程．
(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,t)，,y＝\f(1,t)\r(t2－1)))(t为参数)；
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋sin2θ，,y＝－1＋cs 2θ))(θ为参数)．
【答案】见解析
【解析】(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)\r(t2－1)))2＝1，
所以x2＋y2＝1.因为t2－1≥0，所以t≥1或t≤－1.
又x＝eq \f(1,t)，
所以x≠0.当t≥1时，0＜x≤1，
当t≤－1时，－1≤x＜0，所以所求普通方程为x2＋y2＝1，
其中eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＜x≤1，,0≤y＜1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x＜0，,－1＜y≤0.))
(2)因为y＝－1＋cs 2θ＝－1＋1－2sin 2θ＝－2sin 2θ，sin 2θ＝x－2，
所以y＝－2x＋4，所以2x＋y－4＝0.因为0≤sin 2 θ≤1，所以2≤x≤3，所以所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．
考法二 直线与圆的参数方程及应用
归纳总结
直线与圆的参数方程中的参数是可以具有几何意义的，如果能正确应用它，可以使问题的解决事半功倍，也可以把直线和圆的方程都普通化，再行解决．
【例2】 (2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)，过点(0，－eq \r(2))且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
【答案】见解析
【解析】(1)⊙O的普通方程为x2＋y2＝1.
当α＝eq \f(π,2)时，l与⊙O交于两点．
当α≠eq \f(π,2)时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－eq \r(2).
l与⊙O交于两点，当且仅当eq \f(|－\r(2)|,\r(1＋k2))<1，解得k<－1或k>1.
所以tan α<－1或tan α>1，即α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))或α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4))).
综上，α的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))).
(2)l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝－\r(2)＋tsin α))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t为参数，\f(π,4)<α<\f(3π,4))).
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝eq \f(tA＋tB,2)，且tA，tB满足t2－2eq \r(2)tsin α＋1＝0.于是tA＋tB＝2eq \r(2)sin α，
tP＝eq \r(2)sin α.
又点P的坐标(x，y)满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tPcs α，,y＝－\r(2)＋tPsin α，))
所以点P的轨迹的参数方程是
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)sin 2α，,y＝－\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)cs 2α))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α为参数，\f(π,4)<α<\f(3π,4))).
考法三 参数方程与极坐标方程的综合问题
归纳总结
涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
【例3】 (2019·山西太原期末)在直角坐标系xOy中，曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数，t≠0)，其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，曲线C3：ρ＝2eq \r(3)cs θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求AB的最大值．
【答案】见解析
【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2eq \r(3)x＝0.
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2y＝0，,x2＋y2－2\r(3)x＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(3,2).))
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).
(2)曲线C1的极坐标为方程θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α≤π.
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2eq \r(3)cs α，α)，
所以AB＝|2sin α－2eq \r(3)cs α|＝4eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3))))).
当α＝eq \f(5π,6)时，AB取得最大值，最大值为4.
【易错警示】
易错点 参数方程与普通方程互化后忽略变量范围
【典例】 把下列方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝sin θ＋cs θ，,y＝sin 2θ－1))(θ为参数)化为普通方程．
【错解】：将x＝sin θ＋cs θ两边平方得
x2＝sin2θ＋2sin θ cs θ＋cs2θ
x2＝1＋sin 2θ，所以x2＝y＋2.
【错因分析】：此题容易忽视消参数后曲线上点的横坐标x的取值范围，导致答案不完善．
【正解】：将x＝sin θ＋cs θ两边平方，然后两式相减，即可转化y＝x2－2，还要注意到x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))，所以x的取值范围是[－eq \r(2)，eq \r(2)]，所以普通方程为y＝x2－2(－eq \r(2)≤x≤eq \r(2))．
误区防范
将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解；确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解．
【跟踪训练】 将参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋sin2θ，,y＝sin2θ))(θ为参数)化为普通方程为( )
A．y＝x－2
B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3)
D．y＝x＋2(0≤y≤1)
【答案】C
【解析】把y代入x中得，x＝2＋y，所以y＝x－2.
因为sin2θ∈[0,1]，所以sin2θ＋2∈[2,3]，即y＝x－2，x∈[2,3]．
【递进题组】
1．将下列参数方程化为普通方程．
(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3k,1＋k2)，,y＝\f(6k2,1＋k2)))(k为参数)；
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－sin 2θ，,y＝sin θ＋cs θ))(θ为参数)．
【答案】见解析
【解析】(1)两式相除，得k＝eq \f(y,2x)，将其代入x＝eq \f(3k,1＋k2)得x＝eq \f(3·\f(y,2x),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2x)))2)，
化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．
(2)由(sin θ＋cs θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)得y2＝2－x.又x＝1－sin 2θ∈[0,2]，得所求的普通方程y2＝2－x，x∈[0,2]．
2．(2019·河南开封一模)平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)2＋y2＝1.直线l经过点P(m,0)，且倾斜角为eq \f(π,6).以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．
【答案】见解析
【解析】(1)因为x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，
曲线C：(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，
所以曲线C的极坐标为方程为ρ＝2cs θ.
由题意知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋tcs \f(π,6)，,y＝0＋tsin\f(π,6)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t为参数)．
(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入x2＋y2＝2x中，得t2＋(eq \r(3)m－eq \r(3))t＋m2－2m＝0，
所以t1t2＝m2－2m.又|PA|·|PB|＝1，即|t1t2|＝1，
所以m2－2m＝±1，解得m＝1或1＋eq \r(2)或1－eq \r(2).
3．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a＋4t，,y＝1－t))(t为参数)．
(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；
(2)若C上的点到l距离的最大值为eq \r(17)，求a.
【答案】见解析
【解析】 (1)曲线C的普通方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋4y－3＝0，,\f(x2,9)＋y2＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(21,25)，,y＝\f(24,25).))
从而C与l的交点坐标为(3,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21,25)，\f(24,25))).
(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cs θ，sin θ)到l的距离为d＝eq \f(|3cs θ＋4sin θ－a－4|,\r(17)).
当a≥－4时，dmax＝eq \f(a＋9,\r(17))＝eq \r(17)，所以a＝8；
当a<－4时，dmax＝eq \f(－a＋1,\r(17))＝eq \r(17)，所以a＝－16.
综上，a＝8或a＝－16.
4．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝4sin θ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcs α，,y＝2＋tsin α))(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
【答案】见解析
【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)＝1.
当cs α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α；
当cs α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cs2α)t2＋4(2cs α＋sin α)t－8＝0. ①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，
所以①有两个解，分别设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
由①，得t1＋t2＝－eq \f(42cs α＋sin α,1＋3cs2α)，所以2cs α＋sin α＝0，
故直线l的斜率k＝tan α＝－2.
【考卷送检】
1．已知曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4＋cs t，,y＝3＋sin t))(t为参数)，C2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝8cs θ，,y＝3sin θ))(θ为参数)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝eq \f(π,2)，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋2t，,y＝－2＋t))(t为参数)距离的最小值．
【答案】见解析
【解析】(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,9)＝1.C1是圆心为(－4,3)，半径为1的圆．C2为中心是原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t＝eq \f(π,2)时，P(－4,4)，Q(8cs θ，3sin θ)，
故Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2＋4cs θ，2＋\f(3,2)sin θ)).C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝eq \f(\r(5),5)|4cs θ－3sin θ－13|＝eq \f(\r(5),5)|5cs(θ＋φ)－13|≥eq \f(8\r(5),5).
从而当cs θ＝eq \f(4,5)，sin θ＝－eq \f(3,5)时，d取得最小值eq \f(8\r(5),5).
2．已知直线l：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5＋\f(\r(3),2)t，,y＝\r(3)＋\f(1,2)t))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程ρ＝2cs θ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点M的直角坐标为(5，eq \r(3))，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．
【答案】见解析
【解析】 (1)ρ＝2cs θ等价于ρ2＝2ρcs θ，①
将ρ2＝x2＋y2，ρcs θ＝x代入①，
得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②
(2)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5＋\f(\r(3),2)t，,y＝\r(3)＋\f(1,2)t))代入②，得t2＋5eq \r(3)t＋18＝0.
设这个方程的两个实根分别为t1，t2，
则由参数t的几何意义可知|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.
3．在极坐标系中，圆C的圆心为Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)))，半径为2.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－\f(\r(3),2)t，,y＝\r(3)＋\f(1,2)t))(t为参数)．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)设l与圆的交点为A，B，l与x轴的交点为P，求|PA|＋|PB|.
【答案】见解析
【解析】(1)在直角坐标系中，圆心为C(1，eq \r(3))，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－eq \r(3))2＝4，即x2＋y2－2x－2eq \r(3)y＝0，化为极坐标方程得ρ2－2ρcs θ－2eq \r(3)ρsin θ＝0，即ρ＝4sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6))).
(2)把eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－\f(\r(3),2)t，,y＝\r(3)＋\f(1,2)t))代入x2＋y2－2x－2eq \r(3)y＝0得t2＝4，所以点A，B对应的参数分别为t1＝2，t2＝－2.令eq \r(3)＋eq \f(1,2)t＝0得点P对应的参数为t0＝－2eq \r(3).
所以|PA|＋|PB|＝|t1－t0|＋|t2－t0|＝
|2＋2eq \r(3)|＋|－2＋2eq \r(3)|＝2＋2eq \r(3)＋
(－2＋2eq \r(3))＝4eq \r(3).
4．已知曲线C的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs α，,y＝m＋sin α))(α为参数)，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(\r(5),5)t，,y＝4＋\f(2\r(5),5)t))(t为参数)．
(1)求曲线C与直线l的普通方程；
(2)若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|＝eq \f(4\r(5),5)，求实数m的值．
【答案】见解析
【解析】 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs α，,y＝m＋sin α))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs α，,y－m＝sin α，))eq \b\lc\ \rc\ (\a\vs4\al\c1(①,②))
①2＋②2得曲线C的普通方程为x2＋(y－m)2＝1.
由x＝1＋eq \f(\r(5),5)t，得eq \f(\r(5),5)t＝x－1，代入y＝4＋eq \f(2\r(5),5)t，
得y＝4＋2(x－1)，
所以直线l的普通方程为y＝2x＋2.
(2)圆心(0，m)到直线l的距离为d＝eq \f(|－m＋2|,\r(5))，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|－m＋2|,\r(5))))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)))2＝1，解得m＝3或m＝1.
5．(2019·抚顺一模)在直角坐标系xOy中，已知点P(0，eq \r(3))，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(5)cs φ，,y＝\r(15)sin φ))(φ为参数)．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ＝eq \f(\r(3),2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))).
(1)判断点P与直线l的位置关系，说明理由；
(2)设直线l与曲线C的两个交点为A、B，求|PA|·|PB|的值．
【答案】见解析
【解析】(1)点P在直线l上．理由如下：直线l：2ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,6)))＝eq \r(3)，即eq \r(3)ρcs θ＋ρsin θ＝eq \r(3)，所以直线l的直角坐标方程为eq \r(3)x＋y＝eq \r(3)，所以点P在直线l上．
(2)直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)t，,y＝\r(3)＋\f(\r(3),2)t))(t为参数)，
曲线C的普通方程为eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,15)＝1.
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，
得3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)t))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)＋\f(\r(3),2)t))2＝15，所以t2＋2t－8＝0，设两根为t1，t2，所以|PA|·|PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝|－8|＝8.
6．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5＋\r(2)cs t，,y＝3＋\r(2)sin t))(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为eq \f(\r(2),2)ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－1.
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．
【答案】见解析
【解析】(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5＋\r(2)cs t，,y＝3＋\r(2)sin t))消去参数t，得(x＋5)2＋(y－3)2＝2，所以圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2.
由eq \f(\r(2),2)ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－1，得ρcs θ－ρsin θ＝－2，
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2,0)，B(0,2)，
则点A，B的极坐标分别为(2，π＋2kπ)(k∈Z)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)．
设点P的坐标为(－5＋eq \r(2)cs α，3＋eq \r(2)sin α)，
则点P到直线l的距离d＝eq \f(|－5＋\r(2)cs α－3－\r(2)sin α＋2|,\r(2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－6＋2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))),\r(2))，
当cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝1，即α＋eq \f(π,4)＝2kπ(k∈Z)，α＝－eq \f(π,4)＋2kπ(k∈Z)时，点P到直线l的距离取得最小值，所以dmin＝eq \f(4,\r(2))＝2eq \r(2)，又|AB|＝2eq \r(2)，
所以△PAB面积的最小值S＝eq \f(1,2)×dmin×|AB|＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×2eq \r(2)＝4.
7. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs φ，,y＝\r(3)＋tsin φ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t为参数，φ∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))))，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心C的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)))，半径为2，直线l与圆C交于M，N两点．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)当φ变化时，求弦长|MN|的取值范围．
【答案】见解析
【解析】(1)由已知，得圆心C的直角坐标为(1，eq \r(3))，圆的半径为2，
∴圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－eq \r(3))2＝4，
即x2＋y2－2x－2eq \r(3)y＝0，
∵x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，∴ρ2－2ρcs θ－2eq \r(3)ρsin θ＝0，
故圆C的极坐标方程为ρ＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－θ)).
(2)由(1)知，圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2eq \r(3)y＝0，
将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得，
(2＋tcs φ)2＋(eq \r(3)＋tsin φ)2－2(2＋tcs φ)－2eq \r(3)(eq \r(3)＋tsin φ)＝0，
整理得，t2＋2tcs φ－3＝0，
设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－2cs φ，t1·t2＝－3，
∴|MN|＝|t1－t2|＝eq \r(t1＋t22－4t1·t2)＝eq \r(4cs2φ＋12).
∵φ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，∴cs φ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，∴|MN|∈[eq \r(13)，4]．
故弦长|MN|的取值范围为[eq \r(13)，4]．
8. (2019·长春质检)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1,2)，点C的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(π,2)))，若直线l过点P，且倾斜角为eq \f(π,6)，圆C以点C为圆心，3为半径．
(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|.
【答案】见解析
【解析】(1)由题意得直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(\r(3),2)t，,y＝2＋\f(1,2)t))(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝6sin θ.
(2)由(1)易知圆C的直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝9，
把eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(\r(3),2)t，,y＝2＋\f(1,2)t))代入x2＋(y－3)2＝9，得t2＋(eq \r(3)－1)t－7＝0，
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2＝－7，
又|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，∴|PA|·|PB|＝7.
9.(2019·洛阳第一次统考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝m＋t))(t为参数，m∈R)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝eq \f(3,3－2cs2θ)(0≤θ≤π)．
(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线C1的最小距离为2eq \r(2)，求m的值．
【答案】见解析
【解析】(1)由曲线C1的参数方程消去参数t，可得C1的普通方程为x－y＋m＝0.
由曲线C2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cs2θ＝3，θ∈[0，π]，
∴曲线C2的直角坐标方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1(0≤y≤1)．
(2)设曲线C2上任意一点P的坐标为(eq \r(3)cs α，sin α)，α∈[0，π]，
则点P到曲线C1的距离d＝eq \f(|\r(3)cs α－sin α＋m|,\r(2))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＋m)),\r(2)).
∵α∈[0，π]，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(\r(3),2)))，2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))∈[－2，eq \r(3) ]，
当m＋eq \r(3)＜0时，m＋eq \r(3)＝－4，即m＝－4－eq \r(3).
当m－2＞0时，m－2＝4，即m＝6.
当m＋eq \r(3)≥0，m－2≤0，即－eq \r(3)≤m≤2时，dmin＝0，不合题意，舍去．
综上，m＝－4－eq \r(3)或m＝6.
10．已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcs θ，,y＝tsin θ))(t为参数)，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)cs α，,y＝sin α))(α为参数)，且直线l交曲线C于A，B两点．
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并求θ＝eq \f(π,3)时，|AB|的值；
(2)已知点P(1,0)，求当直线l的倾斜角θ变化时，|PA|·|PB|的取值范围．
【答案】见解析
【解析】(1)曲线C的普通方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1.
当θ＝eq \f(π,3)时，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(1,2)t,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)，
将l的参数方程代入eq \f(x2,3)＋y2＝1，得5t2＋2t－4＝0，
设A，B对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－eq \f(2,5)，t1t2＝－eq \f(4,5)，
所以|AB|＝|t1－t2|＝eq \r(t1＋t22－4t1t2)＝eq \f(2\r(21),5).
(2)将直线l的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcs θ，,y＝tsin θ))代入eq \f(x2,3)＋y2＝1，
得(1＋2sin2θ)t2＋2tcs θ－2＝0，
设A，B对应的参数分别为t3，t4，则t3t4＝eq \f(－2,1＋2sin2θ)，
则|PA|·|PB|＝－t3t4＝eq \f(2,1＋2sin2θ).
又0≤sin2θ≤1，所以eq \f(2,3)≤|PA|·|PB|≤2，
所以|PA|·|PB|的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，2)).