专题11.1 坐标系-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

这是一份专题11.1 坐标系-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案，文件包含专题111坐标系解析版doc、专题111坐标系原卷版doc等2份学案配套教学资源，其中学案共24页， 欢迎下载使用。
【考纲要求】
1.理解坐标系的作用．
2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．
3.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
4.能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义..
【命题趋势】
极坐标与直角坐标在高考中主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程.
【核心素养】
本讲内容体现对数学抽象，直观想象，数学运算的考查
【素养清单•基础知识】
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝λ·x，λ＞0，,y′＝μ·y，μ＞0))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
2．极坐标系
(1)极坐标系的概念
①极坐标系：
如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
②极坐标：
一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
③点与极坐标的关系：
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，与直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．
如果规定ρ>0,0≤θ0，所以负值舍去．故a＝1．故答案为：1．
【名师点睛】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充要条件的应用．首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离等于半径求出结果．
6.【2017年高考北京卷理数】在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为（1，0），则|AP|的最小值为__________．
【答案】1
【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为，整理为标准方程，所以圆心为，又点是圆外一点，所以的最小值就是．故答案为：1．
【名师点睛】（1）熟练运用互化公式：将极坐标化为直角坐标；（2）直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质时，可转化为在直角坐标系的情境下进行．
【考法拓展•题型解码】
考法一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
归纳总结
平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示，在伸缩变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝λ·x，λ＞0，,y′＝μ·y，μ＞0))作用下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．
【例1】 (1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y.))求点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－2))经过φ变换所得的点A′的坐标．
(2)求直线l：y＝6x经过φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y))变换后所得到的直线l′的方程．
【答案】见解析
【解析】(1)设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y，))得到eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,y′＝\f(1,2)y，))
由于点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－2))，于是x′＝3×eq \f(1,3)＝1，y′＝eq \f(1,2)×(－2)＝－1，所以A′(1，－1)为所求．
(2)设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)x′，,y＝2y′))代入y＝6x中得2y′＝6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x′))，所以y′＝x′，即y＝x为所求．
考法二 极坐标与直角坐标的互化
归纳总结
极坐标方程与普通方程的互化技巧
(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方的技巧，将极坐标方程构造成含有ρcs θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．
(2)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρ＝sin(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．
(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcs θ，将y换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．
【例2】 (2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcs θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
【答案】见解析
【解析】(1)由x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知，C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．由题意知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线，记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.因为点B在圆C2的外部，所以C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以eq \f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq \f(4,3)或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－eq \f(4,3)时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．当l2与C2只有一共公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以eq \f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝0或k＝eq \f(4,3).经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝eq \f(4,3)时，l2与C2没有公共点．综上所述，C1的方程为y＝－eq \f(4,3)|x|＋2.
考法三 极坐标方程的求法与应用
归纳总结
已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．
【例3】 (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs t，,y＝1＋asin t))(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cs θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0 ＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
【答案】见解析
【解析】 (1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcs θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0，,ρ＝4cs θ.))
若ρ≠0，由方程组得16cs 2θ－8cs θsin θ＋1－a2＝0，由tan θ＝2，可得16cs 2θ－8cs θsin θ＝0，从而1－a2＝0，又a>0，所以a＝1.
a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．所以a＝1.
【易错警示】
易错点 忽略变量的取值范围
【典例】 求极坐标方程ρ＝eq \f(2＋2cs θ,sin2θ)所对应的直角坐标方程．
【错解】：由ρ＝eq \f(2＋2cs θ,sin2 θ)(sin θ≠0)得ρ＝eq \f(2,1－cs θ)(cs θ≠1)，
所以ρ＝2＋ρcs θ(cs θ≠1)(sin θ≠0)得eq \r(x2＋y2)＝x＋2，
则y2＝4x＋4，故y2＝4x＋4即为所求．
【错因分析】：忽略变量的取值范围，导致错误．
【正解】：由ρ＝eq \f(2＋2cs θ,sin2θ)(sin θ≠0)得ρ＝eq \f(2,1－cs θ)(cs θ≠±1)，
所以ρ－ρcs θ＝2(cs θ≠±1)，(*)
所以eq \r(x2＋y2)＝x＋2，化简得y2＝4x＋4，
当cs θ＝1时，(*)式不成立；
当cs θ＝－1时，由(*)式知ρ＝1，所以x＝ρcs θ＝－1.
综上可知，y2＝4x＋4(x≠－1)即为所求．
【跟踪训练】 已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs φ，,y＝－2＋tsin φ))(t为参数，0≤φ0得|sin φ|>eq \f(\r(3),2)，因为0≤φ