专题12.2 不等式的证明-2022年高考数学一轮复习核心素养大揭秘学案

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【考纲要求】
1.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：eq \i\su(i＝1,n,a)eq \\al(2,i)·eq \i\su(i＝1,n,b)eq \\al(2,i)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\i\su(i＝1,n,a)ibi))2，并会简单应用．
2．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．
3．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法
【命题趋势】
不等式的证明是对必修5中“不等式”的补充和深化，其中以考查综合法、分析法、放缩法等为主．另外应用基本不等式、柯西不等式求函数的最值也是高考考查的一个方向
【核心素养】
本讲内容体现对数学运算，逻辑推理的考查。
【素养清单•基础知识】
1．基本不等式
(1)定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)定理2：如果a，b＞0，那么eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．
(3)定理3：如果a，b，c∈R＋，那么eq \f(a＋b＋c,3)≥eq \r(3,abc)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
2．比较法
(1)作差法的依据是：a－b＞0⇔a＞b.
(2)作商法：若B＞0，欲证A≥B，只需证eq \f(A,B)≥1.
3．综合法与分析法
(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．
(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．
4．反证法
先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．
5．放缩法
证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地放大或缩小以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．
6．数学归纳法
数学归纳法证明不等式的一般步骤：
(1)证明当n＝n0时命题成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立．
综合(1)(2)可知，结论对于任意n≥n0，且n0，n∈N*都成立．
7．柯西不等式
(1)二维柯西不等式：设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2) (c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号当且仅当ad＝bc时，等号成立．
(2)三维柯西不等式：设a1，a2，a3，b1，b2，b3均为实数，则(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))(beq \\al(2,1)＋beq \\al(2,2)＋beq \\al(2,3))≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2,3)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．
(3)n维柯西不等式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋…＋aeq \\al(2,n))(beq \\al(2,1)＋beq \\al(2,2)＋…＋beq \\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
8．排序不等式
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn.
当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和．
【真题体验】
1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）因为，又，故有
．
所以．
（2）因为为正数且，故有
=24．
所以．
【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．
2.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设，且．
（1）求的最小值；
（2）若成立，证明：或．
【答案】（1）；（2）见详解．
【解析】（1）由于
，
故由已知得，
当且仅当x=，y=–，时等号成立．
所以的最小值为．
（2）由于
，
故由已知，
当且仅当，，时等号成立．
因此的最小值为．
由题设知，解得或．
【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型．
3.(2019·长春质检)设不等式||x＋1|－|x－1||1.
【答案】见解析
【解析】(1)由已知，令f(x)＝|x＋1|－|x－1|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，x≥1，,2x，－1