2021-2022学年人教A版（2019）必修二第八章立体几何初步单元测试卷（word版 含答案）

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人教A版（2019）必修二第八章立体几何初步单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(每题4分，共8道题，共计32分)1.已知圆台形水泥花盆的盆口与盆底的直径分别为4，3（边缘忽略不计），母线长为4，则该花盆的高为(   )A. B. C. D.2.已知正四棱锥的底面边长为2，高为2，若存在点到该正四棱锥的四个侧面和底面的距离都等于，则（    ）A. B. C. D.3.在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则；④过平面的一条斜线有且只有一个平面与平面垂直.其中真命题为(   )A.①③ B.②④ C.①④ D.②③4.若P为所在平面外一点，分别连接PA，PB，PC，则所构成的4个三角形中直角三角形的个数最多为(   )A.1 B.2 C.3 D.45.设l是直线，，是两个不同的平面(   )A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则6.在长方体中，P为BD上任意一点，则一定有(   )A.与异面  B.与垂直C.与平面相交 D.与平面平行7.若正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，棱台的高为，则此正三棱台的侧面积为(   )A. B. C. D.8.用斜二测画法画水平放置的时，若的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中(   )A.45° B.135° C.45°或135° D.90°二、多项选择题(每题4分，共3道题，共计12分)9.已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法正确的是(   )A.如果，，，那么B.如果，，那么C.如果，，，那么D.如果，，，那么10.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列四个结论中正确的是(   )A.  B.是等边二角形C.直线AB与平面BCD所成的角是60° D.AB与CD所成的角为60°11.已知两个完全一样的四棱锥，它们的侧棱长都等于，底面都是边长为2的正方形.下列结论成立的是(   )A.将这两个四棱锥的底面完全重合，在得到的八面体中，有6对平行棱B.将这两个四棱锥的底面完全重合，得到的八面体的所有顶点都在半径为的球上C.将这两个四棱锥的一个侧面完全重合，得到的几何体共有7个面D.将这两个四棱锥的一个侧面完全重合，这两个四棱锥的底面互相垂直三、填空题(每题4分，共4道题，共计16分)12.已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含的小正方体的体积的最大值为___________________.13.已知矩形ABCD的边，，平面ABCD.若BC边上有且只有一点M，使，则a的值为_________________.14.在侧棱长为的正三棱锥中，，过点A作截面AEF，则截面最小的周长为_________________.15.已知正方体的棱长为1，点P为底面的四条棱上的动点，则的取值范围为______.16.若某圆锥的体积为，轴截面面积为3，则此圆锥的侧面积为___________.四、解答题(每题10分，共4道题，共计40分)17.已知正六边形ABCDEF的边长为2，按照斜二测画法作出它的直观图，求直观图的面积.18.一个圆台的母线长为12 cm，两底面的面积分别为和.（1）求圆台的高；（2）求截得此圆台的圆锥的母线长.19.如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6.(1)求这个圆锥的高和其侧面展开图中的度数；(2)如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这根绳子的最短长度.20.有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求实数a的取值范围.
参考答案1.答案：B解析：设花盆的盆口与盆底的半径分别为R，r，母线长与高分别为l，h，则，，，.故选B.2.答案：A解析：由题意可得，且，解得.故选：A3.答案：B解析：①平行于同一个平面的两条直线，可能平行、相交或异面，故①是假命题；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，由面面平行的判定知②是真命题；③若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能平行，也可能相交，故③是假命题；易知④真命题.故选B.4.答案：D解析：设为直角三角形，过一锐角顶点A作平面ABC，则构成的4个三角形都是直角三角形.5.答案：B解析：A选项中，若，，则，可能平行也可能相交，故A错误；B选项中，，，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定定理可知，故B正确；C选项中，若，，则或，故C错误；D选项中，若，，则l与相交、平行或，故D错误.故选B.6.答案：D解析：如图所示，对于A选项，连接AC，，当P为BD的中点时，平面，则直线与相交，A选项错误.对于B选项，在中，过点作的垂线交于点T，沿长交AC于点P，此时与垂直.唯一确定，点P的位置唯一确定，不为BD上任意一点，与题干矛盾，B选项错误.对于C选项，当点P为BD的中点时，设与交于点O，则O为的中点，连接，AO，在长方体中，且，则四边形为平行四边形，且.，P分别为，AC的中点，且，四边形为平行四边形，.平面，平面，平面，C选项错误.对于D选项，在长方体中，且，则四边形为平行四边形，.平面，平面，平面，同理可证平面.，平面平面.平面，平面，D选项正确.故选D.7.答案：C解析：如图，设，O分别为上、下底面的中心，D，分别是AC，的中点，过作于点E.在直角梯形中，，，.在中，，则..8.答案：C解析：在画直观图时，的两边分别平行于轴、轴，所以或135°.9.答案：ABC解析：如果，，，那么由面面垂直的判定定理可得，故A正确；如果，，那么由面面平行的性质及线面平行的判定定理可得，故B正确；如果，，，那么由线面平行的性质定理可得，故C正确；如果，，，那么平面，平行或相交，故D错误.故选ABC.10.答案：ABD解析：设正方形的边长为1，取BD的中点O，连接OA，CO，可得，，，平面AOC.平面AOC，，A正确.正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，即平面平面BCD.，平面平面，平面ABD，同理平面BCD，.在中，，，故为等边三角形，故B正确.平面BCD，为直线AB与平面BCD所成的角，而，故C错误.过点D作且，连接CE，OE，则或其补角为AB与CD所成的角.在中，，，，由余弦定理得.易知平面ABD，平面ABD，.在中，.又，由余弦定理得，，即AB与CD所成的角为60°，故D正确.故选ABD.11.答案：ACD解析：画出图形，可以得到八面体中，有6对平行棱，所以选项A正确；如图，设AC的中点为O，计算得到，B错误；如图，分别设四棱锥的底面正方形ABCD的边AB与CD的中点为G，H，分别连接PG，PH，GH，得到的几何体共有7个面，所以选项C正确；证明平面平面ABFE，D正确.12.答案：解析：设棱长为2的正方体的内切球的半径为r，则，解得.设所求的小正方体的棱长为a，则，所以，所以小正方体体积的最大值为.13.答案：解析：平面ABCD，平面ABCD，.边上存在点M，使，且，平面PAM.平面PAM，，以AD为直径的圆和BC相交.，圆的半径为.点M是唯一的，和以AD的中点为圆心，半径为的圆相切，，即.14.答案：6解析：将正三棱锥侧面沿SA剪开展开如图所示，连接交SB于点E，交SC于点F，则线段的长即为的最小周长.因为，，所以.15.答案：解析：不妨令点P在棱上，设，则，由勾股定理可得，其几何意义为x轴上一动点（）到两定点与的距离之和.其最小值即为到的距离，即.又由平面几何知识知，当的最大值在或处取得，当时，；当时，.故的取值范围为.16.答案：解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，所以体积为，所以，轴截面面积为，所以，属于，所以母线长为，所以此圆锥的侧面积为.17.答案：直观图的面积为解析：如图所示，正六边形ABCDEF的边长为2，按照斜二测画法作出它的直观图六边形，则由，且正六边形ABCDEF的面积为，所以直观图的面积.18.答案：（1）圆台的高为（2）截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm解析：（1）过圆台的轴作截面，如图，截面为等腰梯形ABCD，设，O分别为AD，BC的中点，连接，作于点M.由已知可得上底半径，下底半径，腰长，所以，即圆台的高为.（2）延长BA，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为，则由，可得，即，所以，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.19.答案：(1)(2)这根绳子的最短长度是.解析：(1)圆锥的高为，底面圆的周长等于，解得.(2)连接AC，过B作于D，则.由，可求得，，，即这根绳子的最短长度是.20.答案：由题意，知这两个直三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，有如下四种情况：
①边长为的面重合在一起，拼成一个四棱柱，表面积为;
②边长为的面重合在一起,拼成一个三棱柱或四棱柱，表面积为；
③边长为，的面重合在一起，拼成一个三棱柱或四棱柱，表面积为；
④两个直三棱柱的底面重合在一起，拼成一个三棱柱，表面积为.
因为表面积最小的是一个四棱柱，所以，即，解得，即实数a的取值范围为.解析：