2022年苏科版初中数学《中考一轮复习》专题四图形的认识4.12圆的有关计算

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2022年苏科版初中数学《中考一轮复习》专题四 图形的认识 4.12 圆的有关计算
一、单选题
1．（2021九上·江油期末）已知圆心角度数为60°，半径为30，则这个圆心角所对的弧长为（　　）
A．20π B．15π C．10π D．5π
2．（2021九上·拱墅期中）已知圆心角为120°的扇形的面积为12π，则扇形的半径为（　　）
A．4 B．6 C． D．
3．（2021九上·秦淮期末）圆锥的底面半径为2，母线长为4，则其侧面积为（　　）
A． B． C． D．
4．（2021九上·温州月考）三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则 的长为（　　）

A． B． C． D．
5．（2021·连云港模拟）如图，一扇形纸扇完全打开后，两竹条外侧 和 的夹角为120°， 长为 ，贴纸部分的 长为 ，则贴纸部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
6．（2021九上·鄞州期中）如图，扇形AOB的圆心角为90°，四边形OCDE是边长为1的正方形，点C，E，D分别在OA，OB， 上，过A作AF⊥ED交ED的延长线于点F，那么图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
7．（2021九上·高港月考）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A． B． C． D．
8．（2021·休宁模拟）如图，在半径1的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（图中阴影部分），则这个扇形的面积为（　　）

A． B． C． D．
9．（2021·阜新）如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在 ．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为 时，圆心的横坐标是（　　）

A． B． C． D．
10．（2021九上·无锡期中）如图，将边长为 的正六边形 在直线l上由图 的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当正六边形旋转一周滚动到图 位置时，顶点 所经过的路径（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021九上·瑞安月考）己知弧的长是π，弧的半径为3，则该弧所对的圆心角度数为　 　°.
12．（2021九上·无锡期中）已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则该扇形的弧长为　 　，面积为　 　.
13．（2021九上·巢湖月考）如图，圆锥的底面半径 为 ，高 为 ，则圆锥的侧面积为　 　．

14．（2021九上·鄞州月考）如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的全面积是 　 　

15．（2021九上·北仑期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，则图中阴影部分的面积是 　 　．

16．（2021·盘锦）如图,⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是2cm,则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是　 　cm2

17．（2021·凉山）如图，将 绕点C顺时针旋转 得到 .已知 ，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为　 　.

18．（2021·宜昌）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形.如图，以边长为2厘米的等边三角形 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为　 　平方厘米.（圆周率用 表示）

三、综合题
19．（2021·淮南模拟）如图是一个几何体的三视图．

（1）写出这个几何体的名称；
（2）根据所示数据计算这个几何体的表面积．
20．（2021九上·北仑期中）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式各剪得一个正方形，边长都为1，求扁形纸板和圆形纸板的面积比．

21．（2021七上·大名期中）求阴影部分的面积（单位：厘米）

22．（2020九上·扎兰屯期末）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，求图中阴影部分的面积．

23．如图，在扇形纸片AOB中，OA=10，∠AOB=36°，OB在桌面内的直线l上．现将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．求点O所经过的路线长。

24．（2020九上·梅河口期末）如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径是6cm，下底面直径为4cm，母线长为EF=8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积（面积计算结果用 表示） ．

25．（2021九上·江干期中）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D， ，BE分别交AD、AC于点F、G.

（1）证明：FA＝FB；
（2）若BD＝DO＝2，求 的长度.
26．如图，在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且AB=AP．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若AB=2，求图中阴影部分的面积．（结果保留π和根号）

27．（2021九上·铁西期末）如图，为的直径，弦于点E，连接于点F，且．

（1）求的长；
（2）当时，求的长和阴影部分的面积（结果保留根号和）．
28．（2021九上·南宁期中）如图，PA是 的切线，切点为A，AC是 的直径，连接OP交 于D.过点C作 ，连接AB交OP于点E.

（1）求证：PB是 的切线；
（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是 ，求阴影部分的面积；
（3）若 且 ，求AB的长度.

答案解析部分
1．【答案】C
【考点】弧长的计算
【解析】【解答】解：l=.
故 答案为：C.
【分析】根据弧长公式列式计算，即可得出答案.
2．【答案】B
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵圆心角为120°的扇形的面积为12π，
∴ ，
解得r=6或r=-6（舍去），
故答案为：B.
【分析】根据扇形的面积=进行解答即可.
3．【答案】C
【考点】圆锥的计算
【解析】【解答】解： ，
故答案为：C.
【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，根据扇形的面积公式进行计算，即可求解.
4．【答案】B
【考点】勾股定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OC

由图可知 ， ，
∴ 的长= .
故答案为：B.
【分析】连接OC，利用勾股定理可得OC，然后利用弧长公式进行计算.
5．【答案】B
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S=S扇形OAB-S扇形OCD= =25π（cm2），
故答案为：B.
【分析】根据贴纸部分的面积等于大扇形面积与小扇形面积之差，然后根据扇形面积公式计算即可.
6．【答案】D
【考点】正方形的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接OD，

∵四边形OCDE是正方形，
∴OD=OC=，∠COD=45°，
S阴影=S△OCD+S四边形ACDF-S扇形AOD+S扇形BOD-S△DEO
=S四边形ACDF
=CD×AC
=(-1)×1
=-1.
故答案为：B.

【分析】连接OD，先根据正方形的性质求出扇形的半径长，然后根据S阴影=S△OCD+S四边形ACDF-S扇形AOD+S扇形BOD-S△DEO，推出S阴影=S四边形ACDF，最后计算面积即可.
7．【答案】C
【考点】切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝2，
设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，

∴OG＝OA•sin60°＝2× ＝ ，
∴S阴影＝S△OAB−S扇形OMN＝ ×2× − ＝ .
故答案为：C.
【分析】设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，解直角三角形OAG可求得OG的值，再根据阴影部分图形的构成S阴影＝S△OAB−S扇形OMN可求解.
8．【答案】C
【考点】垂径定理；垂径定理的应用；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接BC，

∵∠BAC＝90°，
∴BC为⊙O的直径，
∴BC＝2，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝AC＝ ，
∴S扇形ABC=
故答案为：C．

【分析】阴影部分是一个扇形，由圆心角是90°可以知道这是个圆，要求这部分面积，得知道圆的半径，也就是AB的长度，可根据勾股定理求出AB=。
9．【答案】D
【考点】弧长的计算；探索数与式的规律
【解析】【解答】如图，圆心在 ，可得r=2

∴OA= ，AB=2r=4，BC= ， = =
∴一个周期圆心经过的路径长为OA+ +BC=4 ，
∴C（4+2 ，0），
故当圆心经过的路径长为 时，
÷4 =505…1
∴圆心的横坐标是505×（4+2 ）+ =
故答案为：D．

【分析】根据题意，计算得到一个周期圆心经过的路径长，求出横坐标即可。
10．【答案】B
【考点】弧长的计算；旋转的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，如图，

∵六边形A1A2A3A4A5A6为正六边形，
∴A1A4＝2a，∠A1A6A5＝120°，A1A6=A5A6
∴∠HA1A6＝30°，
∴A6H＝ a，A1H= ＝ a，
∴A1A5＝A1A3＝ a，
当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A2，A3，A4，A5，A6为圆心，以a， a，2a， a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，
∴顶点A1所经过的路径的长＝ + + + + = .
故答案为：B.
【分析】连接A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，由正六边形的性质可得A1A4＝2a，∠A1A6A5＝120°，A1A6=A5A6，则∠HA1A6＝30°，然后求出A6H，A1H，A1A5，A1A3，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A2，A3，A4，A5，A6为圆心，以a，a，2a，a，a为半径，圆心角都为60°的五条弧，接下来结合弧长公式进行计算即可.
11．【答案】100
【考点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵l=，
∴，
∴n=100°.
故答案为：100.
【分析】根据弧长公式l=，得出，得出n=100°，即可得出答案.
12．【答案】π；π
【考点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解： 一个扇形的圆心角为 ，半径为3，
此扇形的弧长是 ，
面积为 .
故答案为： ， .
【分析】扇形的弧长=，扇形的面积=（n为扇形圆心角的度数，r为半径），据此求解.
13．【答案】60πcm2
【考点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵h＝8，r＝6，
可设圆锥母线长为l，
由勾股定理，l 10，
圆锥侧面展开图的面积为：S侧 2×6π×10＝60π，
所以圆锥的侧面积为60πcm2．
故答案为：60πcm2；
【分析】利用勾股定理和侧面积公式计算求解即可。
14．【答案】24π
【考点】圆锥的计算；简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：此几何体是圆锥，圆锥的高为4，底面圆的半径为3，
∴母线长为
∴此几何体的全面积为：.
故答案为：24π.
【分析】观察几何体可知此几何体是圆锥，圆锥的高为4，底面圆的半径为3；再利用勾股定理求出圆锥的母线长；然后根据圆锥的全面积=侧面积+底面圆的面积，列式计算即可.
15．【答案】
【考点】勾股定理；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=1∴AB=,
∵S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC
∵将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，
∴S△ADE=S△ABC
∴.
故答案为：.
【分析】利用勾股定理求出AB的长，利用旋转的性质可证得S△ADE=S△ABC，可推出S阴影部分=S扇形ABD，然后利用扇形的面积公式求出阴影部分的面积.
16．【答案】2π
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：S阴影= =2π．
故答案是：2π．

【分析】由图像可知，三个阴影部分正好围成一个半径为2的半圆，利用扇形面积公式计算即可。
17．【答案】
【考点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图：由旋转可得：

∠ACA′=∠BCB′=120°，又AC=3，BC=2，
S扇形ACA′= = ，
S扇形BCB′= = ，
则线段AB扫过的图形的面积为 = ，
故答案为：
【分析】由旋转的性质和扇形的面积S扇形ACA´=并结合阴影部分的面积的构成线段AB扫过的图形的面积=S扇形ACA´-S扇形BCB´可求解.
18．【答案】
【考点】等边三角形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：如下图：

过点 作 于点D，
∵ 为等边三角形， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用等边三角形的性质可证得∠BAC=60°，∠BAD=30°，利用解直角三角形求出AD的长；再利用三角形的面积公式和扇形的面积公式，分别求出△ABC和扇形ABC的面积；由此可求出弓形的面积，然后根据阴影部分的面积=3×弓形的面积+△ABC的面积，代入计算可求解.
19．【答案】（1）解：根据主视图和左视图是三角形可知该几何体是椎体，根据俯视图是圆，可得几何体为圆锥，
（2）解：圆锥的表面积=π•22+ •2π•6•2=16π．
【考点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【分析】（1）根据主视图和左视图是三角形可知该几何体是椎体，结合俯视图是圆可得出圆锥；
（2）圆锥的表面积 =底面积+侧面积，据此计算即可.
20．【答案】解：解：连接OD，

∵正方形ABCD，∠AOB=45°，
∴AB=CD=BC=1，∠ABC=∠ABO=∠DCB=90°，
∴∠AOB=∠OAB=45°，
∴AB=OB=BC=1
∴OC=2
;
∴扇形纸板的面积为；
∵∠BMC=90°，MC=MB
2BM2=BC2=1
解之：
∴圆形纸板的面积为
∴扁形纸板和圆形纸板的面积比.
答：扁形纸板和圆形纸板的面积比为5：4.
【考点】勾股定理；正方形的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】连接OD，利用正方形的性质可证得AB=CD=BC=1，∠ABC=∠ABO=∠DCB=90°，∠AOB=∠OAB=45°，即可求出OC的长，利用勾股定理求出OD的长，利用扇形的面积公式求出扇形纸板的面积；再利用勾股定理求出BM的长，即可求出圆的面积；然后求出扁形纸板和圆形纸板的面积比.
21．【答案】解：S阴影=S大扇形+S小扇形-S矩形
=
=
【考点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】利用割补法，根据S阴影=S大扇形+S小扇形-S矩形计算即可。
22．【答案】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4，∴BC=2，∠CBC′=120°，∠A′BA=120°，
由旋转知△A′BC′≌△ABC ∴ S△A′BC′=S△ABC，
∴S阴影=S△A′BC′+S扇形ABA′-S扇形CBC′-S△ABC= S扇形ABA′-S扇形CBC′= ×（42-22）=4π（cm2）．
【考点】扇形面积的计算
【解析】【分析】根据图形阴影部分的面积转化为圆心角为 120° ，两个半径分别为4和2的圆环的面积，利用扇形得面积公式求解即可。
23．【答案】解答: 弧AB的长是： 以BO为半径的半圆的弧长是：10π．则点O所经过的路线长为10π+2π=12π．故答案是：12π．
【考点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【分析】O点运动的路径是：旋转的路程=以BO为半径的半圆的弧长+平移的路线是弧AB的长，计算即可．
24．【答案】解：设扇形OAB的圆心角为n°
弧长AB等于纸杯上开口圆周长：
弧长CD等于纸杯下底面圆周长：
可列方程组 ，解得
所以扇形OAB的圆心角为45°，OF等于16cm
纸杯表面积=纸杯侧面积+纸杯底面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积+纸杯底面积即
S纸杯表面积
【考点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【分析】设扇形OAB的圆心角为n°，然后根据弧长AB等于纸杯上开口圆周长和弧长CD等于纸杯下底面圆周长，列关于n和OF的方程组，解方程组可得出n和OF的值，然后根据纸杯表面积=纸杯侧面积+纸杯底面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积+纸杯底面积，计算即可．
25．【答案】（1）证明：∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠AGB＝90°；
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAD＝90°；
∵ ，
∴∠C＝∠ABE，
∴∠AGB＝∠CAD，
∵∠C＝∠BAD
∴∠BAD＝∠ABE
∴FA＝FB.
（2）解：如图，连接AO、EO，

∵BD＝DO＝2，AD⊥BC，
∴AB＝AO，
∵AO＝BO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∵ ，
∴∠AOE＝60°，
∴∠EOC＝60°，
∴ 的长度 π
【考点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠BAC＝90°，根据等弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠ABE，由等角的余角相等可得∠AGB＝∠CAD，结合∠C＝∠BAD可推出∠BAD＝∠ABE，据此证明；
（2）连接AO、EO，易得AB＝AO，推出△ABO是等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据等弧所对的圆心角相等可得∠AOE＝60°，结合平角的概念可得∠EOC＝60°，然后利用弧长公式进行计算.
26．【答案】解：（1）如图，连接OA；
∵∠C=60°，
∴∠AOB=120°；而OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°；而AB=AP，
∴∠P=∠ABO=30°；
∵∠AOB=∠OAP+∠P，
∴∠OAP=120°﹣30°=90°，
∴PA是⊙O的切线．
（2）如图，过点O作OM⊥AB，则AM=BM=，
∵tan30°=，sin30°=，
∴OM=1，OA=2；
∴，
=，
∴图中阴影部分的面积=-．
​
【考点】切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）如图，连接OA；证明∠OAP=90°，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；求出OM=1，OA=2；求出△AOB、扇形AOB的面积，即可解决问题．
27．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴为的中位线
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，如下图：

∵，，
∴，
∴，
在中，∵，，，
∴，，
∴的长，
阴影部分的面积．
【考点】垂径定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可；
（2）先求出 ， 再利用弧长公式和扇形面积公式计算求解即可。
28．【答案】（1）证明：连接BO，

∵PA是 的切线，
∴AP⊥AO，
∴∠PAO=90°
∵ ，AC是直径
∴∠AEO=∠ABC=90°
∴OP⊥AB，
∴∠AOP=∠BOP
又∵AO=BO，OP=OP
∴△AOP≌△BOP，
∴∠PBO =∠PAO=90°，
∴PB是 的切线
（2）解：∵E是OD的中点
∴OE＝DE，
∵AB⊥OD，
∴∠AEO=∠AED=90°
又AE=AE
∴△AEO≌△AED（SAS）
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AD＝OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，∠OAE=30°
设OE＝m，则AO=2m，AE＝BE＝ m，AB=2 m，OA＝2m，
∵∠APO=90°-∠AOP=30°
∴OP＝4m，
∵四边形OAPB的面积是16 ，
∴ •OP•AB＝16 ，
∴ ×4m×2 m＝16 ，
∴m＝2或−2（舍弃），
∴OE＝2，AB＝4 ，OA＝2m＝4，
∵OD⊥AB，
∴ ，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
∴S阴＝S扇形OAB−S△AOB＝ − ×4 ×2＝ .
（3）解：在Rt△AOE中， ，
∴可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝ ＝ x，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，
∴（ ）2＝（ x）2＋（2x）2，
∴x＝1或−1（舍弃），
∴OE＝1，OA＝3，AE＝ ，
∴AB=2AE=4 .
【考点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定与性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）连接BO，由切线的性质可得AP⊥AO，根据平行线的性质以及圆周角定理可得∠AEO=∠ABC=90°，进而推出∠AOP=∠BOP，证明△AOP≌△BOP，得到∠PBO =∠PAO=90°，据此证明；
（2）由中点的概念可得OE＝DE，由垂直的概念可得∠AEO=∠AED=90°，证明△AEO≌△AED，得到AO＝AD，推出△AOD是等边三角形，则∠AOD＝60°，∠OAE=30°，设OE＝m，则AO=2m，AE＝BE＝m，AB=2m，OA＝2m，根据四边形OAPB的面积可得m的值，进而得到OE、AB、OA的值，由垂径定理可得AD=BD，则 ，进而得到∠AOD＝∠BOD＝60°，求出∠AOB的度数，然后根据S阴＝S扇形OAB−S△AOB进行计算；
（3）设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝x，然后在Rt△ADE中，应用勾股定理可得x，据此求解.