第2部分 专题2 第2讲 三角恒等变换与解三角形 2022高考数学二轮专题复习（新高考）

(建议用时：40分钟)

1．计算cos 42°cos 18°－cos 48°sin 18°的结果为(　　)

A.  B． 

C.  D．

答案　A

解析　 原式＝sin 48°cos 18°－cos 48°sin 18°＝sin(48°－18°)＝sin 30°＝.故选A项．

2．在直角坐标系xOy中，已知角θ 的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y＝3x上，则sin＝(　　)

A.  B．－ 

C．－  D．

答案　A

解析　 因为角θ的终边落在直线y＝3x上，所以tan θ＝3，cos2θ＝，所以sin＝－cos 2θ＝－(2cos2θ－1)＝.故选A项．

3．(2020·全国Ⅲ)已知2tan θ－tan＝7，则tan θ＝(　　)

A．－2  B．－1 

C．1  D．2

答案　D

解析　 依题意得2tan θ－tan＝7，所以2tan θ－＝7，令t＝tan θ，t≠1，则2t－＝7，整理得t2－4t＋4＝0，解得t＝2，即tan θ＝2.故选D项．

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC的形状为(　　)

A．等边三角形  B．直角三角形

C．等腰三角形  D．等腰直角三角形

答案　B

解析　 由已知可得＝－，即cos A＝，b＝ccos A．由余弦定理可以得到cos A＝，则b＝c·，所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形．故选B项．

5．(2021·江苏连云港期末)如图，研究性学习小组的同学为了估测古塔CD的高度，在塔底D和A，B(与塔底D同一水平面)处进行测量，在点A，B处测得塔顶C的仰角分别为45°和30°，且A，B两点相距12 m，∠ADB＝150°，则古塔CD的高度为________m.

解析 由题意知CD⊥平面ABD，∠DAC＝45°，∠DBC＝30°，∠ADB＝150°，AB＝12 m，设CD＝h m，则AD＝CD＝h m，BD＝CD＝h m，在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，即(12)2＝h2＋3h2＋3h2，解得h＝12.

答案 12

6．已知sin＝，则sin＝__________________.

解析 因为sin＝，所以cos＝cos＝sin＝，又0<α<，所以<＋α<，所以sin＝＝＝.

答案

7．在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝3，AD＝4，且∠ABC＝120°，则AC＝________，cos∠BCD＝________.

解析 在△ABC中，由余弦定理可知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，即AC2＝1＋4－2×2×cos 120°＝7，所以AC＝.又AC2＋CD2＝7＋9＝16＝AD2，所以∠ACD＝90°.由＝，可知sin∠ACB＝＝，所以cos∠BCD＝cos(∠ACB＋90°)＝－sin∠ACB＝－.

答案  　－

8．(2021·广东茂名期末)已知α为锐角，且cos α＝.

 (1)求tan的值；

(2)求cos＋sin(π－2α)的值．

解析 (1)因为α为锐角，且cos α＝，

所以sin α＝＝，所以tan α＝＝，

所以tan＝＝＝－7.

(2)因为cos＝sin α，sin(π－2α)＝sin 2α，

所以cos＋sin(π－2α)＝sin α＋sin 2α＝sin α＋2sin αcos α＝＋2××＝.

9．已知函数f(x)＝cos4x－2sin x· cos x－sin4x.

(1)求f(x)的单调递增区间；

(2)求f(x)在上的最小值及取最小值时x的集合．

解析 (1)因为f(x)＝cos4x－2sin xcos x－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－2sin xcos x＝cos2x－sin2x－2sin xcos x＝cos 2x－sin 2x＝－sin，解不等式－＋2kπ≤2x－≤－＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤－＋kπ(k∈Z)，因此函数y＝f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

(2)因为x∈，所以－≤2x－≤.当2x－＝，即x＝时，函数y＝f(x)取得最小值－.因此函数y＝f(x)的最小值为－，对应的x的集合为.

10．已知f(x)＝cos 2x＋sin.

(1)求f(x)的最小正周期及对称中心；

(2)在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且f(A)＝，b＝4，求△ABC面积的取值范围．

解析 (1)因为f(x)＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以最小正周期T＝＝π.令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，即对称中心是(k∈Z)．

(2)因为f(A)＝sin＝，所以A＝.

又因为△ABC为锐角三角形，所以－B∈，且B∈，即B∈，所以tan B＞，得到0＜＜.而在△ABC中，＝，所以c＝＝＝，即c＝＋2∈(2,8)，所以S＝bcsin A＝×4×c＝c，所以S∈(2，8)，即△ABC面积的取值范围为(2，8)．

(建议用时：25分钟)

11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为(　　)

A．3  B．5

C．8  D．9

答案　D

解析　 由题意可知S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，由角平分线性质和三角形面积公式得acsin 120°＝a×1×sin 60°＋c×1×sin 60°，化简得ac＝a＋c，即＋＝1，因为4a＋c＝(4a＋c)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当c＝2a＝3时，等号成立，所以4a＋c的最小值为9.故选D项．

12．(多选)在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3，若CB＝2CD，cos∠CDB＝－，则(　　)

A．sin∠CDB＝

B．△ABC的面积为8

C．△ABC的周长为8＋4

D．△ABC为钝角三角形

答案　BCD

解析　 由题意得cos∠CDB＝－，所以sin∠CDB＝＝，故A项错误；设CD＝a，则BC＝2a，在△BCD中，BC2＝CD2＋BD2－2BD·CD·cos∠CDB，解得a＝，所以S△DBC＝BD·CD·sin∠CDB＝×3××＝3，所以S△ABC＝S△DBC＝8，故B项正确；因为∠ADC＝π－∠CDB，所以cos∠ADC＝cos(π－∠CDB)＝－cos∠CDB＝，在△ADC中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·DC·cos∠ADC，解得AC＝2，所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝(3＋5)＋2＋2＝8＋4，故C项正确；因为AB为最大边，而cos C＝＝－<0，即∠C为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故D项正确．故选 BCD项．

13.如图所示，点M，N分别在菱形ABCD的边AD，CD上，AB＝2，∠ABC＝∠MBN＝，则△BMN面积的最小值为________．

解析 在菱形ABCD中，∠ABC＝∠MBN＝，

所以∠MBN＝，在△MAB中，∠MAB＝，

设∠MBA＝α，α∈，则∠AMB＝－α，且AB＝2，由正弦定理＝得MB＝，

在△NBC中，∠NBC＝－α，则∠BNC＝＋α，

由正弦定理＝，得BN＝＝，

在Rt△MBN中，S△MBN＝BM·BN

＝× ＝×

＝×

＝3×，

因为α∈，

所以2α＋∈，即sin∈，

所以sin＋ ∈，

所以S△BMN∈.所以△BMN面积的最小值为12－6.

答案 12－6

(建议用时：20分钟)

14．从下列四个条件①a＝c；②C＝；③cos B＝－；④b＝中选出三个条件，能使满足所选条件的△ABC存在且唯一，你选择的三个条件是______(填写相应的序号)，所选三个条件下c的值为________(答案不唯一)．

解析 由①②结合正弦定理＝可得，sin A＝sin C＝，此时A不唯一，所以所选条件中不能同时有①②，故只能是①③④或②③④.

若选①③④，a＝c，cos B＝－，b＝，由余弦定理可得－＝，解得c＝；

若选②③④，C＝，cos B＝－，b＝，所以sin B＝，且B为钝角，由正弦定理可得＝，解得c＝.

答案 ①③④　(或②③④　)

15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B－cos2C－sin2A＝－sin Asin B．

(1)求角C；

(2)若c＝7，________(从下列问题中任选一个作答，若选择多个问题分别解答，则按选择的第一个解答计分)．

①△ABC的面积为6，求△ABC的周长；

②△ABC的周长为21，求△ABC的面积．

解析 (1)由cos2B－cos2C－sin2A＝－sin Asin B得(1－sin2B)－(1－sin2C)－sin2A＝－sin Asin B，即sin2C－sin2B－sin2A＝－sin Asin B．由正弦定理得c2－b2－a2＝－ab，即cos C＝＝，因为C∈(0，π)，所以C＝.

(2)①由三角形面积公式得absin C＝absin＝ab＝6，解得ab＝24.

由(1)知a2＋b2＝c2＋ab＝49＋24＝73，所以a＋b＝＝＝＝11，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝11＋7＝18.

②因为a＋b＋c＝21，所以a＋b＝21－7＝14，由(1)得c2＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，所以3ab＝(a＋b)2－c2＝142－72＝147，解得ab＝49，所以△ABC的面积S＝·absin C＝×49×sin＝.