第2部分 专题1 第2讲 2022高考数学二轮专题复习（新高考）

(建议用时：40分钟)

1．(2021·湖北荆门期末)用二分法求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，关于下一步的说法正确的是(　　)

A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值

B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值

C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.437 5)

D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.312 5)

答案　C

解析　 由二分法知，方程x3＋x2－2x－2＝0的根在区间(1.375,1.5)内，此时的精确度没有达到要求，所以应该接着计算f(1.437 5)．故选C项．

2．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如表所示.

对x，y最适合的拟合函数是(　　)

A．y＝2x  B．y＝x2－1

C．y＝2x－2  D．y＝log2x

答案　D

解析　 将x＝0.50，y＝－0.99代入计算，可以排除A项；将x＝2.01，y＝0.98代入计算，可以排除B，C项；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D项．

3．已知函数f(x)＝x－sin x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为(　　)

A．0  B．1

C．2  D．3

答案　C

解析　 在同一坐标系中作出y＝x，y＝sin x，x∈[0,2π]上的图象(图略)，即知两个图象有2个交点．故选C项．

4．已知函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－1,0)  B．(1,2]

C．(1，＋∞)  D．(2，＋∞)

答案　C

解析　 当x≤2时，由－x2＋4x＝0，得x＝0；当x>2时，令f(x)＝log2x－a＝0，得x＝2a.又函数f(x)有两个不同的零点，所以2a≠0且2a>2，解得a>1.故选C项．

5．(2022·山东聊城测试)小李大学毕业后回到家乡开了一家网店，专门卖当地的土特产，为了增加销量，计划搞一次促销活动，一次购物总价值不低于M元，顾客就少支付20元，已知网站规定每笔订单顾客在网上支付成功后，小李可以得到货款的85%，为了在本次促销活动中小李从每笔订单中得到的金额均不低于促销前总价的75%，则M的最小值为(　　)

A．150  B．160 

C．170  D．180

答案　C

解析　 由题意得，在本次促销活动中小李从每笔订单中得到的金额为(M－20)85%元，所以(M－20)·85%≥M·75%，解得M≥170，所以M的最小值为170.故选C项．

6．设函数f(x)＝x－ln x(x>0)，则y＝f(x)(　　)

A．在，(1，e)内均有零点

B．在，(1，e)内均无零点

C．在内无零点，在(1，e)内有零点

D．在内有零点，在(1，e)内无零点

答案　C

解析　 因为函数f(x)＝x－ln x(x>0)，所以f′(x)＝－＝，令f′(x)>0，解得x>3，令f′(x)<0，解得0<x<3，故函数f(x)在区间(0,3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增，在点x＝3处有极小值f(3)＝1－ln 3<0，又f(1)＝>0，f(e)＝－1<0，f＝＋1>0，由函数零点的存在性定理可以得到，函数f(x)在内无零点，在(1，e)内有零点．故选C项．

7．(2021·河北邯郸模拟)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度，已知某种水果失去的新鲜度h与其采摘后的时间t(单位：天)满足的函数关系式为h＝mat.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%，那么这种水果失去50%的新鲜度是在采摘后(已知lg 2≈0.3，结果取整数)(　　)

A．23天  B．33天 

C．43天  D．50天

答案　B

解析　 由题意得解得故h＝，令h＝，则2＝10，即lg 2＝1，解得t≈33.故选B项．

8．已知函数f(x)＝若实数a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是(　　)

A．(2,4)  B．[2,4)

C．(2,4]  D．[2,4]

答案　C

解析　 作出函数f(x)的大致图象，如图所示．

由图象知，因为a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)，所以－2<a≤0，b＋c＝4，因此a＋b＋c＝a＋4∈(2,4]．故选C项．

9．已知偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则关于x的方程 f(x)＝x在上根的个数为(　　)

A．4  B．3

C．2  D．1

答案　B

解析　 由f(x－1)＝f(x＋1)得f(x－1＋1)＝f(x＋1＋1)，即f(x)＝f(x＋2)，则f(x)的周期T＝2，又x∈[0,1]时，f(x)＝x2，且f(x)为偶函数，则可作出f(x)与g(x)＝x在上的图象如图所示，则关于x的方程f(x)＝x在上根的个数为3.故选B项．

10．某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，其函数图象如图(1)所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y与x的函数图象．

给出下列四种说法：

①图(2)对应的方案是：提高票价，并提高成本；

②图(2)对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；

③图(3)对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；

④图(3)对应的方案是：提高票价，并降低成本．

其中正确说法的序号为________．

解析 由图象(1)可设盈利额y与观影人数x的函数为y＝kx＋b，k>0，b<0，即k为票价，当k＝0时，y＝b，则－b为固定成本，由图象(2)知，直线向上平移，k不变，即票价不变，b变大，则－b变小，成本减小．故①错误，②正确；由图象(3)知，直线与y轴的交点不变，直线斜率变大，k变大，即提高票价，b不变，则－b不变，成本不变．故③正确，④错误．故正确说法的序号为②③.

答案 ②③

(建议用时：25分钟)

11．(2021·天津期末)已知min{a，b}表示a，b两个数中较小的一个，则函数f(x)＝min－的零点是(　　)

A.， 

B.，－，，－

C．(，0)， 

D.，，(－，0)，(，0)

答案　B

解析　 当|x|＜时，可解得－1＜x＜0或0＜x＜1，此时f(x)＝min－＝|x|－＝0，解得x＝±，满足题意；当|x|≥时，可解得x≤－1或x≥1，此时f(x)＝min－＝－＝0，解得x＝±，满足题意．综上，f(x)的零点是，－，，－.故选B项．

12．设函数f(x)＝x2，若函数g(x)＝[f(x)]2＋mf(x)＋m＋3有四个零点，则实数m的取值范围为________．

解析 根据函数f(x)＝x2≥0且g(x)＝[f(x)]2＋mf(x)＋m＋3，令t＝f(x)，结合函数f(x)＝x2的图象及题意可知方程t2＋mt＋m＋3＝0有两个不等正根，

所以得

即实数m的取值范围为(－3，－2)．

答案 (－3，－2)

13．(2020·上海)已知a∈R，若存在定义域为R的函数f(x)同时满足下列两个条件，①对任意x0∈R，f(x0)的值为x0或x；②关于x的方程f(x)＝a无实数解，则a的取值范围为________．

解析 由y＝x2与y＝x的图象和函数的定义可知，若满足f(x0)的值为x0或x，只有f(0)＝0＝02和f(1)＝1＝12，结合②可知若方程f(x)＝a无实数解，则a≠0且a≠1，所以a的取值范围为(－∞，0)∪(0,1)∪(1，＋∞)．

答案 (－∞，0)∪(0,1)∪(1，＋∞)

(建议用时：20分钟)

14．(多选)已知f(x)＝＋b的两个零点分别为x1，x2 (x1<x2)，则下列结论正确的是(　　)

A．－2<x1<－1

B．x1≤－2

C．x1＋x2>－2

D．x1＋x2>－1

答案　AC

解析　 如图所示，作出函数y＝的图象，于是函数f(x)＝＋b的两个零点就是方程＝－b的解，也就是函数y＝的图象与直线y＝－b交点的横坐标，由x－2＝2得x＝－2，所以－2<x1<－1，又x1－2＝－，所以x1＋x2＝4>2，即x1＋x2<4，即x1＋x2>－2.故选AC项．

15．如图，A，B两地相距100千米，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在A，B之间选址点P建造储备仓库，共享民生物资．若点P恰好在线段AB的中点C，则建造费用为2 000万元；若点P在线段AC上(不含点A)，则建造费用与P，A之间的距离成反比；若点P在线段CB上(不含点B)，则建造费用与P，B之间的距离成反比，现假设P，A之间的距离为x千米(0<x<100)，A地所需该物资每年的运输费用为2.5x万元，B地所需该物资每年的运输费用为0.5(100－x)万元，f(x)表示建造仓库的费用，g(x)表示两地物资每年的运输总费用(单位：万元)．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若规划仓库使用的年数为n(n∈N*)，H(x)＝f(x)＋ng(x)，求H(x)的最小值，并解释其实际意义．

解析 (1)当0<x≤50时，设f(x)＝，其中k>0.由f(50)＝2 000，得k＝100 000，此时f(x)＝；当50≤x<100时，设f(x)＝，其中m>0.由f(50)＝2 000，得m＝100 000，此时f(x)＝.综上可得，f(x)＝

(2)因为g(x)＝2.5x＋0.5(100－x)＝2x＋50，所以H(x)＝f(x)＋ng(x)＝由H(x)的解析式可知，当x∈(50,100)时，H(x)单调递增，因此只需考虑x∈(0,50]时，H(x)的最小值即可．由于2nx＋＋50n≥400＋50n，当且仅当x＝时，等号成立，所以当x＝时，H(x)最小，最小值为400＋50n.若1≤n≤20，x＝≥50，若n>20，x＝<50.因此仓库的选址位置与规划仓库使用的年数有关，当仓库使用年数n不超过20年时，仓库建在C处；当仓库使用年数n超过20年时，仓库建在A，C之间．且选址与A地相距千米时，所需总费用最少，为400＋50n万元．