第2部分 专题1 第3讲 函数的应用 2022高考数学（理科）二轮专题复习（老高考）

(建议用时：40分钟)

1．(2021·安徽滁州期末)用二分法求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，关于下一步的说法正确的是(　　)

A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值

B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值

C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.437 5)

D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.312 5)

答案  C

解析  由二分法知，方程x3＋x2－2x－2＝0的根在区间(1.375,1.5)内，此时的精确度没有达到要求，所以应该接着计算f(1.437 5)．故选C项．

2．在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据，如表所示．

对x，y最适合的拟合函数是(　　)

A．y＝2x  B．y＝x2－1

C．y＝2x－2  D．y＝log2x

答案  D

解析  根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A项；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C项；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D项．

3．已知函数f(x)＝x－sin x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为(　　)

A．0  B．1 

C．2  D．3

答案  C

解析  在同一坐标系中作出y＝x，y＝sin x，x∈[0,2π]上的图象(图略)，即知两个图象有2个交点．故选C项．

4．已知函数f(x)＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－1,0)  B．(1,2]

C．(1，＋∞)  D．(2，＋∞)

答案  C

解析  当x≤2时，由－x2＋4x＝0，得x＝0；当x>2时，令f(x)＝log2x－a＝0，得x＝2a，又函数f(x)有两个不同的零点，所以2a≠0且2a>2，解得a>1.故选C项．

5．某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)

A．略有盈利　  B．无法判断盈亏情况

C．没有盈利也没有亏损  D．略有亏损

答案  D

解析  设买入股票时的价格为m(m>0)元，先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)后的价格为m×(1＋10%)3×(1－10%)3＝0.993m<m，所以该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为略有亏损．故选D项．

6．函数f(x)＝ln x＋ex(e为自然对数的底数)的零点所在的区间是(　　)

A.  B．

C．(1，e)  D．(e，＋∞)

答案  A

解析  函数f(x)＝ln x＋ex在(0，＋∞)上单调递增，因此函数f(x)最多只有一个零点．因为f(e－10)＝－10＋e<－10＋e<0，f＝ln＋e＝e－1>0，所以零点落在内，而⊆，所以函数f(x)＝ln x＋ex的零点所在的区间是.故选A项．

7．(2021·广西南宁模拟)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度，已知某种水果失去的新鲜度h与其采摘后的时间t(单位：天)满足的函数关系式为h＝mat.若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%，那么这种水果失去50%的新鲜度是在采摘后(已知lg 2≈0.3，结果取整数)(　　)

A．23天  B．33天

C．43天  D．50天

答案  B

解析  由题意得解得故h＝，令h＝，则2＝10，即lg 2＝1，解得t≈33.故选B项．

8．已知函数f(x)＝若实数a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是(　　)

A．(2,4)  B．[2,4)

C．(2,4]  D．[2,4]

答案  C

解析  作出f(x)的大致图象，如图所示．

由图象知，因为a<b<c，且f(a)＝f(b)＝f(c)，所以－2<a≤0，b＋c＝4，因此a＋b＋c＝a＋4∈(2,4]．故选C项．

9．已知偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x2，则关于x的方程f(x)＝x在上根的个数为(　　)

A．4  B．3

C．2  D．1

答案  B

解析  由f(x－1)＝f(x＋1)得f(x－1＋1)＝f(x＋1＋1)，即f(x)＝f(x＋2)，则f(x)的周期T＝2，又当x∈[0,1]时，f(x)＝x2，且f(x)为偶函数，则可作出f(x)与g(x)＝x在上的图象如图所示，则关于x的方程f(x)＝x在上根的个数为3.故选B项．

10．已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是________.

解析 令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ，因为y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，所以2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.

答案 －

11．设函数f(x)＝x2，若函数g(x)＝[f(x)]2＋mf(x)＋m＋3有四个零点，则实数m的取值范围为________.

解析 根据函数f(x)＝x2≥0且g(x)＝[f(x)]2＋mf(x)＋m＋3，令t＝f(x)，结合函数f(x)＝x2的图象及题意可知方程t2＋mt＋m＋3＝0有两个不等正根，

所以得

即－3<m<－2.所以实数m的取值范围为(－3，－2)．

答案 (－3，－2)

12．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.

(1)求出a，b的值；

(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？

解析 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，即a＋b＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故有a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.解方程组得

(2)由(1)知v＝－1＋log3，所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2，即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位．

(建议用时：25分钟)

13．(2021·山西太原期末)已知min{a，b}表示a，b两个数中较小的一个，则函数f(x)＝min－的零点是(　　)

A.， 

B.，－，，－

C．(，0)， 

D.，，(－，0)，(，0)

答案  B

解析  当|x|＜时，可解得－1＜x＜0或0＜x＜1，此时f(x)＝min－＝|x|－＝0，解得x＝±，满足题意；当|x|≥时，可解得x≤－1或x≥1，此时f(x)＝min－＝－＝0，解得x＝±，满足题意．综上，f(x)的零点是，－，，－.故选B项．

14．已知当x∈[0,1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是(　　)

A．(0,1]  B．[3，＋∞)

C．(0,1]∪[3，＋∞)  D．(0,1)∪(3，＋∞)

答案  C

解析  在同一平面直角坐标系中，分别作出函数f(x)＝(mx－1)2＝m22与g(x)＝＋m的大致图象．

分两种情形：

(1)当0<m≤1时，≥1，如图①，当x∈[0,1]时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意；

(2)当m>1时，0<<1，如图②，要使f(x)与g(x)的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g(1)≤f(1)，即1＋m≤(m－1)2，解得m≥3或m≤0(舍去)．故选C项．

15．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿、乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P＝80＋4，Q＝a＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收入为f(x)(单位：万元)．

(1)求f(50)的值；

(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收入f(x)最大？

解析 (1)若投入甲大棚50万元，则投入乙大棚150万元，

所以f(50)＝80＋4×＋×150＋120＝277.5.

(2)由题知，f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，

依题意得解得20≤x≤180，

故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)．

令t＝，则t2＝x，t∈[2，6]，y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282，当t＝8，即x＝128时，y取得最大值282.

所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收入最大，且最大收入为282万元．