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2021学年第二章 直线与圆的位置关系2.2 切线长定理课时训练
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这是一份2021学年第二章 直线与圆的位置关系2.2 切线长定理课时训练，文件包含浙教版数学九年级下册22切线长定理练习试题解析版docx、浙教版数学九年级下册22切线长定理练习试题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
2.2切线长定理
班级： 姓名：
一、单选题
1．有一个内角为120°的菱形的内切圆半径为 3 ，则该菱形的边长是（ ）
A．3+32B．33C．4D．6
【答案】C
【解析】解：过A作AE⊥BC，
∵内切圆半径为 3 ，∴AE的长度为2 3 ，
∵∠BAD=120°，则∠ABC=60°，
在Rt△ABC中，AE=2 3 ，∠ABC=60°，
∴AB=4，
2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（ ）
A．5B．7C．8D．10
【答案】D
【解析】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA=PB，
同理可得：CA=CE，DE=DB．
∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，
∴△PCD的周长=10，
3．如图，在▱APBC中，∠C＝40°，若⊙O与PA、PB相切于点A、B，则∠CAB＝（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】D
【解析】解：∵⊙O与PA、PB相切于点A、B，
∴PA＝PB
∵四边形APBC是平行四边形，
∴四边形APBC是菱形，
∴∠P＝∠C＝40°，∠PAC＝140°
∴∠CAB＝ 12 ∠PAC
＝70°
4．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点 为60°角与直尺交点，点 B 为光盘与直尺唯一交点，若 AB=3 ，则光盘的直径是（ ）．
A．B．C．6D．3
【答案】A
【解析】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，如下图所示：
由切线长定理知 AB＝AC＝3，OA平分∠BAC ，
∴∠OAB＝60° ，
在 Rt△ABO 中， tan∠OAB=OBAB
∴OB＝ABtan∠OAB＝3×3=33
∴光盘的直径为 63 ，
5．如图，点E为Rt△ABC的直角边AC上一点，以CE为直径的半圆与斜边AB相切于点D，连结DE.若∠B＝70°，则∠CED为（ ）
A．70°B．65°C．55°D．35°
【答案】C
【解析】解：连接CD ，
∵∠ACB=90° ，
∴ BC与半圆相切于点C ，
∵半圆与斜边AB相切于点D，
∴BC=BD ，
∵∠B＝70°，
∴∠BCD=∠BDC=180°−70°2=55° ，
∴∠DCE=90°−55°=35° ，
∵CE为直径，
∴∠CDE=90° ，
∴∠CED =90°−∠DCE=90°−35°=55°.
6．探究性学习小组的同学接受了测量同样型号圆柱工件直径的任务．他们使用的工具是有一个角是60°的直角三角板和刻度尺．小明的测量方法如图甲所示．测得PC=12cm．小亮的测量方法如图乙所示．则与QA的值最接近的是（ ）
A．8cmB．7 cmC．6 cmD．5 cm
【答案】B
【解析】解：如图甲，连结OP，并设⊙O与x轴相切于点D，图乙，连结OQ、OA，并设⊙O与x轴相切于点E，
∴由切线定义及圆性质可得四边形OPCD是正方形，
∴OQ=OP=PC=12cm，
由题意可知：∠QAO=（180°-∠BAC）÷2=60°，
∴∠QOA=90°-∠QAO=30°，
∴tan∠QOA=AQ÷OQ，
即tan30°= 33 = AQ12 ，
解得AQ= 43 ．
∵1.5＜ 3 ＜2，
∴6＜ 43 ＜8．
7．如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是( )
A．4B．8C．43D．83
【答案】B
【解析】解：∵从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B. ∴PA=PB,又∵∠APB=60°,∴三角形PAB是等边三角形，∴AB=PA=8.
二、填空题
8．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP＝8，则△PDE的周长为 ．
【答案】16
【解析】解：∵DA、DC、EB、EC分别是⊙O的切线，
∴DA＝DC，EB＝EC；
∴DE＝DA+EB，
∴PD+PE+DE＝PD+DA+PE+BE＝PA+PB，
∵PA、PB分别是⊙O的切线，
∴PA＝PB＝8，
∴△PDE的周长＝16．
9．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB=12，CD=6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP=8，∠APD=60°，则R= ．
【答案】
【解析】解：由切割线定理得PB•PA=PC•PD，则有
8×20=PC（PC+6）．
解得PC=10．
在△PAC中，由PA=2PC，∠APC=60°，得∠PCA=90°．
从而AD是圆的直径．由勾股定理，得
AD2=AC2+CD2=（PA2﹣PC2）+CD2=202﹣102+62=336．
∴AD= 336 =4 21
∴R= 12 AD=2 21 ．
10．已知：如图，AB=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交OC与点D，AD的延长线交BC于点E，过D作⊙O的切线交BC于点F．下列结论：①CD2=CE·CB；②4EF 2=ED ·EA；③∠OCB=∠EAB；④DF=12CD ．其中正确的只有 ．（填序号）
【答案】①、②、④
【解析】①连接BD，
∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠DBE+∠3=90°，∵∠ABC=90°，
∴∠1+∠DBE=90°，∴∠1=∠3，又∵DO=BO，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，
∴∠CDB=∠CED，∵∠DCB=∠ECD，∴△CDE∽△CBD，∴CD2=CE⋅CB ，故①正确；
②∵过D作⊙O的切线交BC于点F，∴FD是⊙O的切线，∵∠ABC=90°，
∴CB是⊙O的切线，∴FB=DF，∴∠FDB=∠FBD，∴∠1=∠FDE，∴∠FDE=∠3，
∴DF=EF，∴EF=FB，∴EB=2EF，∵在Rt△ABE中，BD⊥AE，∴EB2=ED⋅EA ，
∴4EF2=ED⋅EA ，故②正确；
③∵AO=DO，∴∠OAD=∠ADO，假设③∠OCB=∠EAB成立，则∠OCB=0.5∠COB，
∴∠OCB=30°，而 BOBC=BOAB=12 ，与tan30°= 33 矛盾，
故③∠OCB=∠EAB不成立，故此选项错误；
④∵∠CDF=∠CBO=90°，∠DCF=∠OCB，∴△CDF∽△CBO，∴DFBO=CDBC ，∴DFCD=BOBC ，
∵AB=BC，∴DF=0.5CD；故④正确．
11．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝25°，则∠P的度数为 ．
【答案】50º
【解析】解：根据切线的性质定理得∠PAC=90°，
∴∠PAB=90°−∠BAC=90°−25°=65°．
根据切线长定理得PA=PB，
所以∠PBA=∠PAB=65°，
所以∠P=50°．
12．如图，Rt△ABC的内切圆⊙I分别与斜边AB、直角边BC、CA切于点D、E、F，AD＝3，BD＝2，则Rt△ABC的面积为 .
【答案】6
【解析】解：∵Rt△ABC的内切圆⊙I分别与斜边AB、直角边BC、CA切于点D、E、F，AD=3，BD=2，
∴AD=AF=3，BD=BE=2，FC=EC，
设FC=EC=x，
则（3+x）2+（2+x）2=52，
解得：x1=1，x2=-6（不合题意舍去），
则AC=4，BC=3，
故Rt△ABC的面积为： 12 ×4×3=6.
13．如图，AB为半⊙O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半⊙O的切线交于点P，若AB的长是2a，则PA的长是 ．
【答案】7a
【解析】解：连接OC、OP；
∵C为半圆弧的三等分点，
∴∠BOC=120°；
已知PC、PB都是⊙O的切线，
由切线长定理知：∠POB=12∠BOC=60°；
在Rt△POB中，OB=a，∠POB=60°，则PB=3a；
在Rt△ABP中，由勾股定理得：
AP= ．
三、解答题
14．如图，⊙O经过点B、D、E，BD是⊙O的直径，∠C=90°，BE平分∠ABC．
（1）试说明直线AC是⊙O的切线；
（2）当AE=4，AD=2时，求⊙O的半径及BC的长．
【答案】（1）证明：连接OE．
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠1=∠2．
∵OE=OB，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴OE∥BC．
又∠C=90°，
∴∠AEO=90°．
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：设⊙O的半径为r，在Rt△AEO中，由勾股定理可得OA2=OE2+AE2．
∵AE=4，AD=2，
∴（2+r）2=r2+42．
∴r=3．
∵OE∥BC，
∴AOAB=OEBC．
∴2+32+6=3BC．
∴BC=245．
【解析】（1）连接OE，证明出∠AEO=90°，即可说明直线AC是⊙O的切线；
（2）知道OE∥BC，利用平行线分线段成比例定理即可解答．
15．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D．连接OE、AC，且∠P=∠E，∠POE=2∠CAB．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）若BD=2OD，PB=9，求⊙O的半径及tan∠P的值．
【答案】（1）证明：连接OC，
∴∠COB=2∠CAB，
又∠POE=2∠CAB．
∴∠COD=∠EOD，
则弧BC=弧BE，
即CE⊥AB；
（2）证明：∵CE⊥AB，∠P=∠E，
∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，
又∠OCD=∠E，
∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（3）解：设⊙O的半径为r，OD=x，则BD=2x，r=3x，
∵CD⊥OP，OC⊥PC，
∴Rt△OCD∽Rt△OPC，
∴OC2=OD•OP，即（3x）2=x•（3x+9），
解之得x= 32 ，
∴⊙O的半径r= 92 ，
在Rt△OCP中， PC= PO2−OC2 = (92+9)2+(92)2 =9 2 ，
tan∠P= OCPC = 24 .
【解析】（1）此题方法不唯一，主要是运用“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”，题中给出的是证明弧BC和弧BE所对的圆心角相等，则所对的弧相等，则由垂径定理可证得；
2）证明相切，需证明半径OC⊥CP，即证明∠PCO=90°；而由（1）可得∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，而由半径OE=OC，根据等边对等角，可得∠OCD=∠E，则可证得∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°；
3）要求⊙O的半径，可考虑运用勾股定理的方法和相似三角形的方法，题中给出的是运用相似三角形的判定和性质解答，由BD=2OD，可得边BD，半径与OD的关系，则证明Rt△OCD∽Rt△OPC，可得边 OC2=OD•OP，代入相关数据，求出半径OC和OD；在Rt△OCP中，tan∠P= OCPC ，OC已求，则PO=OB+PB，则可求出PC，代入即可解出.
16．如图， PA ， PB 分别与⊙O相切于 A ， B 两点，点 C 在⊙O上，已知 ∠C=65° ，求 ∠P 的度数．
【答案】解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，
∴∠P=180°-∠AOB，
∵∠C=65°，
∴∠AOB=2∠C=130°，
∴∠P=180°-130°=50°．
【解析】连接OA、OB，PA、PB是⊙O切线，得出PA⊥OA，PB⊥OB，∠PAO=∠PBO=90°，由∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，得出∠P=180°-∠AOB，由此得出 ∠P 的度数．
17．如图,☉O与四边形ABCD的四边都相切.若∠AOB=70°,求∠COD的度数.
【答案】解:∵☉O为四边形ABCD的内切圆,∴∠OAB=∠OAD,∠ODA=∠ODC,∠OCD=∠OCB,∠OBC=∠OBA.∴∠OAB+∠OBA+∠ODC+∠OCD=∠OAD+∠OBC+∠ODA+∠OCB=180°.∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°.∴∠COD=180°-∠AOB=110°
【解析】根据切线长定理得出∠OAB=∠OAD,∠ODA=∠ODC,∠OCD=∠OCB,∠OBC=∠OBA.根据等式的性质得出∠OAB+∠OBA+∠ODC+∠OCD=∠OAD+∠OBC+∠ODA+∠OCB=180°.根据三角形的内角和及等式的性质得出∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°.从而得出答案。
18．已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．
（Ⅰ）如图①，若∠BAC=250，求∠AMB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．
【答案】解：（Ⅰ）∵MA切⊙O于点A，∴∠MAC=90°．
又∠BAC=25°，∴∠MAB=∠MAC－∠BAC=65°．
∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，∴MA=MB．
∴∠MAB=∠MBA．
∴∠AMB=180°－（∠MAB+∠MBA）=50°．
（Ⅱ）如图，连接AD、AB，
∵MA⊥AC，又BD⊥AC，
∴BD∥MA．
又∵BD=MA，∴四边形MADB是平行四边形．
又∵MA=MB，∴四边形MADB是菱形．∴AD=BD．
又∵AC为直径，AC⊥BD，
∴ AB =" AD" ．
∴AB=AD=BD．∴△ABD是等边三角形．∴∠D=60°．
∴在菱形MADB中，∠AMB=∠D=60°
【解析】（1）由 MA切⊙O于点A，根据切线的性质得出∠MAC=90°． 再由∠MAC－∠BAC得出∠MAB的度数，根据MA、MB分别切⊙O于点A、B，得出MA=MB．推出∠MAB=∠MBA．由此得出答案；
（2） 连接AD、AB， 先证出四边形MADB是平行四边形，再证出四边形MADB是菱形．再得出 △ABD是等边三角形． 由此得出结论。
19．如图，已知在△ABC中，∠A=90°
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．
【答案】（1） 解：如图所示，则⊙P为所求作的圆．
（2）解：∵∠B=60°，BP平分∠ABC，
∴∠ABP=30°，
∵tan∠ABP= APAB ，∴AP= 3 ，
∴S⊙P=3π．
【解析】（1）作∠ABC的平分线交AC于P，再以P为圆心PA为半径即可作出⊙P；（2）根据角平分线的性质得到∠ABP=30°，根据三角函数可得AP= 3 ，再根据圆的面积公式即可求解．
2.2切线长定理
班级： 姓名：
一、单选题
1．有一个内角为120°的菱形的内切圆半径为 3 ，则该菱形的边长是（ ）
A．3+32B．33C．4D．6
【答案】C
【解析】解：过A作AE⊥BC，
∵内切圆半径为 3 ，∴AE的长度为2 3 ，
∵∠BAD=120°，则∠ABC=60°，
在Rt△ABC中，AE=2 3 ，∠ABC=60°，
∴AB=4，
2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（ ）
A．5B．7C．8D．10
【答案】D
【解析】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA=PB，
同理可得：CA=CE，DE=DB．
∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，
∴△PCD的周长=10，
3．如图，在▱APBC中，∠C＝40°，若⊙O与PA、PB相切于点A、B，则∠CAB＝（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】D
【解析】解：∵⊙O与PA、PB相切于点A、B，
∴PA＝PB
∵四边形APBC是平行四边形，
∴四边形APBC是菱形，
∴∠P＝∠C＝40°，∠PAC＝140°
∴∠CAB＝ 12 ∠PAC
＝70°
4．如图，是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成，点 为60°角与直尺交点，点 B 为光盘与直尺唯一交点，若 AB=3 ，则光盘的直径是（ ）．
A．B．C．6D．3
【答案】A
【解析】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，如下图所示：
由切线长定理知 AB＝AC＝3，OA平分∠BAC ，
∴∠OAB＝60° ，
在 Rt△ABO 中， tan∠OAB=OBAB
∴OB＝ABtan∠OAB＝3×3=33
∴光盘的直径为 63 ，
5．如图，点E为Rt△ABC的直角边AC上一点，以CE为直径的半圆与斜边AB相切于点D，连结DE.若∠B＝70°，则∠CED为（ ）
A．70°B．65°C．55°D．35°
【答案】C
【解析】解：连接CD ，
∵∠ACB=90° ，
∴ BC与半圆相切于点C ，
∵半圆与斜边AB相切于点D，
∴BC=BD ，
∵∠B＝70°，
∴∠BCD=∠BDC=180°−70°2=55° ，
∴∠DCE=90°−55°=35° ，
∵CE为直径，
∴∠CDE=90° ，
∴∠CED =90°−∠DCE=90°−35°=55°.
6．探究性学习小组的同学接受了测量同样型号圆柱工件直径的任务．他们使用的工具是有一个角是60°的直角三角板和刻度尺．小明的测量方法如图甲所示．测得PC=12cm．小亮的测量方法如图乙所示．则与QA的值最接近的是（ ）
A．8cmB．7 cmC．6 cmD．5 cm
【答案】B
【解析】解：如图甲，连结OP，并设⊙O与x轴相切于点D，图乙，连结OQ、OA，并设⊙O与x轴相切于点E，
∴由切线定义及圆性质可得四边形OPCD是正方形，
∴OQ=OP=PC=12cm，
由题意可知：∠QAO=（180°-∠BAC）÷2=60°，
∴∠QOA=90°-∠QAO=30°，
∴tan∠QOA=AQ÷OQ，
即tan30°= 33 = AQ12 ，
解得AQ= 43 ．
∵1.5＜ 3 ＜2，
∴6＜ 43 ＜8．
7．如图,从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是( )
A．4B．8C．43D．83
【答案】B
【解析】解：∵从圆O外一点P引圆O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B. ∴PA=PB,又∵∠APB=60°,∴三角形PAB是等边三角形，∴AB=PA=8.
二、填空题
8．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为劣弧AB上任意一点，过点C的切线分别交AP，BP于D，E两点．若AP＝8，则△PDE的周长为 ．
【答案】16
【解析】解：∵DA、DC、EB、EC分别是⊙O的切线，
∴DA＝DC，EB＝EC；
∴DE＝DA+EB，
∴PD+PE+DE＝PD+DA+PE+BE＝PA+PB，
∵PA、PB分别是⊙O的切线，
∴PA＝PB＝8，
∴△PDE的周长＝16．
9．如图，已知ABCD是一个半径为R的圆内接四边形，AB=12，CD=6，分别延长AB和DC，它们相交于点P，且BP=8，∠APD=60°，则R= ．
【答案】
【解析】解：由切割线定理得PB•PA=PC•PD，则有
8×20=PC（PC+6）．
解得PC=10．
在△PAC中，由PA=2PC，∠APC=60°，得∠PCA=90°．
从而AD是圆的直径．由勾股定理，得
AD2=AC2+CD2=（PA2﹣PC2）+CD2=202﹣102+62=336．
∴AD= 336 =4 21
∴R= 12 AD=2 21 ．
10．已知：如图，AB=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交OC与点D，AD的延长线交BC于点E，过D作⊙O的切线交BC于点F．下列结论：①CD2=CE·CB；②4EF 2=ED ·EA；③∠OCB=∠EAB；④DF=12CD ．其中正确的只有 ．（填序号）
【答案】①、②、④
【解析】①连接BD，
∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠DBE+∠3=90°，∵∠ABC=90°，
∴∠1+∠DBE=90°，∴∠1=∠3，又∵DO=BO，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，
∴∠CDB=∠CED，∵∠DCB=∠ECD，∴△CDE∽△CBD，∴CD2=CE⋅CB ，故①正确；
②∵过D作⊙O的切线交BC于点F，∴FD是⊙O的切线，∵∠ABC=90°，
∴CB是⊙O的切线，∴FB=DF，∴∠FDB=∠FBD，∴∠1=∠FDE，∴∠FDE=∠3，
∴DF=EF，∴EF=FB，∴EB=2EF，∵在Rt△ABE中，BD⊥AE，∴EB2=ED⋅EA ，
∴4EF2=ED⋅EA ，故②正确；
③∵AO=DO，∴∠OAD=∠ADO，假设③∠OCB=∠EAB成立，则∠OCB=0.5∠COB，
∴∠OCB=30°，而 BOBC=BOAB=12 ，与tan30°= 33 矛盾，
故③∠OCB=∠EAB不成立，故此选项错误；
④∵∠CDF=∠CBO=90°，∠DCF=∠OCB，∴△CDF∽△CBO，∴DFBO=CDBC ，∴DFCD=BOBC ，
∵AB=BC，∴DF=0.5CD；故④正确．
11．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝25°，则∠P的度数为 ．
【答案】50º
【解析】解：根据切线的性质定理得∠PAC=90°，
∴∠PAB=90°−∠BAC=90°−25°=65°．
根据切线长定理得PA=PB，
所以∠PBA=∠PAB=65°，
所以∠P=50°．
12．如图，Rt△ABC的内切圆⊙I分别与斜边AB、直角边BC、CA切于点D、E、F，AD＝3，BD＝2，则Rt△ABC的面积为 .
【答案】6
【解析】解：∵Rt△ABC的内切圆⊙I分别与斜边AB、直角边BC、CA切于点D、E、F，AD=3，BD=2，
∴AD=AF=3，BD=BE=2，FC=EC，
设FC=EC=x，
则（3+x）2+（2+x）2=52，
解得：x1=1，x2=-6（不合题意舍去），
则AC=4，BC=3，
故Rt△ABC的面积为： 12 ×4×3=6.
13．如图，AB为半⊙O的直径，C为半圆弧的三等分点，过B，C两点的半⊙O的切线交于点P，若AB的长是2a，则PA的长是 ．
【答案】7a
【解析】解：连接OC、OP；
∵C为半圆弧的三等分点，
∴∠BOC=120°；
已知PC、PB都是⊙O的切线，
由切线长定理知：∠POB=12∠BOC=60°；
在Rt△POB中，OB=a，∠POB=60°，则PB=3a；
在Rt△ABP中，由勾股定理得：
AP= ．
三、解答题
14．如图，⊙O经过点B、D、E，BD是⊙O的直径，∠C=90°，BE平分∠ABC．
（1）试说明直线AC是⊙O的切线；
（2）当AE=4，AD=2时，求⊙O的半径及BC的长．
【答案】（1）证明：连接OE．
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠1=∠2．
∵OE=OB，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴OE∥BC．
又∠C=90°，
∴∠AEO=90°．
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：设⊙O的半径为r，在Rt△AEO中，由勾股定理可得OA2=OE2+AE2．
∵AE=4，AD=2，
∴（2+r）2=r2+42．
∴r=3．
∵OE∥BC，
∴AOAB=OEBC．
∴2+32+6=3BC．
∴BC=245．
【解析】（1）连接OE，证明出∠AEO=90°，即可说明直线AC是⊙O的切线；
（2）知道OE∥BC，利用平行线分线段成比例定理即可解答．
15．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D．连接OE、AC，且∠P=∠E，∠POE=2∠CAB．
（1）求证：CE⊥AB；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）若BD=2OD，PB=9，求⊙O的半径及tan∠P的值．
【答案】（1）证明：连接OC，
∴∠COB=2∠CAB，
又∠POE=2∠CAB．
∴∠COD=∠EOD，
则弧BC=弧BE，
即CE⊥AB；
（2）证明：∵CE⊥AB，∠P=∠E，
∴∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，
又∠OCD=∠E，
∴∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（3）解：设⊙O的半径为r，OD=x，则BD=2x，r=3x，
∵CD⊥OP，OC⊥PC，
∴Rt△OCD∽Rt△OPC，
∴OC2=OD•OP，即（3x）2=x•（3x+9），
解之得x= 32 ，
∴⊙O的半径r= 92 ，
在Rt△OCP中， PC= PO2−OC2 = (92+9)2+(92)2 =9 2 ，
tan∠P= OCPC = 24 .
【解析】（1）此题方法不唯一，主要是运用“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”，题中给出的是证明弧BC和弧BE所对的圆心角相等，则所对的弧相等，则由垂径定理可证得；
2）证明相切，需证明半径OC⊥CP，即证明∠PCO=90°；而由（1）可得∠P+∠PCD=∠E+∠PCD=90°，而由半径OE=OC，根据等边对等角，可得∠OCD=∠E，则可证得∠OCD+∠PCD=∠PCO=90°；
3）要求⊙O的半径，可考虑运用勾股定理的方法和相似三角形的方法，题中给出的是运用相似三角形的判定和性质解答，由BD=2OD，可得边BD，半径与OD的关系，则证明Rt△OCD∽Rt△OPC，可得边 OC2=OD•OP，代入相关数据，求出半径OC和OD；在Rt△OCP中，tan∠P= OCPC ，OC已求，则PO=OB+PB，则可求出PC，代入即可解出.
16．如图， PA ， PB 分别与⊙O相切于 A ， B 两点，点 C 在⊙O上，已知 ∠C=65° ，求 ∠P 的度数．
【答案】解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，
∴∠P=180°-∠AOB，
∵∠C=65°，
∴∠AOB=2∠C=130°，
∴∠P=180°-130°=50°．
【解析】连接OA、OB，PA、PB是⊙O切线，得出PA⊥OA，PB⊥OB，∠PAO=∠PBO=90°，由∠P+∠PAO+∠AOB+∠PBO=360°，得出∠P=180°-∠AOB，由此得出 ∠P 的度数．
17．如图,☉O与四边形ABCD的四边都相切.若∠AOB=70°,求∠COD的度数.
【答案】解:∵☉O为四边形ABCD的内切圆,∴∠OAB=∠OAD,∠ODA=∠ODC,∠OCD=∠OCB,∠OBC=∠OBA.∴∠OAB+∠OBA+∠ODC+∠OCD=∠OAD+∠OBC+∠ODA+∠OCB=180°.∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°.∴∠COD=180°-∠AOB=110°
【解析】根据切线长定理得出∠OAB=∠OAD,∠ODA=∠ODC,∠OCD=∠OCB,∠OBC=∠OBA.根据等式的性质得出∠OAB+∠OBA+∠ODC+∠OCD=∠OAD+∠OBC+∠ODA+∠OCB=180°.根据三角形的内角和及等式的性质得出∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=180°.从而得出答案。
18．已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．
（Ⅰ）如图①，若∠BAC=250，求∠AMB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于点E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．
【答案】解：（Ⅰ）∵MA切⊙O于点A，∴∠MAC=90°．
又∠BAC=25°，∴∠MAB=∠MAC－∠BAC=65°．
∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，∴MA=MB．
∴∠MAB=∠MBA．
∴∠AMB=180°－（∠MAB+∠MBA）=50°．
（Ⅱ）如图，连接AD、AB，
∵MA⊥AC，又BD⊥AC，
∴BD∥MA．
又∵BD=MA，∴四边形MADB是平行四边形．
又∵MA=MB，∴四边形MADB是菱形．∴AD=BD．
又∵AC为直径，AC⊥BD，
∴ AB =" AD" ．
∴AB=AD=BD．∴△ABD是等边三角形．∴∠D=60°．
∴在菱形MADB中，∠AMB=∠D=60°
【解析】（1）由 MA切⊙O于点A，根据切线的性质得出∠MAC=90°． 再由∠MAC－∠BAC得出∠MAB的度数，根据MA、MB分别切⊙O于点A、B，得出MA=MB．推出∠MAB=∠MBA．由此得出答案；
（2） 连接AD、AB， 先证出四边形MADB是平行四边形，再证出四边形MADB是菱形．再得出 △ABD是等边三角形． 由此得出结论。
19．如图，已知在△ABC中，∠A=90°
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．
【答案】（1） 解：如图所示，则⊙P为所求作的圆．
（2）解：∵∠B=60°，BP平分∠ABC，
∴∠ABP=30°，
∵tan∠ABP= APAB ，∴AP= 3 ，
∴S⊙P=3π．
【解析】（1）作∠ABC的平分线交AC于P，再以P为圆心PA为半径即可作出⊙P；（2）根据角平分线的性质得到∠ABP=30°，根据三角函数可得AP= 3 ，再根据圆的面积公式即可求解．
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