2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：导数的综合应用--双变量问题（含解析）

这是一份2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：导数的综合应用--双变量问题（含解析），共19页。试卷主要包含了已知函数，，实数，满足等内容，欢迎下载使用。
《导数的综合应用—双变量问题》考查内容：主要涉及利用导数解决一些双变量问题说明：一些复杂的复合函数求导一般为理科内容一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知函数，且有两个极值点，其中，则的最小值为（    ）A． B． C． D．2．设函数，函数，若对于，，使成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．3．已知函数，，若对任意的,存在，使，则实数的取值范围是(    )A． B． C． D．4．已知函数，若关于x的方程恰有两个不同实数根，，则的最大值为（    ）A．2 B． C． D．5．已知函数，，实数，满足．若，，使得成立，则的最大值为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6．已知函数满足对于任意，存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．7．已知函数，，若对任意的，存在唯一的 [，2]，使得，则实数的取值范围是（　　）A．（e，4] B．（e，4] C．（e，4） D．（，4]8．已知函数，，曲线上总存在两点，，使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．9．设函数，当时，不等式对任意的恒成立，则的可能取值是（    ）A． B． C． D．10．已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．11．已知函数，若存在实数满足时，成立，则实数的最大值为（　　）A． B． C． D．12．若方程x﹣2lnx+a＝0存在两个不相等的实数根x1和x2，则（　　）A． B．C． D．二．填空题13．已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为_______．14．已知函数有两个极值点、，则的取值范围为_________.15．已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是___________.16．已知函数f（x）=x2ax3（a＞0），x∈R.若对任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）f（x2）=1，则a的取值范围是_____.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知函数，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数存在两个极值点，（其中），且的取值范围为，求的取值范围.   18．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数的取值范围，并证明.   19．已知函数.（1）判断函数的单调性；（2）若方程有两个不同的根，求实数a的取值范围；（3）如果，且，求证：.   20．已知实数，设函数.（1）当，时，证明：；（2）若有两个极值点，证明：.   21．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，证明.  22．已知函数.（1）讨论函数的单调区间；（2）若存在两个极值点，，证明：.  《导数的综合应用—双变量问题》解析1.【解析】的定义域，，令，则必有两根，，所以，，，，，当时，，递减，所以的最小值为，故选：A.2.【解析】因为，所以，当时，，所以在上是增函数，所以函数取得最小值.因为，当时，取得最小值，因为对于，，使成立，所以，不成立；当时，取得最小值，因为对于，，使成立，所以，解得，此时；当时，取得最小值，因为对于，，使成立，所以，解得，此时；综上：实数的取值范围是.故选：A3.【解析】由题意可知，， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，取得最小值，，，，①当时，函数单调递增，，即 ，解得：，不成立；②当时，，即，解得：或，不成立；③当时，函数单调递减， 即 ，解得：，成立.综上可知：.故选：B4.【解析】根据题意，绘制的图像如下：由图可知，故方程有两个实根，等价于有两个实根，，不妨令，则，要使得原方程有两个实数根，只需有两个实数根，解得，故，，令，解得，故当，时，函数单调递增；当时，函数单调递减，故.故选：B.5.【解析】， ，，，当时，解得：，当时，解得：，所以在的单调递增区间是，单调递减区间是，当时取得最小值， ，函数在单调递增，，，所以，，令，解得：或，由条件可知的值域是值域的子集，所以的最大值是，的最小值是，故的最大值是.故选：A6.【解析】由函数在定义域单调递增，对于任意，存在，使得成立，即任意，存在，使得成立，即满足，令，对称轴方程为，在可得令，求导可得，，可得，在，，单调递增，所以在，，即，解得，故选C.7.【解析】在[，2]的值域为，但在（,2]递减,此时∈[﹣4，）．的导数为，可得在递减，递增，则在的最小值为，最大值为，即值域为[0，e]．对任意的，存在唯一的[，2]，使得可得，可得，解得．故选：B．8.【解析】由题得函数的导数.由题意可得（，且）.即有，化为，而，∴，化为对都成立，令，，，对恒成立，即在递增，∴，∴，∴，即的取值范围是.故选：B.9.【解析】由，得，令，得，，当时，，所以在区间，上单调递减，在区间上单调递增，而当时，，则在区间上为减函数，又，，则，，由题意，不等式对任意的恒成立，即转化为对任意的恒成立，所以恒成立，解得，即，结合选项知，的可能取值是.故选：D.10.【解析】已知函数，令，所以在上递减，在上递增，当时，，当时，，当时，，所以，即的值域为.因为，所以，又因为，，所以，所以在时递减，所以的值域为.因为对于任意，总存在，使得成立，所以的值域包含的值域，即，所以，解得.故选：A11.【解析】由，∴， 令，（），则，（，），显然在单调递减，∴（）令，（），，∵，∴，则，∴令在单调递减，∴，∴实数a的最大值为．选B.12.【解析】x1和x2是方程x﹣2lnx+a＝0两个不相等的实数根，不妨设，,两式相减得，令，，，令，令恒成立，在是单调递增，恒成立，在是单调递增，恒成立，，.故选:B.13.【解析】对任意的，存在，使得，等价于，令，解得，且当时，，则在上单调递增，所以，又在上单调递减，所以，则，解得，故答案为．14.【解析】函数的定义域为，，依题意，方程有两个不等的正根、（其中），则，由韦达定理得，，所以，令，则，，当时，，则函数在上单调递减，则，所以，函数在上单调递减，所以，.因此，的取值范围是.故答案为：.15.【解析】令，，.当时，，故在为增函数，故在上的值域为.又当时，，当时，，所以在上为减函数，在上为增函数.令，因为对任意的，总存在唯一的，使得成立，故对直线与函数的图象有且只要一个公共点，而，且在上为减函数，在上为增函数，故，所以，即.故答案为：.16.【解析】因为=﹣2ax2+2x，令=0得，①：当，即a≥1时，＜0，在x∈[1，+∞）恒成立，所以f（x）在[1，+∞）递减，∵，，若对任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）f（x2）=1，所以f（x1）的值域为（），f（x2）的值域为（），由f（x1）f（x2）=1得：.显然，当f（x1）→﹣∞时，→0（负数），故要满足结论，首先需满足：，，解得.所以.②当，即时，f（x1）在（2，+∞）上递减，故此时f（x1），f（x2）在（1，）递增，在递减，故0.此时只需即可，解得.③当，即时，f（x1），f（x2）的最大值都是0，所以能取到所有正实数，而，故此时不满足题意.综上，a的取值范围是[].故答案为：17.【解析】（1）.令，则.①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增.②当，即时，由，得或；由，得，∴在和上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）得，当时，有两极值点，（其中）.由（1）得，为的两根，所以，.所以.令，则，因为，所以在上单调递减，而，，所以，又，易知在上单调递增，所以，所以实数的取值范围为.18.【解析】（1）由题意得,①当时,,所以在上单调递增；②当时,由,得,当时,,在上单调递减；当时,,在上单调递增.（2）由于有两个零点,不妨设,由（1）可知,当时,在上单调递增,不符合题意；当时,,,即,解得,此时有,所以存在,使得,由于,所以在上单调递增,所以当时,,所以在上单调递增,所以当时,；所以,所以存在,使得,综上,当时,有两个零点.证明:由于,,且,则,所以,,所以,设,有,则,要证,只需证,即证,设,则,所以在上单调递增,所以当时,,即,故19.【解析】（1）因为，所以，令可得；令可得；所以函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）可得函数在处取得最大值，，所以函数的值域为，且时，；因为方程有两个不同的根，所以，即，，解得.即实数a的取值范围为.（3）证明：由，，不妨设，构造函数，，则，所以在上单调递增，，也即对恒成立.由，则，所以，.即，又因为，，且在上单调递减，所以，即证.即.20.【解析】（1），即为即 ，令，则 ，令 ，令对称轴 ，则，时， 时， 时， 在上单调递增，在上递减，且 ，在上递增，故只需证明，即证 ，即 ，令 ，则 在上单调递减，而 ， 当时，，当时，即成立， 当时，成立；（2），有两个极值点 ， ，令，当时，；当时，，在上递减，上递增， ，故即 ，由 可得 ，则 ， ， ， 由得，下证即 ，即证 ， ，等价于证明 ，令 ，，故 ， ，令 则令 ，则，在上递减， ，即，21.【解析】（1）当时，，所以在上单调递减；当时，，得都有，在上单调递减；都有，在上单调递增.综上：当时，在上单调递减，无单调递增区间；当时，在单调递减，在上单调递增.（2）函数有两个零点分别为，不妨设，则，，，要证：，只需证：只需证：，只需证：，只需证：，只需证：，令，即证，设，则，即函数在单调递减，则，即得22.【解析】（1）函数的定义域为，，令，则.①当时，，恒成立，函数的单调递增区间为.②当时，，方程有两根，，，当时，；当时，；当，.的单调递增区间为、，单调递减区间为.（2）证明：由（1）知，当时，存在两个极值点，，函数在上单调递减，则，，不妨设，则.由于，且，所以，则.