2022届高三数学（文理通用）一轮复习题型专题训练：利用导数解决实际应用问题（含解析）

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《利用导数解决实际应用问题》考查内容：主要涉及利用导数解决实际应用问题说明：共12道选择题，4道填空题，3道解答题。一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高为（    ）A． B． C． D．2．从长，宽的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，若使箱子的容积最大，则剪去的正方形边长为（ ）A． B． C． D．3．现需建造一个容积为的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍.要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径与高的比值为（    ）A． B． C． D．4．已知球体的半径为3，当球内接正四棱锥的体积最大时，正四棱锥的高和底面边长的比值是（    ）A．1 B． C． D．25．某产品的销售收入（万元）关于产量（千台）的函数为；生产成本（万元）关于产量（千台）的函数为，为使利润最大，应生产产品(   )A．9千台 B．8千台 C．7千台 D．6千台6．侧棱长为的正四棱锥内,有一半球,其大圆面落在正四棱锥底面上,且与正四棱锥的四个侧面相切,当正四棱锥的体积最大时,该半球的半径为（    ）A．1 B． C． D．27．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是 （是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（    ）A．8万斤 B．6万斤 C．3万斤 D．5万斤8．已知母线长为的圆锥内接于球内，当圆锥体积最大时该球的表面积为（    ）A． B． C． D．9．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为海里/小时， 当速度为海里/小时时，它的燃料费是每小时元，其余费用(无论速度如何)都是每小时元.如果甲乙两地相距海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为（    ）A．海里/小时 B．海里/小时C．海里/小时 D．海里/小时10．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元，已知该厂在制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：，为获得最大盈利，该厂的日产量应定为（）A．14件 B．16件 C．24件 D．32件11．已知长方体内接于半球，且底面落在半球的底面上，底面的四个顶点落在半球的球面上.若半球的半径为3，，则该长方体体积的最大值为（    ）A． B． C．48 D．7212．做一个圆柱形锅炉，容积为，两个底面的材料每单位面积的价格为元，侧面的材料每单位面积的价格为元，当造价最低时，锅炉的高与底面直径的比值为（    ）A． B． C． D．二．填空题13．已知球的半径为，则它的外切圆锥体积的最小值为__________.14．某生产厂家生产一种产品的固定成本为万元，并且每生产百台产品需增加投入万元.已知销售收入（万元）满足（其中是该产品的月产量，单位：百台，），假定生产的产品都能卖掉，则当公司每月产量为______百台时，公司所获利润最大..15．周长为的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为___.16．已知正方形边长为3，点E，F分别在边，上运动（E不与A，B重合，F不与A，D重合），将以为折痕折起，当A，E，F位置变化时，所得五棱锥体积的最大值为__________.三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.（1）求函数的解析式；（2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大.   18．某种儿童型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成，（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为毫米.防蚊液所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设的长为毫米.（注：，其中为球半径，为圆柱底面积，为圆柱的高）（1）求容器中防蚊液的体积关于的函数关系式；（2）如何设计与的长度，使得最大？    19．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）．（1）把利润表示为年产量的函数．（2）年产量为多少时，企业所得利润最大？（3）年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？                 《利用导数解决实际应用问题》解析1.【解析】设圆锥的高为，则圆锥底面半径：，圆锥体积：，，令，解得：，当时，；当时，，当，取最大值，即体积最大时，圆锥的高为：，本题正确选项：2.【解析】设剪去的正方形的边长为,
则做成的无盖的箱子的底是长为,宽为的矩形,
箱子的高为,
所以箱子的容积,
,当时,只有一个解,
在附近,是左正右负,在处取得极大值即为最大值,
所以，若使箱子的容积最大,则剪去的正方形边长为.故选A.3.【解析】设单位面积铁的价格为，则造价，，取，得到，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，故时，造价最小，此时.故选：D.4.【解析】如图，是正四棱锥的对角面，其外接圆是四棱锥外接球的大圆，是圆心（球心），设正四棱锥底面边长为，则，，设，则由得，，，，，， 当时，，递增，时，，递减，∴时，取得极大值也是最大值．此时高，，．故选：A．5.【解析】设利润为万元，则，，令，得，令，得，∴当时，取最大值，故为使利润最大，应生产8千台．选B.6.【解析】如图,E为中点,O为底面中心,交于点F,连接．根据线面垂直的性质，可知平面,故半球的半径为.设,则,,正四棱锥的体积,记．令,,则,,,因此当时,；当时,,即在上单调递增,在单调递减,故当时,体积最大． 此时该半球的半径为.故选：B．7.【解析】设销售的利润为，由题意，得， 即，当时，，解得，故，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，利润最大，故选B.8.【解析】设圆锥底面半径为，高为，球半径为，由题意得，则圆锥体积，令，所以，所以当时，，当时，，则当时取得最大值，此时，又因为，所以，所以该球的表面积为，故选：B.9.【解析】因为海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，设船速为，燃料费用为元，比例系数为，则满足 ，当速度为海里/小时时，它的燃料费是每小时元，代入上式可得，解得其余费用(无论速度如何)都是每小时元，如果甲乙两地相距海里，则所需时间为小时.则总费用为 所以，令，解得，当时，，所以在内单调递减，当时，，所以在内单调递增，所以当时，海轮从甲地航行到乙地的总费用最低， 故选：C10.【解析】因为该厂的日产量为x，则其次品数为，正品数为，根据题意得，化简整理得．∵，∴=，当0＜x＜16时，T'＞0；当x＞16时，T'＜0．所以x=16时，T有最大值，即Tmax=T（16）=800元．故选B.11.【解析】设长方体的高为h， 底面棱长为a， 则长方体的底面外接圆直径为， 所以 ，.由勾股定理得 即得，其中 0<h<3 ，所以 ， 长方体 的体积为 ，其中 0<h<3 ，设， 其中 0<h<3， 则， 令， 得，当时 ，，在上单调递增； 当时 ，，在上单调递减.所以 ， 函数 在  处取得极大值 ， 亦即最大值 ， 则 .因此 ， 该长方体的体积的最大值为.故选：A.12.【解析】设锅炉的高为，底面直径为，锅炉的高与底面直径的比是.，，.设造价为，则.则，令，解得，可得此时取得最小值.故当造价最低时，锅炉的高与底面直径的比值为.故选：A.13.【解析】设圆锥的高为，底面半径为，在截面图中，，，，根据圆锥与球相切可知，、均为球与外切圆锥的切点，则，又，，，即，，圆锥体积为，，令可得，则时，；时，，在单调递减，在单调递增，则.故答案为：.14.【解析】设销售利润为，依题意可得，，，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以时，取得极大值，也是最大值，所以当公司每月生产6百台时，获得利润最大.故答案为：6.15.【解析】矩形的周长为，设矩形的长为,则宽为设绕其宽旋转成一个圆柱,则圆柱的底面半径为,高为则圆柱的体积，则，当,则，当，则 ，即在上单调递增，在上单调递减，故当圆柱体积取最大值，此时，故答案为:，16.【解析】不妨设，， 在直角三角形中，易知边上的高为又五棱锥的底面面积为欲使五棱锥的体积最大，须有平面平面∴∵，∴令，则，∴，令，，则不难知道，当时，取得最大值∴综上所述，当时，五棱锥的体积取得最大值故答案为：.17.【解析】（1）有题意可知，当时，，即，解得，所以.（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则，，令，得或（舍去），所以当时，为增函数； 当时，为减函数，故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点，即时函数取得最大值. 所以当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.18.【解析】（1）由得，由得，所以防蚊液体积，（2）求导得，令得；令得，所以在上单调增，在上单调减，所以当时，有最大值，此时，，答：当为毫米，为毫米时，防蚊液的体积有最大值. 19.【解析】（1）设利润为y万元，得即（2）显然当时，企业会获得最大利润，此时，，，即年产量为475台时，企业所得利润最大．（3）要使企业不亏本，则．即或得或，即．即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．