第七章 数列 专练11—恒成立问题（大题）-2022届高三数学一轮复习

这是一份第七章 数列 专练11—恒成立问题（大题）-2022届高三数学一轮复习，共6页。试卷主要包含了数列的前项和为，，对任意的有，，已知数列中，，等内容，欢迎下载使用。
第七章  数列专练11—恒成立问题（大题）1．已知数列的各项均为正，其前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，若对任意的，都有，求实数的取值范围．解：（1）数列的各项均为正，其前项和为，且满足①．当时，解得舍去），当时，②，①②得：，故（常数），所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以．（2）由（1）得：，由于对任意的，都有，根据函数在处取得最小值，所以或，解得．2．数列的前项和为，，对任意的有，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列，，，，求数列的通项公式．解：（1）根据题意，，故有①，②，②①得，，化简可得，，，，即得数列是公差为2的等差数列，又因为，所以数列的通项公式即为：．（2）根据题意，因为对于任意的，都有，即得，，，，，将以上个式子相加可得，，；，③；④；④③得，．3．已知，有穷数列满足，，将所有项之和为的可能的不同数列的个数记为．（1）求，；（2）已知，，若时，总有，求出一组实数对（3）求关于的表达式．解：（1）根据题意，符合条件的数列分别列举如下：符合的数列有：，1，，，，，，所以；符合的数列有：，1，1，，，1，，，2，，，1，，，，所以．（2）由分析可得：，，可化简为，，或，则由，组成的一组实数对为．（3）由（2）可知，，则数列是公比为的等比数列，首项为，，，再利用斐波那契数列将化简，直到化为最简，．4．已知等差数列的前项和为，，，数列满足，，为数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列为等比数列；（3）若恒成立，求的最小值．解：（1）等差数列为等差数列，设首项为，公差为，则有，解这个方程组可得，，数列的通项公式即为：．（2）根据题意，可得，，即得数列是以为首项，公比为3的等比数列．（3）由上可得，，，，，随着的增大而增大，又，，所以使恒成立的的最小值为5．5．已知是等差数列，其前项和为，若，，成等比数列且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，，恒成立，求实数的取值范围．解：（1），取，可得：，化为：，即．，，成等比数列且，，即，化为：，，解得，．．（2），数列的前项和．，恒成立，．实数的取值范围为，．6．已知数列中，，．（1）求证：数列为等比数列，并求出的通项公式；（2）数列满足，设为数列的前项和，求使恒成立的最小的整数．解：（1）证明：由，得，，数列是以3为公比，以为首项的等比数列，，即．（2）由题意得．，，两式相减得：，因为，所以，所以使恒成立的最小的整数为4．7．已知数列的各项均为正数，前项和为，．（1）求，，的值；（2）求数列的通项公式；（3）若恒成立，求实数的取值范围．解：（1）令得，，解得，令得，，且，解得，令得，，且，解得；（2），时，，相减得，，整理得，，，，即，，数列是公差为2的等差数列，；（3）由恒成立，令，则，，的最大值为，的取值范围是．