第七章 数列 专练13—证明不等式问题（大题）-2022届高三数学一轮复习

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第七章  数列专练13—证明不等式问题（大题）1．已知数列满足，．（1）证明数列为等差数列；（2）设，证明：．证明：（1）因为，两边同时除以，可得，所以，又，所以，所以数列是以首项为1，公差为1的等差数列．（2）由（1）可得，所以，当时，成立；当时，，所以，综上可得，．2．数列的前项和为，，．（1）求，；（2）设，数列的前项和为证明：．（1）解：依题意，当时，由，可得，两式相减，可得，当时，满足上式，数列是以1为首项，3为公比的等比数列，，，．（2）证明：由（1）得，，，，，即，，则，，即，，，即，故不等式成立．3．已知数列前项和为满足，．（Ⅰ）求通项公式；（Ⅱ）设，求证：．解：由，得，两式相减，得．由，，得，所以，，即数列是以2为首项，公比为3的等比数列，从而有．（7分）证明：由知，从而，所以，当时，，从而有；当时，不等式显然成立．综上，有成立．（15分）4．已知数列的首项为，是的前项和．（Ⅰ）若．求数列的通项；（Ⅱ）若，证明：．（Ⅰ）解：由得：当时，，，即，时，，又，，，，当时，，数列的通项公式为．（Ⅱ）证明：若得：，，，，，，各式相加得：，又，．5．已知数列的前项和为，，数列满足：当，，成等比数列时，公比为，当，，成等差数列时，公差也为．（Ⅰ）求与；（Ⅱ）证明：．（1）解：，当时，；当时，；当时，；；．（2）证明：由（1）可知，若为偶数，则，，，，，成等比数列，即，而由式结果，可得，即得此时，，不成等比数列，又，即当为偶数时满足题意“，，成等差数列”，故可得此时；若为奇数，则，，，此时可得，，且，即得此时．综上可得，①当为偶数时，，此时；②当为奇数时，，此时；，又，，综上可得，．6．设数列满足，，1，2，，其中为实数．（1）证明：，对任意成立的充分必要条件是，；（2）设，证明：对任意，；（3）设，证明：对任意，成立着．证明：（1）必要性：根据题意可得，，，又，对任意，即得，故，；充分性：设，，用归纳法证明，对任意成立．首先，对于，，，结论对成立；假设结论对时成立，即成立，则，，即得，，故可得结论对时成立，根据归纳原理即得对任意，，．（2）当时，，结论对成立；当时，由（1）中结论及已知的递推关系可得：，于是，，故．（3）当时，，结论对成立；当时，由（2）知，故，于是