第七章 数列专练8—裂项相消求和（大题）-2022届高三数学一轮复习

第七章  数列专练8—裂项相消求和（大题）

1．已知正项数列的前项和为，．

（1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

（1）证明：，

当时，，

列式相减并整理得：，

即，

，，得，

当时，由，解得或（舍去），

数列是以2为首项，2为公差的等差数列，

则，

（2）解：由（1）知，，

．

2．设等差数列的前项和为，且为等比数列，满足，，，．

（1）求，的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

解：（1）设等差数列的公差为，

等比数列的公比为，

由，，可得，，

解得，

则；

由，，可得，，

解得，，

则；

（2），

所以．

3．设数列的前项和为，已知．

（1）求数列的通项公式；

（2）已知数列满足，求数列的前项和．

解：（1）由，可得时，，

时，，

上式对也成立，

所以数列的通项公式为，；

（2）

，

所以

．

4．设数列的前项和为，已知且数列是以为公差的等差数列．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：．

解：（Ⅰ）由且数列是以为公差的等差数列，

可得，即有，

当时，，

当时，，对也符合．

所以数列的通项公式，；

（Ⅱ）证明：，

．

5．已知数列，是的前项的和，且满足，数列是等差数列，，．

（1）求，的通项公式；

（2）设数列的前项和为，设，求的前项的和．

解：（1）时，；

时，，

则，

所以是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以；

由是等差数列，设公差为，

由，，

得，，

所以，即，

所以；

（2）由（1）可得，，

，

所以．

6．在数列中，，．

（1）证明：数列是等比数列；

（2）设，记数列的前项和为，求．

（1）证明：由，得，

，

又，．

故数列是以12为首项，3为公比的等比数列；

（2）解：由（1）可得，即，

则，

．

7．设数列为等差数列，其前项和为，数列为等比数列．已知，，．

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）若，，求数列的前项和．

解：（Ⅰ）设数列是公差为的等差数列，其前项和为，数列是公比为的等比数列．

已知，，

由于．

所以，解得．

所以，

由于，

所以，解得．

故．

（Ⅱ）设，

①，

②，

①②得：，

整理得．

（Ⅲ）根据（Ⅰ）得到，

故．

8．已知数列满足，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

解：（Ⅰ）由，可得，

即有数列是首项为，公差为1的等差数列，

则，

所以；

（Ⅱ），

则数列的前项和

．

9．在正项数列中，，，且．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和．

解：（1）由，

可得．

，

则数列是首项为1，公差为3的等差数列，

所以，

由于，可得；

（2），

则前项和

．