第四章 导数专练6—恒成立问题（2）-2022届高三数学一轮复习

第四章 导数专练6—恒成立问题（2）

1．设函数．

（1）若直线与曲线相切，求的值；

（2）当时，求证：当时，恒成立．

（参考数据：，，．

解：（1），设直线与曲线相切于点，，

则，解得，

实数的值为；

（2）证明：即证对恒成立，

先证明，设，则，

在递增，在递减，

（1），即，当且仅当时取等号，

，

，，

现证明当时，恒成立，

令，则，

令，则，令，解得，

时，，时，，且，，（2），

由零点存在性定理可知，存在，，使得，

当或时，，当时，，

的最小值是或，由，得，

，

，

，

当时，恒成立，即得证．

2．已知函数．

（1）当时，证明：函数的导函数存在唯一的零点；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．

（1）证明：当时，，

所以，

记，

所以，

又记，

所以，

所以在区间上单调递减，

所以，

所以，

所以在区间上单调递减，

且（2），，

由零点存在性定理可得存在唯一，，使得，即，

即函数的导函数存在唯一的零点．

（2）解：由不等式恒成立，

化简可得恒成立，

令，，

则，

当，即时，令，可得，令，可得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以（1），满足题意；

当，即时，因为（1），不满足题意，

综上所述，实数的取值范围是，．

3．已知函数，．

（Ⅰ）当时，证明：不等式在，上恒成立；

（Ⅱ）若不等式在，上恒成立，求实数取值的集合．

（Ⅰ）证明：当时，令，，

则，

当时，，

所以在，上单调递增，所以，所以，

当时，，所以．

综上所述，当时，不等式在，上恒成立．

（Ⅱ）令，，

则，

（1）当时，由题意得在，上恒成立，

因为，所以，所以，

当时，由（Ⅰ）得，

所以当在，上恒成立时；

（2）当时，由题意得在，上恒成立，

因为，所以，所以，

当时，，

由（Ⅰ）得，

所以在，上单调递减，所以，所以，

所以当在，上恒成立时．

综上所述，实数的取值集合为．

4．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若在上恒成立，求整数的最大值．（参考数据：，．

解：（1），，

，

①时，在恒成立，

在递减，无递增区间，

②时，令，解得：，

令，解得：，

故在递增，在，递减，

③时，令，解得：，

令，解得：，

故在递减，在，递增，

综上：时，在递减，在，递增，

时，在递减，无递增区间，

时，在递增，在，递减；

（2）即恒成立，

故恒成立，令，则，

令，

和在递增，

在上单调递增，且（3），（4），

故存在，使得，此时，

时，，单调递减，

，时，，单调递增，

故，

恒成立，，

故的最大值是3．

5．已知函数，．

（Ⅰ）若，求曲线在点，处的切线方程；

（Ⅱ）若在，上恒成立，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ）当时，，

，故，又，

故曲线在点，处的切线方程是：；

（Ⅱ）设函数，，，

由题设条件可知，且，

则，

，

令，解得：，，

，，

①若，即，当，时，，单调递增，

而，，即；

②若即，

当，时，，当，时，，

故在，递减，在，递增，

故在处取得最小值，

而，

，即，

综上，实数的取值范围是，．

6．已知函数，为的导函数．

（1）讨论在区间内极值点的个数；

（2）若，时，恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）由，得，

令，则，

，，，

当时，，单调递增，即在区间内无极值点，

当时，，，故，

故在单调递增，又，，

故存在，使得，且时，，递减，

，时，，单调递增，故为的极小值点，

此时在区间内存在1个极小值点，无极大值点；

综上：当时，在区间内无极值点，

当时，在区间内存在1个极小值点，无极大值点．

（2）若，时，恒成立，则，故，

下面证明时，在，恒成立，

，时，，故时，，

令，，，故，

令，则，在区间，单调递增，

又，故在，上单调递减，

又，，

故存在，，使得，且，时，，递增，

，时，，单调递减，故时，取得最大值，且，

，，，

故单调递减，故，时，即成立，

综上，若，时，恒成立，则的取值范围是，．

7．函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若在，恒成立，求实数的取值范围．

解：（1），

当时，，在递增，

当时，令，解得：，令，解得：，

故在单调递增，在，单调递减；

（2）在，恒成立，

在，恒成立，

设，则，

设，则，

故在，上单调递增，又，（1），

故存在唯一，，使得，

故当时，，当，时，，

故当时，，当，时，，

故函数在递增，在，递减，在，递增，

故，（2），

由得，且，

故，

，，，，

（2），

当，时，（2），

故，解得：，

故的取值范围是，．

8．已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．

解：（1）的定义域，，

令，，，

令，，，

当时，，当时，，

所以在单调递增，在单调递减，

又，故，即当时，，

所以在单调递减，

于是当时，，当时，，

所以当时，，当时，，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）不等式等价于，

又，故，

设，，，，

又，故当，时，，

所以在，单调递减，于是，故，

所以的取值范围为，．

9．已知，设函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ），且．

①当时，，在上单调递增；

②当时，，在单调递减；

③当时，，时，，单调递减，

，时，，单调递增．

综上，当时，在上单调递增；

当时，在单调递减；

当时，在上单调递减，在，上单调递增；

（Ⅱ）设，，．

若，则由图象的连续性知，必存在区间，使得，与题意矛盾；

则，．

，，则单调递增，

①若，，恒成立，

，符合；

②若，，时，，且单调递增，

则存在唯一，，

且时，，单调递减，

，时，，单调递增，

．

由，可得，且，

，

时符合．

综上，，．

10．已知函数．

（1）试讨论函数的零点个数；

（2）若函数，且在上恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）根据题意，可得，则有：

①若，则，此时可得函数在上单调递增，

又因为，所以函数只有一个零点；

②若，令，则有，

所以，此时函数在上单调递增；

，此时函数在上单调递减；即得，

则有：当时，则，此时函数只有一个零点；

当时，即时，则，

又因为时，；时，，

根据零点存在定理可得，此时函数在上有两个零点．

综上可得，当或时，函数只有一个零点；当，，时，函数有两个零点．

（2）由（1）可知，当或时，在上单调递增，

则有在上恒成立，

又因为时，，所以

令

在上恒成立，即得函数在上单调递增，

故有，即得在上恒成立，符合题意；

当时，由（1）得，在上单调递增，则由上结论可知，在上恒成立，符合题意；

当时，由（1）得，在上单调递减，在上单调递增，

此时当时，，不合题意，

综上可得，，即，．